接下來,最主要講metric這一段,是為了跟你介紹幾個有名有姓的metric,這樣講到之後

就metric這個東西你高中都學過了,所以今天講的東西你當然高中都知道

但是我們要介紹幾個有名有姓的metric,這樣之後我們在上課的時候溝通就會更為方便一點

首先,什麼叫做square metric?

square metric就是方形的metric,也就是這個metric,它的row的數目跟column的數目是一模一樣的時候

它的n跟n是相等的時候,這個metric我們叫它square metric

一個square metric的對角線的地方叫做diagonal,對角線的地方,紅色對角線標出來的地方叫做diagonal

不過這邊要強調一下,只有方形的舉證,才有對角線,才有diagonal

所以假設等一下定義的舉證有提到跟diagonal相關的話,那都是在一個舉證是方形的情況下

我們才會有這些定義,有這些名稱

舉例來說,這邊有一個舉證,它在diagonal左下角的地方都是0

它只有在diagonal右上角的地方不是0的值,diagonal左下角的地方都是0

這種舉證叫做upper triangular metric

假設有一個舉證,它是在右上角的地方,不包含diagonal以外

右上角的地方是0的話,它叫做lower triangular metric

當然所謂upper triangular、lower triangular,這都是在舉證是方形的情況下才有定義

舉證是方形的,我們才會說它有可能是upper triangular、有可能是lower triangular

如果它不是方形的,我們就不做這方面的討論了

有一種我們之後會反覆提到的舉證,叫做diagonal的metric

diagonal metric是什麼意思呢?

diagonal metric的意思就是說,這個舉證在對角線以外的地方都是0

不管是對角線上方,還是對角線下方

不管是對角線右上方,還是對角線左下方,通通都是0

這個叫做diagonal的metric

還有一個我們等一下也會反覆提到的,叫做identity metric

identity metric的意思就是,對角線的地方通通都是1

它叫做identity metric

identity metric是一個diagonal metric,在對角線以外的地方是0

對角線的地方都是1,這個叫做identity metric

identity metric我們通常用大寫字母I來表示

如果我們直接寫一個大寫字母I,代表它是一個identity metric

但沒有告訴你說這個identity metric有多大

如果我們說大寫字母右下角加一個N

代表說我告訴你說,這個identity metric它是一個NxN的舉證

那為什麼不需要用兩個下標來描述identity metric呢?

為什麼不說是I下標NxN呢?

為什麼只用I下標N就可以描述一個identity metric呢?

那是因為identity metric一定是正方形的

identity metric是一種diagonal metric

那diagonal metric一定是正方形的

要正方形的才有所謂的是不是diagonal這件事情

所以identity metric一定是正方形的

所以我們不需要寫I下標NxN

因為N跟N一定是一樣的

我們只用I下標N就告訴你說這個identity metric大小是什麼樣子

所以我其實只要寫I下標N,你就知道這個舉證長什麼樣子了

舉例來說,我寫I下標3的時候就代表這是一個3x3的舉證

而這個3x3的舉證,它對角線的地方為1

非對角線的地方通通都是0

所以如果我寫I3,你就不要再問我說I3到底是長什麼樣的舉證了

I3就是一個3x3的identity metric

identity metric在這門課裡面會反覆的提到

我們提到它的時候都不會再把它完整的寫出來的

我們就直接用它的簡寫,直接用大寫的字母I

加一個下標來告訴你說它是個identity metric

那還有一個東西叫做zero metric

zero metric從它的名字就知道

它裡面所有的成員通通都是0

它就是zero metric

那在表示zero metric的時候

我們通常用一個大寫字母的O來表示它

我直接寫一個O,代表它是一個zero metric

但是沒告訴你它的大小是多少

OMN就代表說它是一個MN的舉證

裡面全部的成員都是0

在表示zero metric的時候我們就需要兩個下標

我們要寫MN,我們不可以只寫一個下標

在講identity metric的時候

因為identity metric一定是正方形的

寫一個下標就夠了

但是zero metric它不一定是正方形的

它可以是任何形狀,它可以是長方形的

這個MN它可以是任何的形狀

它可以是長方形的,它不一定是正方形的

所以zero metric我們在描述它的時候

需要用到兩個下標

舉例來說,這一個zero metric你要描述它的時候

你會用大O下標2乘以3來描述它

代表它是一個有兩個row

三個column的metric

它裡面的每一個element都是0

Transpose是什麼意思呢?

