在這一門課裡面,相量扮演了非常重要的角色。我知道說,在高中的時候,我們都已經教過相量了,所以把相量拿出來講對你來說是有點無聊的。

但是我們這邊還是需要把相量拿出來講一下,確保說我們用的詞彙、我們知道的事情是一樣的,所以我們來說一下相量。

相量是什麼呢?你有一堆數字,你把這些數字集合起來,排成一排,用一個中括號把一堆數字放進去,它就是一個相量。

一般,我們在表示一個相量的時候,會用粗體字來表示一個相量,所以這個V特別用粗體字來表示它,告訴你說這是一個相量,不是一個數字。

在相量裡面有很多的component。Component是什麼意思呢?相量裡面的每一個數字就是一個相量的component。

然後,你要怎麼表示相量裡面的每一個component呢?你可以用下標來表示相量裡面的一個component。

比如說V下標i,指的就是相量裡面的第i個component。假設現在我們有一個相量V,那V下標1就代表這個相量V的第一個component,也就是1。V下標2就代表這個相量的第二個component,也就是2。V下標3就代表這個相量的第三個component,也就是3。

你用下標來表示相量中的一個component。

這個相量如果它是只有兩個component或只有三個component的話,那我們就可以把它視覺化,我們可以把它畫在二維或三維的空間中,但是如果它有四個以上的component,那我們就沒有辦法畫它了。

那怎麼畫一個相量呢?假設現在一個相量V,它的兩個component分別是V1跟V2,那你就畫一個箭頭,箭頭的角角的地方就指到X座標是V1,Y座標是V2的地方。

這就是我們怎麼畫一個相量。我知道你覺得很無聊,因為這個高中都學過了。

相量的集合就是我們如果有一堆相量放在一起,它就是相量的集合。

相量的集合裡面可以有無窮多個相量。舉例來說,假設我告訴你說我有一個相量的集合叫做L,這個相量的集合裡面,所有的相量都只有兩個element。

而這兩個element間有一個特別的關係,第一個element加第二個element永遠都會等於1。

在這個相量的集合裡面,第一個element加第二個element永遠都會等於1。

那有哪些相量會在這個集合裡面呢?好多好多,0,1,1,0,0.3,0.7,0.7,0.3,好多,無窮無盡,有無窮多個相量在一個相量的集合裡面可以有無窮多個相量。

如果你要把這些相量在這個集合裡面的這些相量都畫出來的話,你會發現這些相量的箭頭,這些相量的箭頭,這些相量的箭頭通通落在同一條直線上面。

我們這邊要定一個notation,叫做R上標N。這個R上標N,接下來我們會反覆看到。

這個R上標N代表什麼呢?這個R上標N就代表說,我們把所有裡面有N個element的相量通通集合起來,就叫做R上標N。

其實我們之所以講相量的集合,主要就是想告訴你什麼是R上標N。

舉例來說,R上標2就是所有有兩個element的相量所形成的集合,把所有有兩個element的相量拿出來裝在一個袋子裡面,這個就是R上標2。

那相量可以乘上scalar,什麼意思呢?假設我們一個相量V,它的兩個element分別是V1跟V2,我們可以把這個V前面乘上一個scalar,乘上一個數值,這邊用C來表示。

那這兩個element,V1、V2,就變成C倍的V1跟C倍的V2。如果把它畫在圖上的話,比如說假設這個C等於2的話,那你就是把V1乘兩倍變成2V1,V2乘兩倍變成2V2。

把2V1、2V2當作是這一個相量,這一個箭頭角角的座標的位置,那你就得到2V這個相量。這個是相量乘上scalar的定義。

然後接下來,相量可以相加。怎麼把兩個相量相加呢?假設有一個相量叫做A,它的兩個element分別是A1、A2,有一個相量叫做B,它的兩個element分別是B1、B2。

A加B是什麼意思呢?A加B就是把這兩個相量的第一個element A1加上第一個element B1得到A1加B1,第二個element A2加上第二個element B2得到A2加B2,這個就是相量的相加。

那現在假設我們有三個相量,U、B跟W,它們都包含在R、N裡面,意思就是U、B、W這三個相量,它們都有N個element。

我們現在有任意兩個scalar,A跟B,在前一頁投影片裡面,A跟B是出體字,它們代表相量,在這一頁投影片裡面,A跟B它們沒有出體字,它們代表的是一個scalar,它們代表的是一個數字。

相量滿足以下八個特徵,這八個特徵不需證明,太過trivial、太過直觀,一看就知道是對的。

我們就用流水帳的方式,用放圖的方式來念過去,U加V等於V加U,這個沒有問題,U加V括號加W,會等於U加上括號V加W。

存在有一個東西叫做zero vector,這個zero vector加上任何的相量U,都仍然是U自己。

這個zero vector是什麼呢?這個zero vector就是每一個element都是0的相量,裡面每一個數字都是0的相量,就是這個zero vector。

它代表了0,它代表了0,它加上任何東西,都仍然是那個東西自己。

有一個東西叫做U',這個U'加上U,會等於zero vector。

你想也知道這個U'是什麼,這個U'就是-U,就是-1倍的U,把U乘上-1加上U以後,就等於zero vector。

1倍的U等於U,A乘上B括號再乘上U,等於B先乘上U括號再乘上A,這個都是流水帳的念過去。

A乘上U加V等於A倍的U加上A倍的V,A加B括號乘上U等於A倍的U加B倍的U。

那我就放讀念完了。我相信這邊你會覺得侮辱你的智商,這個太無聊了。

我們先講了相量可以乘上scatter,再告訴你說相量可以相加,再告訴你說相量有這八個特性。這個我相信你不會覺得太有趣。

但是你會發現,講線性代數的教科書一開場,包括我們的教科書,都會花很多力氣告訴你這些事情。

為什麼要花這麼多力氣告訴你這些事情呢?因為實際上並不是相量有剛才講的那些特性,而是反過來,有剛才講的那些特性的東西就叫做相量。

不知道大家有沒有聽懂我的意思。我們在這一段投影片的一開頭是先告訴你說,根據我們高中的講法,把一堆數字放在一個中花號裡面,它就叫一個相量。

根據我們對於相量的了解,相量就是中花號裡面一堆數字的了解,我們知道什麼叫做相量乘上scatter,什麼叫做相量相加。

我們覺得這八個相量的特性是非常直覺的,但事實上真正的定義是反過來的。

假設有一個東西它可以乘上scatter,假設有一個東西它可以相加,那至於什麼叫做那個東西的相加,那是你定義出來的,它不一定要是你想像的加法。

假設有一個東西它可以乘上scatter,它可以相加,而且它有以下那八個特質,它就叫做相量。

這個跟原來知道的東西是反過來的,並不是相量有這些特徵,而是有這些特徵的東西叫做相量。

這就是為什麼每一本線性代數的教科書在一開頭的時候會花這麼多力氣告訴你這些你高中就知道,甚至你不用讀高中,你自己想的都想得出來的東西,那是因為這才是相量真正的定義。

相量真正的定義並不是中花號裡面放一堆數字,而是只要滿足這邊所列的八個特徵的東西,它就是相量。

但是這個我們留在第六章的時候再跟大家詳細的說明。到目前為止,你都可以用你高中的想法,假設相量就是一堆數字放在中花號裡面。