接下來要跟大家講一個東西,叫做Spam。

Spam這個詞,如果它當作名詞用的話,我就Google了一下,查了一些沒用的冷知識了。

Spam如果當名詞用,它可以是一個單位。

你把手掌攤開的話,你的拇指跟小指尖的距離就叫做一個Spam。

然後你的食指跟小指尖的距離叫做一個hand,然後你的手掌的寬度叫做一個pole。

據說一個Spam的長度是20公分左右,這就是一個度量的單位。

Spam還有另外一個用法,是橋墩和橋墩的距離叫做Spam。

這個是一座橋,橋有很多支柱,支柱跟支柱間的距離就叫做一個Spam。

這個是Spam當名詞的用法。

那Spam在線性代數裡面是什麼意思呢?

在線性代數裡面Spam的意思是說,我們有一個vector set U1 U2到Uk。

那現在呢,我們把這個vector set裡面所有的vector,通通拿出來做linear combination。

我們把所有linear combination的結果通通集合起來,這個東西就叫做vector set S的Spam。

所以S是一個vector set,我們把這個vector set裡面所有的vector U1到Uk做linear combination以後通通集合起來。

這得到另外一個vector set,這個東西叫做S的Spam。

所以S是一個vector set,S的Spam也是一個vector set,它只是另外一個更大的vector set。

或者是如果你想把這個vector set用數學式寫出來的話,你會寫成這樣。

S是U1到Uk,那Spam S呢?Spam S是另外一個vector set。

這個vector set裡面的vector是由U1到Uk乘上所有你可以想像得到的coefficient C1到Ck以後,做linear combination所組合而成的。

所以你可以很直覺的想像到說,這個vector set裡面的vector的數目應該是無窮多的,但是其實也有例外。

等一下再舉例告訴你說,什麼樣的vector set做完Spam以後不是無窮多。

假設我們說有一個vector set V它等於S的Spam,這時候我們會說S這個vector set是V這個vector set的generating set。

或者我們會說S generate了V,我們會說S是V的generating set,或者是S generate,S產生了V。

Spam S這個東西你可以想成它是描述一個無窮大的vector set的其中一種方法。

就假設你有一個vector set,裡面有無窮無盡的vector,那你要跟別人描述說這個vector set裡面有什麼樣的成員有點困難。

但是如果你可以跟別人說,這個vector set就是由某一個generating set S所generate出來的,雖然這個vector set裡面有無窮無盡的成員,

你也可以讓別人想像說這個vector set裡面會有什麼樣的東西。

如果以上講的你還是覺得有點抽象的話,那接下來就是具體的例子。

現在有一個vector set叫S0,S0裡面只有一個成員叫做00,一個zero vector。

如果我們把S0做Spam以後,我們得到的結果會是什麼呢?

因為S0乘上任何的係數都仍然是0,所以S0乘上任何的係數以後,我們得到的結果仍然是00,所以S0的Spam還是00,只有一個vector而已。

所以一個vector set做完Spam以後,它不一定有無窮多個vector。

這邊就有一個例外,S0它裡面只有一個element就是00,00做Spam以後,得到的結果還是它自己還是只有一個vector而已。

舉另外一個例子,假設有另外一個vector set叫S1,它裡面只有一個成員是1跟-1,那把S1做Spam以後會發生什麼事情呢?

把1跟-1乘上任何的係數以後會發生什麼事情呢?

你會發現,Spam S1裡面有無窮多個向量,比如說1-1是Spam S1的成員,把1-1乘上2,2-2也是Spam S1的成員,把1-1乘上-1,得到-1也是Spam S1的成員。

所以把S1做Spam以後,我們會得到無窮無盡的vector,會得到無窮多的vector。

雖然說有無窮多的vector,但是這些vector如果你把它畫在二維平面上的話,這些vector都會落在同一條直線上。

1跟-1畫在二維平面上的話是這個藍色的箭頭,那1跟-1,1-1這個向量所組成的vector set S1去做Spam以後,Spam S1所有的向量都落在這一條黑色的直線上。

這一條黑色的直線上所有的向量組起來、集合起來,就是Spam S1這一個vector set。

其實我們今天可以發現說,如果S這個一個vector set裡面有非0的向量,那把S做Spam以後就會有無窮多的向量。

所以其實一般而言,Spam以後都會有無窮多的向量,唯一的例外就是假設你的vector set只有0-0,那Spam以後還是0-0。

但是其他的vector set一旦有任何一個不是0的向量在你的vector set裡面,做Spam以後,你就會有無窮無盡的向量。

那這邊是更多的例子,剛才是S1裡面只有一個向量,現在擴展到S2有兩個向量,那這兩個向量拿來做Spam以後得到的結果是什麼呢?

