好,那接下來呢,要跟大家講linear combination這個概念

那什麼是linear combination呢?

linear combination的意思是說,假設我們有一個vector set

這邊用U1到Uk表示這個vector set裡面的k個向量

那如果我們把這k個向量,U1到Uk分別乘上scalar C1到Ck

也就是說我們把C1乘上U1加C2乘上U2一直加到Ck乘上Uk

那我們會得到什麼東西呢?我們會得到另外一個向量,這個向量寫作V

那這邊C1、C2到Ck呢,叫做這個linear combination的coefficient

就把這些U1到Uk,前面乘上C1到Ck加起來這件事,叫做linear combination

那C1到Ck就是linear combination的係數,就是linear combination的coefficient

那這邊呢,就舉個例子,假設一個向量

假設有一個vector set,裡面有三個向量1、1、1、3、1、-1

那他們的係數呢,coefficient呢,是-3、4、1

那我們把這一個vector set裡面的向量

用這組coefficient做linear combination得到的結果是什麼呢?

這個大家一眼都可以看出來

就是把-3乘上1,加上4乘上13,加上1乘上1-1

接下來就心算,直到說得到新的向量是28,就這樣

那所以linear combination呢,它的概念非常簡單

用通俗的話來講,就是我們把這些向量做weighted sum

我們把這些向量乘上一個數值,乘上一個coefficient

再加起來,就是linear combination

那為什麼突然提到linear combination呢?

為什麼突然提到weighted sum呢?

講到weighted sum,有沒有讓你聯想到矩陣跟向量相乘的column aspect?

