接下來,我們要講矩陣,要講matrix,這也是另外一個你在高中以及學過的東西。

我們這邊還是特別把matrix拿出來講一下,確保說我們所用的詞彙是一樣的。

什麼是matrix呢?就是你把一堆數字排成一排一排的,然後用中括號把它刮起來,這就是一個matrix。

一般我們在表示一個matrix的時候,在表示一個矩陣的時候,我們都會用一個大寫的字母來表示它。

在教科書裡面,你看到大寫的字母,通常指的就是矩陣。當然也沒有說你一定要這麼做啦,但是如果你矩陣用小寫字母的話,大家會覺得很奇怪就是了,通常矩陣都是大寫的字母。

假設一個矩陣,它有n個row,橫的這個就是row,有n個column,直的這個就叫做column。

假設一個矩陣,有n個row,有n個column,我們就說這個矩陣的大小叫做m by n,或者是我們就寫做n,然後打一個叉叉,寫一個乘號,n乘上n。

我們用大寫的花替字的n,下標n乘n,代表所有大小是m by n的矩陣所形成的集合。

舉例來說,我們這邊畫了一個矩陣123456,這個矩陣有幾個row呢?它有兩個row,有幾個column呢?這個矩陣有三個column,兩個row,三個column,所以它是一個2x3,2x3的矩陣。

這個矩陣屬於n下標2x3,是所有大小是2x3的矩陣所形成的集合,而這個2x3的矩陣123456會落在這個矩陣所形成的集合裡面。

舉另外一個例子,這個142536,它有三個row,兩個column,所以它是一個3x2的矩陣,那它屬於這個花替字的n下標3x2這一個集合。

在這邊大家要注意,當我們用多少擺多少的時候,都是先講row,再講column,先算有幾個row,再算有幾個column,先算有幾個row,再算有幾個column。

當我們說nxn的時候,n指的是row,n指的是column,2x2的時候,2指的是row,3指的是column,3x2的時候,3指的是row,2指的是column,我們都是先講row,再講column。

這個我也不知道要怎麼記,但這個是一件你需要記下來的事情。總之就是先講row,再講column,先row,再column,先R,再C。R-C就是鋼筋混凝土結構,所以它很堅固,所以叫做R-C,先row,再column,就是這樣。

其實一個向量也是一個矩陣,怎麼說呢?假設一個向量1,2,3,你可以說它是一個向量,但你也可以說它是一個3x1的矩陣。

那把向量放橫的1,2,3,這也是一個矩陣,你可以說它是一個1x3的矩陣。所以向量,你其實也可以說它是一個矩陣。

這個是有關矩陣的最基本的說明。矩陣裡面的每一個成員、每一個數值,我們怎麼描述它呢?矩陣每一個成員,我們要用兩個index來描述它。

也就是說,矩陣裡面的第i一個row,第j一個column的成員,我們就說它是ij花號entry。

舉例來說,我們現在有一個,這是一個3x3的矩陣,這個矩陣不要忘了先row,再column,所有東西都是先row,再column。

就算是在描述一個矩陣裡面的某一個數值的位置的時候,也是先row,再column,先R再C,RC,RC,RC,先R再C。

如果我們要描述這一個element的時候,如果用先R再C的原則的話,要怎麼描述它呢?

它是在第1個row,第2個column,所以我們在描述這一個element的時候,我們會說它是12花號entry。

如果是-2的話,我們先講row是第3個row,第1個column,所以我們會說它是3eentry。

右下角這個element,我們會說它是33entry,所以我們在描述一個element的位置的時候,矩陣裡面的一個數值的時候,我們先報它是第幾個row,再報它是第幾個column。

一般你在描述一個矩陣的時候,假設你用符號來描述一個矩陣的時候,舉例來說,你有一個矩陣A裡面的每一個成員、每一個數值,你都想要寫出來,這是一個有N個row、N個column的矩陣,它是一個M by N的矩陣。

這個時候,你在描述裡面每一個成員的時候,要記得先R在C,先row在column的原則,這每一個element的下標,第1個下標指的都是row,第2個下標指的是column。

所以你會發現說,第1個row裡面的所有的成員,它的下標的第1個數值都是1,所以是A1什麼、A2什麼、A3什麼、A4什麼、A5什麼、A6什麼、A7什麼。

所以第1個下標代表的是第幾個row,第2個下標代表的是第幾個column,所以第1個column都是1,第2個column這邊所有的符號,它的第2個下標都是2,最後一個column所有的符號第2個下標都是N。

有的人可能會沒有辦法分辨什麼叫row、什麼叫column。column它就是一個Ca,是一個Ca它就是立起來的,所以立起來的東西是column,所以值的東西就是column。

row就是很弱的意思,它很弱所以它是躺著的,所以躺著的東西叫做row。

我們請另外一個表示一個矩陣的方法,是把這個矩陣看成是一堆的項量排在一起,我們把矩陣的每一個column看作是一個項量。

假設這個矩陣有N個column,那它就是一個把N個項量排在一起的矩陣,第1個項量我們叫它A1,第2個項量我們叫它A2,第N個項量我們叫它An。

所以當我寫一個矩陣A等於A1、A2到An加中括號的時候,這是什麼意思?就是說這個矩陣有N個column,但我們看不出來有幾個row,除非你知道說這邊每一個項量它裡面有幾個element,不然你不知道它有幾個row,但你知道它有N個column。

那我知道說這邊的這種表示方法有時候會讓人有點誤解,但是你要習慣它,我們通常就是這種方式表示的,教科書也是這種方式表示的。

這邊我知道說一般有時候項量加一個下標指的是項量裡面的第幾個element,那有時候項量加一個下標代表是說它是第幾個項量。所以這邊的A1並不是說A這個項量裡面的第1個element,A2並不是說A這個項量裡面的第2個element,這不是我這邊想要表達的意思。

我這邊想要表達的意思是說A1是一個項量,代表A這個矩陣的第1個column,A2是一個項量,代表A這個矩陣的第2個column,以此類推。

所以項量的下標有時候指的是項量裡面的第幾個element,有時候指的是它是第幾個項量,有時候指的是項量的一部分,有時候指的是項量的全體。

這個符號出現的上下文的時候,自己再留意一下。那這邊的A1、A2到An它們都是項量。

兩個矩陣它們如果有同樣的大小的話,它們就可以進行相加或相減。舉例來說,我們有兩個矩陣,矩陣A它是123456,矩陣B就是689902。

我們可以把它相加,可以把A加上B。那怎麼把兩個矩陣相加呢?你就把它們對應的element相加,1加6就是7,4加9就是13,2加8就是10,5加0就是5,3加9就是12,6加2就是8,以此類推。

兩個矩陣相加,就是把裡面對應的element加起來。

那矩陣也可以乘上一個scalar,比如說你把B乘上9的意思就是把B這個矩陣裡面的每一個數字通通都乘上9。

所以B乘上9得到的結果是多少呢?得到的結果就是把6乘上9得到54,9乘上9等於81,以此類推,把B裡面的每一個數字都乘上9,就得到9B。

那矩陣有以下的特性。那以下的有什麼特性呢?那這些也不需證明,這個也是非常直覺的就會成立的東西。

假設我們有ABC三個MxN的矩陣,我們有ST這兩個scalar,接下來以下這幾個敘述是成立的A加B等於B加A,然後A加B括號加C等於A加上括號B加C。

ST乘上A等於先把T乘A再把S乘上T乘A,S乘上A加B等於SA加SB,S加T括號乘A等於分別乘進去S乘A加T乘A。