那S2它是1-1,S2裡面兩個向量把它劃在二維平面上,一個是1-1,一個是-2-2。

把1-1跟-2-2做linear combination以後,組合出來的向量通通也落在黑色的這一條直線上。

舉這個例子是要告訴你一件很重要的事情,就算是兩個不同的vector set S1跟S2,它們甚至擁有的vector的數目是不一樣的,但是Spam S1還是有可能等於Spam S2。

就兩個不同的vector set做完Spam以後,有可能得到一模一樣的結果。甚至兩個vector set,它們有的vector的數目根本是不一樣的,做完Spam以後還是有可能得到一模一樣的結果。

接下來,來看vector set裡面有三個vector的例子,現在有1-1、-2-2、2-1這三個向量,如果你把它們劃出來的話,劃在二維的平面上,長得是這個樣子。

現在你會發現說,如果我們把這三個向量做linear combination以後,會得到什麼樣的結果呢?把這三個向量做linear combination以後,會佔滿整個二維的平面。也就是說,所有的二維的向量都可以用這三個向量做linear combination。

其實我們剛才就已經有講過說,在二維的平面上兩個非平行的向量就可以組合出所有的二維的向量。

所以我們今天拿2-1跟1-1,其實拿藍色跟綠色這兩個向量就已經有可能組合出所有的二維的向量,或拿紅色跟綠色這兩個向量就已經可以組合出所有的二維的向量。

所以事實上,這邊不需要三個向量才能夠組合出所有二維的向量。這三個向量裡面,藍色或者是紅色,其中一個是冗員。只要有綠色的向量跟紅色藍色這兩個向量,其中一個就可以組合出所有的二維的向量。

我們現在知道說,如果我們把S3這一個vector set做span以後,得到的結果是什麼呢?span S3也是一個vector set,這個vector set就等於R2等於所有二維的向量所形成的集合。

接下來是四個向量的例子。S3有三個向量,它做span以後可以得到所有的二維的向量。

現在把S3裡面再加第四個成員變成S4,然後再把這四個向量做span,再把S4做span,得到的結果是什麼呢?得到的結果還是所有二維的向量所形成的集合。

所以我們現在知道說,span S4等於R2,span S4等於所有二維的向量所形成的集合。

講了這麼多以後,我們今天學到什麼呢?我們今天學到換句話說。

其實今天什麼都沒有學到,今天就是學到不斷換句話說,把有沒有解這個同一件事情翻來覆去,用不同的話來講。

所以我們今天又學到另外一個換句話說的方式,剛才我們已經學到說所謂有沒有解就是B是不是A的column的linear combination。

現在我們又學到另外一個換句話說,這個換句話說是什麼呢?這個換句話說是B有沒有在A的column的span裡面。

就是我們說如果有解的話,那A的column的linear combination必須等於B。

如果A的column的linear combination等於B,就代表有解。

換句話說就是,B要落在A的column的span裡面。

如果B落在A的column的span裡面,這個叫做有解,B沒有落在A的column的span裡面,這個叫做沒有解。

這邊就是舉一個例子來告訴大家說,span跟解system of linear equation有什麼樣的關係。

這邊給你一個system of linear equation,我們現在已經很習慣把system of linear equation就直接寫成AX等於B。

A是一個矩陣,它是一個二乘以三的矩陣。

B是一個向量,它是一個二維的向量。

現在問你說,我們有沒有辦法找到一個X,這個X跟A相乘以後會等於B。

可以嗎?是可以的,我們從span的角度來看。

如果從span的角度來看,問說到底這個X是否存在,等同於問說,

D2這個向量,這個B這個向量,D2這個向量,有沒有落在A的三個column的span裡面。

那A的這三個column的span長什麼樣子呢?

這個A的三個column正好就是S3這個vector set裡面的三個vector。

我們剛才已經看到說,如果我們把這三個vector拿出來做linear combination,

那你可以佔滿整個二維的平面。

所有二維的向量都可以用這三個vector的linear combination來表示,所有的向量都落在S3的span裡面。

所以我們說,spanS3等於R2。

既然所有的二維向量都在spanS3裡面,E2當然也在spanS3裡面,所以這個System of Linear Equations是有解的。

那我們甚至可以更進一步說,因為所有的二維的向量通通都落在S3的span裡面,

所以今天不管B帶任何向量都會有解,不管B帶哪一個向量都可以找到一個x,讓A乘以x等於B。

這個是span跟解System of Linear Equations的關係。

在這張投影片上,我們就完成了第二個部分,我們告訴大家什麼是span。

span會告訴我們一個System of Linear Equations有解還是沒有解。