接下來的時間我們就是要講一下說線性代數是什麼,然後呢,在線性代數這門學問裡面,我們預期學到什麼樣的知識,我們預期它可以解什麼樣的問題。

在講線性代數之前呢,我們要先提一個東西,這個東西呢,叫做系統,叫做system。

那system這個東西啊,你其實在這個訊號與系統裡面呢,你會再更詳細的學到相關的知識。

我確定一下,大家應該是還沒有修過訊號與系統的,對不對?因為訊號與系統應該是大二下修的,對吧?

所以大家是還沒有修過訊號與系統的,那我們來稍微說明一下什麼是系統。

那其實系統觀念非常簡單,系統呢,它就是有一個,你給它一個輸入,它就會給你一個輸出。

如果你覺得用系統這個詞讓你覺得有點陌生的話,那我可以告訴你說,其實你可以把系統又叫做是一個function。

那如果講function的話,你可能就比較熟悉了,大家高中的時候一定都學過函數,一定都學過function,它就是吃一個input,它會輸出一個output。

那隨著這個情境的不同,有時候這個system我們又叫它transformation,有時候又叫它operator,那指的其實是一樣的東西,就是有一個function,有一個系統,它吃一個input,它會產生一個output。

那我們這邊舉幾個例子,舉例來說,語音辨識系統,它指的是什麼呢?語音辨識系統,它的輸入就是一段聲音訊號,那它的輸出就是這一段聲音訊號的文字,老想這個大家都不陌生,現在手機上通通都有語音辨識的功能。

或者是對話系統,舉例來說,Siri或者是Alexa,它們可以說是對話系統,那對話系統做的事情是什麼呢?這個系統它的輸入是一句話,輸出是系統的回應,Alexa說How are you,它可能就回答I'm fine,你可以對這個系統輸入一個句子,一個對話系統就會給你一個回應。

或者是說,通訊系統指的是什麼呢?如果你今天用手機跟你的朋友聊天,你對著你的手機說Hello,你的手機會把這個訊號傳到基地台,然後再透過基地台,這個訊號會傳到你的朋友的手機那端,中間有一個很冗長的process,但是我們就直接用一個箭頭來表示。

你在你的手機邊那邊說一個Hello,你的朋友會聽到一個Hello,你可以把這整個訊號傳輸的過程,把你的Hello送到朋友的手機那一端這整個過程當作是一個系統,這個系統的輸入就是你說的話,系統的輸出就是你朋友的手機那一端聽到的聲音。

當然這個系統,這整個訊號可能是會被distortion的,它可能是會漏掉一些資訊的。

好,那我們今天在線性代數這門課裡面,我們要學的是什麼呢?其實在線性代數這門課裡面,我們要學的,我們要討論的就是線性的系統,我們會對線性的系統做各式各樣的了解和分析。

那什麼是線性的系統呢?我們剛才已經講了什麼是系統,系統就是有一個輸入,有一個輸出。那線性的系統,它的輸入和輸出間有某些特定的關係,那線性的系統,它的輸入和輸出間應該要有下面這兩個特徵。

第一個特徵是,這個我們叫做preserving multiplication,假設現在有一個線性系統,輸入是X,輸出是一個Y,你現在就先簡單地把X講成是一個數值,一個number,比如說3,這樣吧,Y是另外一個數值。

有一個系統,它輸入X,它的輸出是Y,如果它是一個線性系統的話,這個輸入和輸出間應該要有這樣的關係,如果我們把輸入乘上K倍,那輸出也應該要被乘上K倍。

這是線性系統的第一個特徵,第二個特徵是preserving addition,也就是說,假設現在這個線性系統,它的輸入是X1,輸出是Y1,假設現在這個線性系統,它的輸入是X2,它的輸出是Y2。

那今天如果我們輸入X1加X2,那它的輸出也應該要是Y1加Y2,輸入X1,輸出Y1,輸出X2,輸出Y2,輸入如果是把這兩個輸入相加,輸出也應該要是把這兩個輸入相加。

