在線性單數這門課的前半段,我們要做的事情其實只有一件,也就是給你一個線性的系統。

我們已經指定好,我們期待看到這個線性的系統有什麼樣的輸出,那問你,我們今天給予什麼樣的輸入才能產生我們要的輸出?

在這門課的第一章和第二章,會針對這個問題做各種面向的討論。

第一個是,假設已經有人設定好說輸出的樣子,我們到底找不找得到一個輸入得到我們要的輸出?

很有可能是找不到的,所以我們第一件事情是先討論我們有沒有辦法確定我們能不能找到合適的輸入產生我們要的輸出。

如果可以找到的話,那這個解是唯一的嗎?只有某一種輸入才能得到這種輸出嗎?還是多個不同的輸入都可以充分得到我們要的輸出?

接下來,我們要問,有沒有有效的方法把我們要的輸入找出來,讓它可以得到我們要的輸出?

這是第一章和第二章要跟大家講的事情。事實上,這些事情都是你高中學過的東西,所以第一章和第二章,也許你看了覺得跟高中的數學課沒有太多一樣的地方,但其實講的是同一件事情。

我們講的有沒有解、唯一解、如何把它解找出來這些事情,想必在高中一定都學過了。

只是在現階段的這門課裡面,我們換了一個角度,用不一樣的觀點、用不一樣的詞彙來告訴你說所謂的有解、沒有解是怎麼一回事。

在第三章,我們會講一個叫做determinant的東西。determinant是什麼呢?光看這個英文,你可能不知道determinant是什麼。

determinant的中文翻譯就是行列式。行列式是大家高中學過的東西,但高中的時候,我們只學了怎麼算三乘以三的determinant。

在這一堂課裡面,我們會擴展到更大的矩陣。

接下來,我們會進入不只看一個項量,而是看一個項量的集合。

我們會學習我們怎麼去描述一個項量的集合。給你一個項量的集合,裡面有無窮多的項量,我們怎麼用簡短的方法來描述這個項量的集合,長什麼樣?

你會學到一些概念,比如說subspace、basis,還有dimension。dimension翻成中文,其實就是維度。

維度對大家來說並不是一個陌生的概念,你都知道什麼二維空間、三維空間、四維空間。但是在修完線性代數以後,其實你才真的知道什麼叫做維度,維度真正的定義是什麼。

我們把一個項量的集合輸入一個線性系統,我們就得到另外一個項量的集合。

接下來,我們會學到說,因為我們可以有一些方式來描述這個項量的集合,我們可以改變描述的方式,可以讓這些集合變得更為簡單。

如果我們改變描述的方式,改變了這些項量集合的描述方式,那其實線性系統的描述也會真的改變。

這樣做的好處是,如果你本來有一個很複雜的線性系統,你可以透過改變你對項量集合描述的方式,而得到一個比較簡單的線性系統。

這個應該對你來說是一個非常抽象的概念,那之後的課程會更詳細的說明。

在第五章,我們會學到很多叫做Eigenvector、Eigenvalue,還有很多以Eigen開頭的關係。

Eigen這些東西,它們是為了描述一個線性系統的特徵而存在。

為什麼這些叫做Eigen呢?為什麼是以Eigen開頭呢?

那是因為前面幾章講的東西,其實不拖你高中學過的範圍,你仔細自己想一下,你都念得通。

如電信代數,有的學長姐可能跟你講說有點難,它從什麼地方開始難呢?它從Eigen這邊開始難。

所以你念到這邊,就會感到非常的哀傷,所以叫做Eigen。

接下來,我們知道怎麼描述一個線性系統以後,我們會再更進一步回頭看我們在這門課一開始就討論的,假設有人給你一個指定的輸出,你要怎麼求出它的輸入呢?

但是在課程的一開始,我們找不到合適的輸入以後就結束了,就說這個沒有解就結束了。

但是在第七章,我們會更進一步假設在沒有解的情況下,有沒有可能有近似的解呢?

在第七章會說,在沒有解的情況下,假如我們找不到任何的輸入得到我們要的輸出,我們能不能夠至少找到一個輸入,它的輸出跟我們要的那個輸出是最接近的呢?

這個是第七章要跟大家講的東西。

也許到目前為止,你會覺得這門課也許有點侷限,因為它討論的就是向量。

但是實際上,向量可以應用的範圍是非常廣的,向量出現在各式各樣的地方,甚至很多你覺得好像不是向量的東西,在這門課第六章都會告訴你說很多東西都是向量。

矩陣可能也是一個向量,函數可能也是一個向量,向量是無所不在的。