在Spain的時候會耍廢的向亮,什麼叫做耍廢呢?假設大家一起做一個專題,有人負責跑實驗,有人想了題目,有人寫了報告,但是有人只負責上傳報告,那個就叫做耍廢。

主持人:"沒有,我想應該也是沒有。這個不是因為年齡的關係,因為看過的人太少了。大家有看過《爆漫王》嗎?有聽過《爆漫王》的同學舉手一下,這麼多,好,手放下。

《爆漫王》就是一個很好的熱血漫畫,就是兩個少年,一個人負責原作,一個人負責作畫,然後只要動畫畫成功,其中一個人就可以討到老婆。

《未來挺商店街》講的是一群耍廢的漫畫家的故事,有一個人負責原作,有一個人負責作畫,然後還有一個人專門想作者的畫,大家知道這是什麼嗎?

漫畫後面不是有一個作者的畫嗎?每次都要有一句作者的畫,想那個也是要花時間的,所以後來雇了一個人專門想作者的畫。

後來覺得說雇一個人負責想作者的畫太累了,後來作者的畫又分成原作跟作畫,只有兩個人負責作者的畫,這個就是融員,這個就是耍廢的意思。

這邊要講的是耍廢的向量,什麼叫做耍廢的向量呢?在剛才那個S3的例子裡面,我們說這個S3可以佔滿整個R2的空間,但是我們發現說,其實不需要S3裡面三個vector都使用到,其實就可以佔滿整個R2的空間。

我們可以把1-1或-2-2這兩個vector的其中一個拿掉,根本不會影響Span的結果。我們把1-1拿掉,Span以後還是佔滿整個R2的空間,把-2-2拿掉,Span以後還是佔滿整個R2的平面。

所以今天-2-2跟-1-1,其中一個人是多餘的,其中一個人是融員,其中一個人只要另外一個人存在的時候,他就會耍廢,他就會沒有用。

我們現在要問一下說,什麼樣的向量會耍廢?在一個vector set要來做Span的時候,什麼樣的向量它會耍廢呢?我們先給一下耍廢的定義,耍廢的定義是這個樣子的。

假設有一個vector set叫做S,S裡面有U1到UKK的向量,再加上V,所以它有K加E的向量,S'就是U1到UK總共K的向量。

那什麼叫做V在耍廢呢?V在耍廢的意思就是,有V跟沒有V都是沒有差的。不管是S做Span,還是S'做Span,它們的大小是一模一樣的。

你把S拿去做Span,跟S'拿去做Span,大小是一樣的,就代表說V這個向量是在耍廢的向量,它對Span這件事情是完全沒有任何貢獻的。

所以在有V的時候去做Span,跟沒有V的時候去做Span,得到的結果是一模一樣的,這個時候我們就說V是在耍廢。

那這種耍廢的向量有什麼樣的特徵呢?怎麼一眼看出來一個向量是不是在耍廢呢?

那這個部分,之所以要講這一段,是為了後面等一下要接independent講的。等一下講independent這個概念的時候,就會用到向量是不是在耍廢這件事情。

我們怎麼知道一個向量是不是在耍廢呢?耍廢的向量有什麼樣的特徵呢?

耍廢的向量的特徵是,這個向量它是這個vector set裡面其餘成員的linear combination。也就是說,假設V是U1到Uk的linear combination,那V就是在耍廢。

或者是說,V是在S'的Span裡面,S'只有U1到Uk,S'就是S拿掉V以後的vector set。如果V在S'的Span裡面,那V就是在耍廢。

那接下來就是要證明這件事,要證明說左邊的敘述跟右邊的敘述是等價的。

我們先從右邊證到左邊,我們先來看一下什麼叫做S'的Span跟S'的Span相等這件事情。

因為你要直接證這件事有點難,你要直接證這兩個可能是無窮大的vector set是一模一樣的有點困難。

但是你可以怎麼證呢?只要你證出左下角這個敘述就結束了。左下角這個敘述是什麼意思呢?