其實並不是所有的系統都是線性的,如果今天這個系統不是線性的話,它就不在我們這一門課的討論範圍之內,舉例來說,我們這邊舉了一個不是線性的系統,那你知道說不是線性的系統長什麼樣子,舉例來說,有一個系統,它的輸入是X,它的輸出是X平方,輸入2,它就輸出4,輸出3,它就輸出9。

好,那我們現在來check一下說它是否滿足線性系統的這兩個特徵,那就發現它其實並不滿足線性系統的這兩個特徵,因為如果你今天輸入X,輸出是X平方,當你輸入K倍的X的時候,線性系統應該輸出K倍的X平方,但是按照這個系統的它本身的特性,它輸出會是K平方倍的X平方,你就輸入KX,它的輸出是KX平方,也就是K平方倍的X平方。

所以它不是線性的,線性系統的第二個特徵,它也沒有滿足,因為你看一下,如果它今天輸入X1,會輸出X1平方,輸入X2,會輸出X2平方,如果是一個線性系統,你輸入X1加X2,這時候你的輸出會是X1平方加X2平方,但是這個系統如果你輸入X1加X2,它的輸出是X1加X2的平方。

那我們知道說X1加X2的平方並不等於X1的平方加X2的平方,所以上面這個系統它不是一個線性的系統,因為它並不滿足我們剛才講的線性系統的兩個特徵,那如果是這樣的系統,就不在我們這一門課的討論範圍之內。

好,那我們這邊再舉一個例子來說明線性系統看起來像是什麼樣的,我們剛才舉的例子裡面,線性系統輸入就是一個X,它的輸出就是一個Y,就是它輸入一個數值,那就輸出一個數值,那事實上這個系統呢,它可以輸入的可以是更複雜的東西,那我們之後會講到說它輸入甚至是可以是一段連續的訊號。

舉例來說,如果你叫做語音辨識系統的話,它輸入是一段訊號,而不僅僅是一個數值而已,那我們這邊再舉一個比較複雜的例子來說明一下線性系統是什麼樣子的,現在假設我們有一個系統呢,它的輸入是兩個數值,輸入是X1X2,它的輸出是兩個數值,它的第一個輸出就是把兩個輸入加起來,把X1跟X2加起來。

它的第二個輸出就是把兩個輸入相減,把X1減掉X2,那這個系統它有兩個輸入,它有兩個輸出,它也是一個系統,它有輸入,它有輸出,那接下來要問的問題是,它是不是一個線性的系統,那我們就要check一下它是否滿足我們定義的線性系統的兩個property。

第一個property呢,我們看看說,輸入X1X2,輸出X1加X2,輸出X1減X2,那如果把輸入乘上K倍呢,輸入K倍的X1,輸入K倍的X2,那輸出會變成是K倍的X1加X2,K倍的X1減X2,所以你輸入乘上K倍,輸出也會乘上K倍,你把原來的輸入乘上K倍,它得到的輸出也會乘上K倍,所以線性系統的第一個特質是滿足的。

那線性系統的第二個特質呢,如果你輸入X1X2,這是系統的輸出,如果你輸入X1'X2'這是系統的輸出,它會輸出X1'加X2',X1'減X2',那接下來我們要問的問題就是,如果我們今天把輸入加起來,我們輸入X1加X1'輸入X2加X2',那輸出呢,輸出會等於這兩個相加等於這兩個相加嗎?

你就自己算一下,你就自己算一下,按照這個系統的輸入和輸出之間的關係,算一下說,它的第一個輸出會是這兩個相加,它的第二個輸出會是這兩個相減,就算一下說它的輸出是這樣,是這樣,那這兩個輸出,這一個輸出就是這一項加這一項,這一個輸出就是這一項加這一項,所以這一個系統是滿足線性系統的特質的。

我相信這個對大家來說都是非常簡單的。

接下來要問的問題就是,既然我們已經講了線性的系統,那它有什麼樣的應用呢?它聽起來好像是一個非常簡單的東西,它可以被用在什麼樣的地方呢?