我們之前有講說,矩陣跟向量相乘可以用兩種觀點來看它

一種是Raw的觀點,Raw的觀點是做inner product

另外一種是Column的觀點,Column的觀點就是做weighted sum

怎麼說呢?我們說,現在我們可以把一個system of linear equation

寫作一個向量跟一個矩陣的相乘

這個向量在哪裡呢?這個向量就是把這個system of linear equation裡面

這個A的部分都拿出來組成一個矩陣

這個矩陣的部分在哪裡呢?矩陣的部分就是

把這個system of linear equation裡面A的部分都拿出來

把乘到同一個variable上的這個係數拿出來

組成這個矩陣裡面的column,都乘到x1的這些A拿出來組成A1

都乘到x2的組成A2,都乘到xn的組成An

這些variable x1到xn,排起來又是另外一個向量

所以這個system of linear equation左邊左半部

可以寫成矩陣A乘上向量x

這個矩陣A乘上向量x,又可以看作是這個矩陣的column

A1到An,根據這些variable x1到xn的位置上

當我們把A乘上x的時候,從column的觀點來看

我們等同於做的事情是把x1乘上A1加x2乘上A2

加到xn乘上An,所以當我們把A乘上x的時候

我們做的事情就是把A的column A1到An做位置上

得到的結果就是A乘上x,在這邊就等於B

那如果從我們剛才講的linear combination的角度來看

我們有一個vector set,這個vector set是什麼呢

這個vector set,它裡面的每一個vector

就是matrix A的column,matrix A的column拿出來當作是一個

vector set,那x就是linear combination的coefficient

當我們把A乘上x的時候,就是拿這些coefficient

拿這些variable x1到xn去對matrix A的column

做linear combination,這件事情就是一個矩陣

和一個向量相乘的column aspect

所以我們知道column aspect就是linear combination

那知道這件事情有什麼用呢

知道這件事情,你就可以把一個system of linear equation

有解沒有解這件事情,把它換句話說

什麼意思呢,我們說我們今天要討論的事情是

一個system of linear equation,它有沒有解

或者是它的解是不是空集合

或者是這個system of linear equation

是不是consistent,這些都是同樣的敘述

我們現在要問一個system of linear equation ax等於b

有解沒有解,這件事情其實等同於從column aspect來看

從A乘以x的column aspect來看,等同於問的問題就是

因為A乘以x會等於把A的column拿出來做linear combination

我們希望A乘以x會等於b

意思就是說,我們希望A1到An這個vector set

也就是A的column做linear combination以後

有可能會等於b這個向量

所以現在上面這些敘述

跟下面這個藍色框框裡面的敘述

是同一件事情,只是換句話說而已

換句話說是什麼意思呢?這邊的意思是說

上面這幾個敘述跟下面這個藍色框框裡面講的敘述

其實是一模一樣的

b是A的linear combination

如果b是A的column的linear combination

那就意味著這個system of linear equation

它是consistent的,或者是它是有解的

你想要知道一個system of linear equation

它是不是consistent的,它是不是有解的

等同你要問的問題就是

b是不是A的column的linear combination

我們現在知道了column aspect就是linear combination以後

我們就可以把有解無解這件事情換句話說

算是同一件事,但換句話說

以後你要問一個system of linear equation有解無解的時候

你可以改成問說

現在vector b 是不是A的column的linear combination

以下就是舉幾個例子

在高中的時候,像這樣子的system of linear equation

你當然都是解到不想再解了

過去你通常是把這兩個system of linear equation

改成兩條直線,看看這兩條直線的關係是什麼

你就可以把這個system of linear equation的解找出來

現在我們改成用linear combination的觀點來看待它

我們把這個system of linear equation

寫成矩陣跟向量的相乘

寫完之後,這個矩陣是3624

就把藍色的部分拿出來就是3624

那x就有兩個變數,x1跟x2

b是3跟4

我們現在要問這個x有沒有解這件事情

等同於問b是不是A的column的linear combination

A的column由兩個向量所組成,32跟64

b是34,現在要問的問題就是

34能不能夠由32、64這個vector set裡面的vector

做linear combination以後來得到

那我們就來看看能不能得到呢

現在32把它畫在二維的平面上是長這個樣子的

64畫在二維的平面上

它是32的兩倍就是長這個樣子

那現在把64跟32做linear combination

你會得到什麼樣的結果呢

把64跟32做linear combination

所有的向量都會落在這一條虛線上

我們把32跟64乘上任何的coefficient相加

得到的結果都在這一條虛線上

那34有可能落在這一條虛線上嗎

34沒有落在這一條虛線上

那這告訴我們什麼

這告訴我們這個矩陣的兩個column

做linear combination以後沒有辦法變成b

所以這告訴我們說

這個system of linear equation是沒有解的

它是inconstant的

這是第一個例子

那第二個例子呢

第二個例子是說

現在有另外一個system of linear equation

我們把它的矩陣a寫出來

把它的x寫出來

把它的b寫出來

現在要問這個system of linear equation

有解沒有解這件事情

等同於問說

如果我們把a的column拿出來

組成一個vector set