假設我們有一個舉證A

它是一個MN的舉證

當我們對它做transpose這件事的時候

我們會在A上面加一個上標T

代表是transpose的結果

所以A上標T就是transpose of A

那transpose完以後

A上標T是什麼樣的東西呢?

原來A是一個M by N的舉證

那A上標T就變成一個N by N的舉證

原來在A裡面的ij的entry

到A transpose裡面就變成ji的entry

原來在A裡面是ji的entry

到A transpose裡面就變成ij的entry

什麼意思呢?講得具體一點

現在有一個舉證叫做A

我們對它做transpose這個操作

它就變成A上標T

也就是A的transpose

那所謂transpose做的事情就是

把這個舉證進行翻轉

那什麼意思呢?

本來9在這個地方

翻轉以後就到這個地方

本來9在A裡面

它出現的index是12這個位置

那翻轉以後transpose以後

它就到21這個位置

也就是你把row跟column的index對調

本來9這個9

它的index是12

第一個row第二個column

做完transpose以後

它就變成第二個row第一個column

那其他element也是以此類推

本來2在第三個row第二個column

transpose以後2就變成在

第二個row第三個column

那其實transpose做的事情

就是把原來的column變成row

把原來的column變成row

把原來的row變成column

把原來的row變成column

這個就是transpose

那其實在講linear system的時候

我們已經跟大家講過transpose這件事情

還特別跟你強調說transpose是線性的

我們用transpose來當作線性的一個例子

告訴你說線性系統的輸入

不一定要是向量也可以是舉證

那transpose有什麼樣的特性呢?

那這個也是非常直觀

也不需證明

a跟b都是mxn的舉證

那s是一個scalar

那a再transpose就會變成自己

a上標t就是transpose

再加上標t就是再transpose一次

把a的transpose再做一次transpose

上標t再加t

有兩個t

t就是枯了,枯完以後它就變成自己

那sa

你問剛才那段要不要剪掉是不是

那段可以留著吧

那這個s乘上a

再做transpose以後

會等於a的transpose乘上s

那這個其實就是線性系統的第一個特徵

輸入乘上s倍

輸出也會乘上s倍

那第二個transpose

transpose它一個特性是a加b的transpose

等於a的transpose加b的transpose

這其實就是線性系統的第二個特徵

所以這邊的這兩個敘述合起來

就告訴你說transpose

如果你把它當作一個系統來看待的話

這是一個線性的系統

那有一種矩陣叫做symmetric matrix

就是對稱的矩陣

那對稱矩陣它有什麼特別的地方呢

對稱矩陣它特別的地方就是

這個矩陣transpose完以後

仍然是它自己

舉例來說有一個矩陣a

它是12423-1 4-15

那這個矩陣transpose完以後還是它自己

因為這邊有一個2

這邊有一個2

這邊有一個4

這邊有一個4

這邊有一個-1

所以a這個矩陣

沿著對角線做翻轉做transpose以後

仍然等於它自己

那你可以想像說

這個對稱矩陣一定是方形的

如果不是方形的矩陣transpose完以後

就不可能是它自己

我們可以對不是方形的矩陣做transpose

那不是方形的矩陣transpose完以後

大小都變了

所以不是方形的矩陣

它不可能是對稱矩陣

對稱矩陣一定是方形的

當然不是所有方形的矩陣都是對稱矩陣

但對稱矩陣一定是方形的

舉一個不是對稱的例子

比如說隨便一個矩陣1234

1234做transpose以後

會變成另外一個矩陣

是不一樣的矩陣

所以1234不是一個對稱矩陣