第一個跟大家舉的例子就是大家已經學過的電路學,對不對?大一都修過電路學嘛,對不對?我知道說以前電路學是大二教的啦,從你們這一屆開始是挪到大一教,所以大家都是學過電路學的。

我不知道你有沒有注意到,其實在電路學這一門課裡面,所有的系統統統都是線性的系統。我不知道大家還記不記得你在電路學裡面學了什麼?其實電路學這門課,我們就只做了一件事,就是給你一個電路,然後告訴你說這個電路上有一個輸入,這個輸入可能是一個電壓源,也可能是一個電流源,

然後就告訴你說電壓源有多少時特,電流源或者是電流源有多少安培,然後要你計算說它的輸出是多少,比如說某個負載上或者某個支路上的電流或者是電壓是多少。

明明這個就可以用P-SPOT這種軟體自動算出來,但不知道為什麼就是要你用手算這樣子,就是叫你用手算一下說,如果輸入某個電壓源、電流源,然後問你說某個負載上的電壓或者是電流是多少。

其實整個電路就是一個系統,電壓源、電流源就是輸入,負載上的電流或者是電壓就是輸出。事實上,如果你仔細check一下,你會發現說整門電路學裡面,我們的電路統統都是線性的。

就算是有加電容或者是有加電感,事實上它仍然都是線性的。你可以check一下它是否符合線性系統的特徵,比如說你把電壓源的電壓乘上兩倍,是否你的負載上的電流或者是電壓就會乘上兩倍。

你會發現說它是符合線性系統的特徵的。我知道說我們今天在學電路學的時候,首先我們會先學static source,也就是告訴你說電壓源的電壓就是固定的,比如說是5伏特。

這個地方高中就學過,所以你一定會覺得非常簡單。然後接下來就會告訴你說,電壓會隨著時間而變化的,它是一個時間的function。

這時候就會開始覺得困惑,就會開始覺得不想學了。但是就算是input,它是dynamic,就算是input,電壓源或者電流源,它是一個函式,它是隨著時間而變化的。因為輸入隨著時間而變化,輸出當然也會隨著時間而變化。

但是如果你再回去看一下電路學這門課裡面,你有算過的所有電路,會發現說其實輸入和輸出都仍然是符合線性系統的特徵的。就算是你的輸入是一個訊號,它會一直變,它的voltage,它的伏特是隨著時間會變的。

但是你把這個訊號乘上兩倍,你的輸出還是會乘上兩倍,所以它仍然符合線性系統的種種特徵。所以事實上我們學的只是電路學裡面的其中一塊,我們學的其實是線性的電路。

那你會發現說,很多你在電路學那門課,也許你讀的不是很通的地方,比如說你可能會不知道為什麼有一個定理叫做superposition,我不知道我有沒有記錯,我其實是教過電路學的,不過那個是四五年前的事,所以我已經忘得差不多了。

你可能會很難想清楚說為什麼是那樣,但是如果你再學了線性代數,你會再回頭過來看,你就可以比較理解說在電路學裡面的那些定理到底是怎麼來的。

那另外一個你在必修課會用到線性代數的地方,就是下個學期你要修的信號與系統。然後在信號與系統裡面,我們在很多時候都會假設,或者多數的時候,我們其實都假設我們的系統就是線性的。

那在信號與系統課文裡面,你會發現說,所有的習題,可能開頭都會告訴你說,我們現在討論的是一個LTI的系統,LTI是linear time-invariant system,而我指的就是線性。

那其實在這個線性代數裡面,多數時候我們討論的其實也都是一個線性的系統。

所以你學了線性代數,你再去學這個信號與系統,你對信號與系統裡面的原理會又有不一,會有比較深刻的體悟。

那這邊再舉一個例子說,這個線性代數會用在信號與系統裡面的什麼地方。在信號與系統裡面,你會學到一個東西叫做Fourier transform,這個東西非常抽象,所以對很多同學來說是比較難一下子就心領神會的主題。

Fourier transform這個技術在信號與系統裡面會不斷反覆地出現。這個技術說的事情是說,本來有一段訊號,它可能是聲音訊號,它可能是其他訊號,比如說電磁波的訊號,它就有一段聲音訊號。