那b這個向量

會不會在這個vector set的linear combination裡面

這個vector set的linear combination

有沒有可能組成b這個向量

那一樣我們來畫個圖來檢查一下

那我們先把這個矩陣a的column

把它畫在二維平面上

這個矩陣a的兩個column

分別是23跟31

我們就把2331畫在二維平面上

我們把b也畫在二維平面上

它的位置是4-1

有沒有可能用23跟31

做linear combination以後

得到41呢

有沒有可能用23跟31

做linear combination以後

得到41呢

那有的同學可能會說

這個不可能吧

就是這兩個向量裡

然後他們做linear combination

感覺好像就是落在這個範圍內

他們都是正的

加起來還是正的

這個都是正的

加起來還是正的

但其實你可以用這兩個向量

做linear combination得到4-1

為什麼呢

因為你要不要忘了

在做linear combination的時候

這個係數coefficient可以是負的

在coefficient可以是負的前提下

我們確實可以用23跟31

做linear combination

也就是做weighted sum以後得到4-1

怎麼做呢

我們把31乘2倍

我們把23乘上負1倍

我們把2倍的31加上負1倍的23

得到4-1

那你就發現說

23跟31

你找得到一組coefficient

把23跟31做linear combination以後

得到4-1

結束了

你就知道說

現在這個System of Linear Equations

它是有解的

那這邊告訴我們什麼事情呢

其實如果有兩個向量

在二維的空間中

如果有兩個二維的向量U跟V

它們是非平行的

那其實這兩個向量的linear combination

可以組合出任何的二維向量

兩個二維向量

如果它們是非平行的

它們做linear combination以後

可以組合出任何的二維向量

什麼叫做非平行呢

那我想非平行其實我們在高中的時候

平行這個是國中高中國小就有學過的概念

那在這邊還是跟你再定義一次

這邊所謂的非平行的意思

首先U跟V都必須是非0的

如果是0的話

在這邊就不考慮了

非平行一定U跟V都不可以是0向量

然後U不等於C倍的V

那這樣U跟V就是非平行的

兩個非平行的向量做linear combination以後

它們可以佔滿整個二維的平面

所以我們今天知道說

假設有一個System of Linear Equations

你把X1這個variable

它的係數拿出來

你把X2的variable它的係數拿出來

你把U1 U2拿出來組合一個向量

V1 V2拿出來組合一個向量

當你發現說這兩個向量是非平行的時候

就代表說這個System of Linear Equations

它一定是有解的

但是反過來呢

你要不要想想看反過來

是有解還是無解的呢

U跟V如果是非平行的

它們可以佔據這整個平面

所以不管你B1 B2設多少

我也不在意

反正U跟V一定可以組出我們指定的B1 B2

所以今天U跟V如果是非平行的

那就一定是有解的

但如果反過來呢

有解一定要U跟V是非平行的嗎

給大家三秒鐘的時間想一下

你覺得反過來的敘述也成立的同學舉手一下

你覺得反過來的敘述不一定成立的同學舉手一下

手放下

沒錯 反過來的敘述不一定成立

那在下一頁投影片就會舉一個例子

告訴你說為什麼反過來的敘述不一定成立

那剛才討論的都是二維的向量

那如果三維的向量呢

假設有U B W這三個三維的向量

這三個三維的向量是非平行的

那這三個三維的非平行的向量

如果做linear combination的話

能不能夠佔滿

能不能夠少過整個三維的空間呢

是不是所有的三維的向量

都可以用這三個非平行的向量

做linear combination組合出來呢

那這邊給大家五秒鐘的時間想一下

就你想想看這個二維的向量

兩個非平行的二維向量可以組出所有的二維的向量

那這樣照理說

以此類推 歸納法

三個三維的向量

應該可以組出所有的三維的向量

如果這三個三維的向量是非平行的話

你覺得這個敘述是對的同學舉手一下

好 手放下

你覺得這個敘述是錯的同學舉手一下

好 手放下

所以兩邊都有支持者

答案是什麼呢

答案是no

為什麼答案是no呢

為什麼答案是錯的呢

你想想看

三個非平行的向量

他們搞不好共平面啊

對不對 三個非平行的向量

如果他們在同個平面上

那他們做linear combination以後

只能組出那個平面上所有的向量

沒有辦法組成所有三維的向量

如果今天這個是不是平行這件事情

我們換成之後會講的另外一個專有名詞

叫做independent

如果UVW他們是independent的話

那他們就可以組出所有的三維向量

就UV如果是independent

可以組出所有的二維向量

UVW如果是independent的話

就可以組出所有三維的向量

好 那這個我們之後會再講到

好 那接下來舉第三個例子

第三個例子就是要回答剛才那個

有可能有solution

但是U跟V卻是平行的狀況

好 那現在呢

把這個system of linear equation的矩陣

跟X跟B統統寫出來

那現在有沒有解這件事情

我們說在這個線性代數裡面

有沒有解這件事情

等同於問另外一個問題

就是這個A的column組成一個vector set

能不能夠做linear combination得到B

來看看A的column做linear combination

能不能得到B呢

A的column就是21跟63

那把21跟63做linear combination後得到的結果

通通會在這一條虛線上

但是剛好B-2就落在這條線上

所以我們把這個vector set裡面的

兩個vector做linear combination以後

是可以得到這個B的

這代表說這個system of linear equation是有解的

所以U跟V

有這一個向量叫U

這個向量叫V

這個vector set裡面兩個向量叫做U跟V

U跟V如果是非平行的一定有解

但是有解並不代表

它們一定是非平行的

好 那我們講到這邊

就是跟大家講了

什麼是linear combination

然後告訴你說linear combination

跟有解沒有解的關係是什麼

所以在這一整塊圖上

我們現在就完成了左上角這一小塊

接下來我們就繼續前進

直到把這整張地圖完成