剛才講的有解沒有解這件事,那個是高中的觀點,接下來我們要講線性代數這門課的觀點

以下你會聽到很多你過去可能沒有聽過的專有名詞,不要驚慌,不要擔心,這個都是之後會講到的

給你一個System of Linear Equations,A是給定的,B是給定的,要你求出x

那我們怎麼知道這個System of Linear Equations有解或者是沒有解呢?

在線性代數這門課裡面,你要問一個System of Linear Equations有解沒有解這件事情,等於回答下面這兩個等價的問題

第一個問題是,這個B啊,它是不是A這個矩陣,它的column的linear combination

或者是,B它是不是在A這個矩陣,它的column的span裡面

這兩個問題是等價的,這兩個問題也等同於問這個System of Linear Equations,它有解還是沒有解

如果今天B它是A的column的linear combination,或B是A的column的span,那就代表有解,反之就是無解

那如果發現有解以後,怎麼知道是唯一解還是無窮多解呢?

如果今天A的column是independent的,那就是唯一解,如果是dependent就是無窮多解

或者是,其實在這邊這三個敘述是一樣的,或者是A這個矩陣的rank是n的話,那就是唯一解

A這個矩陣的rank小於n的話,那就是無窮多解,n是什麼?n是矩陣A的column的數目

矩陣有一個對應的數值叫做rank,如果rank等於n等於column的數目,叫做唯一解,反之無窮多解

或是A的nullity,矩陣A還有一個性質叫nullity,如果它的nullity等於0的話,那就是唯一解

如果它的nullity大於0的話,就是無窮多解

那剛才講的那一段,如果沒有修過線性代數的話,顯然你根本就不知道我在講什麼

沒有關係,我是想要告訴你說,雖然等一下要探討的東西就是有解沒有解這件事

就是你國中高中學過的事情,但是在線性代數,我們定了一些你沒有聽過的專有名詞來讓你覺得困惑

所以等一下我們會講到說,什麼叫做linear combination,什麼叫span,什麼叫dependent,什麼叫independent,什麼叫rank,什麼叫nullity

這個圖你通透的話,那就沒有問題了,你就了解在線性代數裡面有關有解沒有解是怎麼說的