然後接下來,你會做一種神奇的transform,叫做Fourier transform,然後把它變成一個叫做frequency domain的東西,然後你也搞不清楚那個frequency domain到底是什麼意思,然後你就學不下去了。

那其實Fourier transform它也是一個linear的system,它也是一個system,就輸入這樣子的東西,它把它轉成這個樣子。那其實這個訊號跟這個訊號,它們是同一個訊號,你只是從不同的觀點來描述這個訊號。

就好像說,每一個同學,我們可以用不同的方式來稱呼他,我可以叫你的名字,也可以叫你的學號,但是用不同的方式來稱呼有不同的好處。

舉例來說,如果今天要點名的時候,還是叫名字可能是比較學號更方便一點。但是time domain跟frequency domain對一個訊號來說,它就是同一個訊號的兩個不同的名字。

那通常在信號與系統這一門課裡面會給你,比如說time domain的訊號要你把它轉成frequency domain的訊號,其實這個轉換的過程就是一個線性的轉換。

Fourier transform其實就是一個系統,輸入這樣子的訊號,它就把它轉成這樣子的訊號。

而這個系統其實它是線性的,有很多同學學完信號與系統以後,原來不知道說fourier transform它其實是線性的。這個fourier transform非常的複雜,它的式子很複雜,

所以很多同學不覺得說它是線性,很多人想到線性的時候都覺得說畫一條直線就是線性的,也許你現在心裡仍然是這麼想的。

但是你仔細想一下,就算是一個很複雜的function,按照我們這一門課剛才講的線性系統的定義,只要符合線性系統的那兩個特徵,它仍然是一個線性的系統。

所以fourier transform其實是一個線性的系統,它可以用我們在線性單數這一門課裡面所學到的種種概念來加以理解。

所以如果你線性單數學得好的話,在理解fourier transform的時候,你比較不會有障礙。或者是今天我們用線性單數裡面學到的東西,你可以做一個線性的系統,這個線性的系統可以拿來做舉例來說預測。

那在我們的作業裡面,有一個作業就是要你根據已經收集到的資料,預測某一個觀測站在下一個時間點它的PM2.5的數值。

那我們要大家做的事情可能像是這樣子,就是要你建一個可以做氣象預報的系統,這個氣象預報系統它的輸入是X1,X2,X3,它的輸出我們這邊寫做Y,它的輸入是X1,X2,X3,三個數值,它的輸出是Y這個數值。

Y這個數值是什麼意思呢?Y這個數值是某年某月某時的PM2.5的值,這個是我們要預測的,它是還沒有發生的,是我們希望這個氣象預報系統可以預測出來的PM2.5的數值。

那SK是什麼呢?SK指的是在我們要預測的這個時間的前K個小時,觀測站觀測到的PM2.5的數值,也就是說你觀測到前一個小時的PM2.5的數值。

就假設我們現在預測,等一下是十一點,我們預測十一點的PM2.5的數值,我現在觀測到十點的數值、九點的數值和八點的數值,把這個十點的數值、九點的數值和八點的數值輸入這個系統,它的輸出要是十一點的時候的PM2.5的數值。

那這是一個系統,那我們可以更進一步的為了計算方便,假設它就是一個線性的系統,線性的系統就是要符合線性系統的種種特質,我們可以說X1、X2、X3和Y之間的關係,我們就把它寫出來,寫說它們就是這樣。

X1、X2、X3和Y之間的關係就是把X1乘W1、X2乘W2加上X3乘W3就會得到Y,你會發現說這個系統符合我們剛才定義的線性系統的兩個特質。

然後你如果知道W1、W2、W3的數值分別是多少,你就可以把X1、X2、X3輸進去,它就可以輸出Y,你就可以做氣象預報。

那這邊你可能會有兩個問題,第一個問題就是,用一個線性的系統真的能夠準確的預測PM2.5嗎?過去的PM2.5和未來PM2.5之間的關係感覺會受很多不同事件的影響,感覺它應該之間的關係非常的複雜,也許它們並不一定是一個線性的關係。

也許在真實的世界,它們並不一定真的是線性的關係,但是你會發現說,你就算假設它們之間的關係是線性的,其實你的誤差也不會有太大的偏差。

那大家在實際上做作業的時候再自己體會看看,這是我們作業的其中一個。

第一個問題我們剛才問的是說,為什麼我們可以把它當作一個線性的系統?實際上它不是線性的,但我們用線性的系統來近視這個真實的世界,其實結果也不會太差,這是第一個問題。

第二個問題就是,大家在問W3這個數值到底是怎麼來的呢?我們怎麼知道這一個系統裡面的參數長什麼樣子,我們怎麼知道這個系統的輸入和輸出之間應該要有什麼樣的關係?

