各位現場聽錄影的同學,還有線上看錄影的同學,大家好,那我們來上課吧

這個是我們到上課目前為止已經講過的東西,我們說一個線性系統就是System of Linear Equations

我們又講說System of Linear Equations可以看作一個矩陣A跟一個向量X相乘,然後說它等於B

接下來我們要問的問題是,假設已經給你A,也就是告訴你說這個Linear System長什麼樣子

給你B,也就是告訴你說我們期待這個Linear System的輸出是什麼

那給它什麼樣對應的輸入X可以得到我們想要的B呢?這個就是我們接下來要探討的問題

那這件事情講到這邊,就算是你沒有修過線性代數,對你來說也不是一個太困難的問題

你可能就會想說,這不是高中的時候都學過了嗎?我們就把這個System of Linear Equations寫出來

舉例來說,這邊有兩個variable,兩個equation的System of Linear Equations

你把你現在手上的多元一次的方程式寫出來,那假設現在A是已經知道的,B是已經知道的

叫你把未知數X1,X2寫出來,你會不會呢?這個你顯然是會的

舉例來說,在高中的時候,你可能會這樣做,現在有兩個equation,有兩個variable

那我們可以把這兩個equation看作是兩條直線

那我們把這兩條直線畫在一個二維的平面上,你就可以看出這兩條直線相交的地方

這兩條直線有重疊的地方,就是這個System of Linear Equations的solution

那如果今天這兩條直線,它們相交只有一點,那代表什麼?代表這個System of Linear Equations

它只有唯一解,如果這兩條直線沒有任何的相交

相交不是猴子吃的那個相交,沒有任何的相交,它們是平行的,那就代表沒有任何解

那如果這兩條直線它們重合在一起,它們是疊在一起,代表說現在有無限多解

這個都是你高中甚至國中學到的東西

那這邊要講一個你高中的時候可能不知道的專有名詞,就沒有解的System of Linear Equations

我們說它是inconsistent,consistent這個字的意思就是一致,inconsistent就是不一致

所以今天一個System of Linear Equations,給定A給定B,如果發現你找不出對應的X,叫做inconsistent

那如果有解,不管是唯一解,還是無窮多解,我們都叫做consistent

那你今天至少學到一個你以前高中的時候可能沒有聽過的專有名詞,沒有解叫inconsistent,有解叫做consistent

那這邊我們要問一個問題,這個問題是什麼呢?

為什麼在有解的情況下,只有唯一解跟無窮多解這兩種選項呢?

那這邊想要跟大家說明的是,為什麼不能只有兩個解呢?

因為一旦一個線性系統,我們可以找到兩個解,那我們就可以找到第三個、找到第四個,以至於找到無窮多個解

然後怎麼說呢?我們先假設現在我們看到的這個線性系統這個A,它有兩個解

所以我們把U輸到A裡面會得到B,我們把V輸到A裡面也會得到B,有兩個解

那接下來呢,有兩個解,就有無窮多解,就一生二,二生三,三就生萬物

我們把輸入這個U乘上0.3,那輸出B也會跟著乘上0.3,沒問題吧,這是線性系統的一個特性

那V乘上0.7,輸出B也會跟著乘上0.7,這是線性系統的第一個特性

接下來使用線性系統的第二個特性,我們已經知道0.3U輸進去會輸出0.3B,0.7V輸進去會得到0.7B

接下來我們就把輸入的地方加起來,輸出的地方加起來

那把輸入的地方加起來,輸出的地方加起來,得到的結果是什麼呢?

得到的結果是,如果把0.3倍的U加0.7倍的V丟到A裡面,輸出會是0.3倍的B加上0.7倍的B,也就是得到B

這告訴我們什麼?這告訴我們說,0.3倍的U加0.7倍的B,它是第三個解

我們本來有兩個不同的解,一個叫U,一個叫V

你現在發現說呢,把0.3倍的U加0.7倍的V,也是一個解

那0.3倍的U加0.7倍的V,顯然不等於U也不等於V

所以除了U跟V這兩個解之外,我們現在找到了第三個解

那你可以輕易的胡亂找出第四個解,比如說

0.4倍U輸進去是0.4倍的B,0.6倍的V輸進去是0.6倍的B

0.4U加0.6V加起來,0.4B加0.6B加起來,得到B

所以你知道說,又有發現第四個解,也就是0.4U加0.6V,就是第四個解

所以用同樣的方法,你可以製造出無窮無盡的解

所以今天一個System of Linear Equations,它不可能只有兩個解

要嘛就一個解,但是如果有兩個以上的解,你就可以製造出無窮多的解

所以一個System of Linear Equations,在有解的情況下

要嘛是唯一解,要嘛是無窮多解