左下角這個敘述的意思是說,有一個向量W,它在S'裡面,保證推的W在S'裡面。

反過來,W在S'裡面也保證推的W在S'裡面。如果某一個向量在S'裡面,它就一定在S'裡面,如果某一個向量在S'裡面,它也一定在S'裡面。

那我們就說,這個S'S跟S'S'它們是一模一樣的,它們裡面的成員是一模一樣的。

左邊是我們真正要證的目標,所以我們就是要藉由右邊這個前提,V是S其餘成員的linear combination,這個前提導出我們的目標。

我們的前提用數學式寫下來是這個樣子的,V是U1到UK的linear combination,V可以寫成B1乘U1加B2乘U2一直加到BK乘UK,B1到BK是某一組,gallon,某一組敘述。

我們根據左邊的目標,我們先證上面可以推的下面,假設W屬於Span S,那我們就是要想辦法通過一串的推道以後告訴你說,W一定也會屬於Span S1。

那這件事情怎麼做呢?W屬於Span S,那意味著什麼?W既然屬於Span S,意味著W是S這個vector set裡面成員的linear combination,所以我們可以把W寫成C1乘U1加C2乘U2加到CK乘UK加上C乘上B。

那我們現在要知道說V是什麼,V是U1到UK的linear combination,這是我們的前提,V是U1到UK的linear combination,所以你完全可以把V代換成這個紅色框框裡面的這一項。

所以你完全可以把V代換成U1到UK的linear combination,那你就可以把W重新整理一下,你就可以把W寫成C1加C倍的B1乘上U1加C2加C倍的B2乘上U2,一直到CK加C倍的BK乘上UK,V就不見了。

這時候你就會發現說W其實是U1、U2到UK的linear combination,根本不需要用到V,W是U1、U2到UK的linear combination。

既然W是U1、U2到UK的linear combination,那就意味著W屬於Span S',所以我們這邊就已經推到這個由上面到下面,W屬於Span S,那它就會屬於Span S'.

那接下來呢,由下往上,那由下往上怎麼做呢?我們就先把這邊的前提寫出來,W屬於Span S',然後接下來呢,期待做過一番推導以後,就可以寫出W屬於Span S。

那W屬於Span S',那這件事情寫成數學式代表什麼意思呢?W屬於Span S',意味著說W等於C1乘U1加C2乘U2,一直加到CK乘UK。

這個時候,我們可以把這個式子改寫成這個樣子,在後面加上C倍的V。那你可能會說,加上C倍的V,這兩個等號不就不成立了嗎?這上面下面不就不成立了嗎?V又不一定是零向量。

那沒關係,我告訴你,這個C等於零,這個V前面乘上的這個係數等於零,V前面乘上的係數等於零,那你加上C倍的V就沒問題了,等號是成立的。

所以W可以寫作C1U1加C2U2加CKUK加C倍的V,算這個C等於零。

所以W是U1到UK和C這個vector set的linear combination,所以W屬於Span S,所以我們就證出W屬於Span S',保證推的W屬於Span S,所以下面到上面也沒問題。

所以這個係數證明完了,你就證明Span S等於Span S'.所以右邊到左邊沒有問題,我們知道說,如果V是S其餘成員的linear combination,那Span S就等於Span S',也就是V是一個在耍廢的向量。

那從左邊證到右邊要怎麼做呢?我們先把前提寫出來,我們已經知道Span S等於Span S',那我們現在要透過這個前提推導出V就是S的其餘成員的linear combination,或者是V屬於Span S',V屬於Span S'.

那左邊的前提是這樣子的,左邊的前提是W屬於Span S,保證推的W屬於Span S',反過來成立,W屬於Span S',保證推的W屬於Span S'.

那這告訴我們什麼呢?首先V屬於Span S,那這件事非常的直覺,那如果你一定要我給一個說法的話呢,我就這樣告訴你,V可以寫成0倍的U1加0倍的U2加到0倍的UK加上0倍的V,所以V是U1、U2、UK跟V的linear combination,V既然是他們的linear combination,那V就屬於Span S,這個沒有問題。

然後根據前提,我們已經知道說如果某個向量屬於Span S,它保證屬於Span S',所以V既然屬於Span S,那它就保證屬於Span S'.

所以我們就知道說,如果兩個Span S跟S'它的大小是一樣的時候,那V,也就是這兩個vector set中間多出來的那一個向量,會是S'這些成員的linear combination。

那我們就證明完了,我們就證明說,怎麼偵測一個耍廢的向量呢?怎麼知道哪一個向量對Span這件事情完全沒有貢獻呢?怎麼知道哪一個同學做專題的時候完全沒有貢獻呢?

就看說,它是不是其他成員的linear combination。如果它是其他成員的linear combination,那就等同於它在做Span的時候不會有任何貢獻。