我們只說它的關係一定是線性的,但是是什麼樣的線性關係呢?W1、W2、W3到底實際上數值是多少,這個怎麼找出來的呢?

那你可以說,你自己就人手設一下,比如說你設這個是1,這個是1,這個是1.5,但這樣結果當然不會太好,所以實際上你要做的事情就是讓它自己學出來,這個就是機器學習的基本概念。

所以這個線性代數的課,我們其實還是順便上了一下機器學習。其實這個作業也是機器學習那一門課的作業一,但是在線性代數這門課跟另外一門機器學習的課會用不同的方法來做這個作業,所以我們用線性代數其實也是順便學了一下機器學習。

同樣的技術你也可以用在很多地方,你要比如說預測股票的變化、預測某一個房屋的房價,你都可以用類似的技術,你就可以做一個房價的預測系統,然後輸入這個房屋的坪數,輸入它有幾房幾廳,輸入它的地段,然後輸出,就是這個房屋的房價。那用的技術其實是一樣的。

好,線性代數還有很多其他的應用。舉例來說,在課本裡面舉了一個大家日常生活中都會用到的線性代數的應用,就是Google的搜尋。

你在做Google搜尋的時候,你輸入一個關鍵字,它會給你一排搜尋的結果。這一排搜尋的結果是怎麼來的呢?當然這些搜尋出來的網頁裡面,假設你今天說的關鍵字是臺灣大學,那搜尋出來的網頁裡面很多數都有包含臺灣大學,但是很多網頁都有包含臺灣大學,到底應該要怎麼把它排序呢?

Google怎麼知道說應該把臺灣大學的首頁排在整個搜尋列表的第一個呢,而不是排在最後一個呢?這個要用到一個叫做PageRank的技術,也就是說有一個方法來計算每一個網頁的重要性。

PageRank我們以後會再詳細解釋,其實課本也有一個章節是講PageRank的,它其實是一個線性代數的應用。這個PageRank代表的就是一個網頁它本身的重要性,我們這邊稍微講一下它的概念,這個之後我們還會詳細再講到。

今天在這個示意圖上面,每一個笑臉代表的就是一個網頁,笑臉和笑臉之間它們有箭頭連接在一起,這些箭頭指的就是網頁和網頁之間的超連結。

PageRank這個數值所做的基本假設是說,假設現在有一堆人在網絡上瀏覽網頁,就有一堆閒人,他們是random的server,他們就在網絡上逛來逛去,看看有什麼好看的。

那他們平常在逛網絡的時候,他們的習慣是怎麼樣呢?他們的習慣是,假設現在這個人本來在看藍色的這個網頁,他看完以後他就想要跳到下一個網頁,他會跳到下一個網頁,跳到哪一個網頁取決於這個藍色的網頁有哪些超連結。

而如果這個藍色的網頁有三個超連結,分別連到紅、黃、綠三個網頁,那就代表說這個人在看完藍色的網頁以後,假設他有三分之一的機率去看紅色的,三分之一的機率去看黃色的,三分之一的機率去看綠色的。

而接下來就假設有一堆人在網絡上胡亂瀏覽網頁,接下來你就可以計算說,在第七個時間點,假設每一個網頁上的人數的分佈是某個樣子,那下一個時間點人數的分佈會是什麼樣子。

那第七個時間點跟下一個時間點人數的分佈,它們中間其實是一個線性的關係。同樣的概念其實不是只能用在網頁瀏覽上,比如說預測車流量也是用類似的概念。

預測人口的流動,所以你就把這個網頁換成是城市,然後在每一個城市裡面,每一個人他都會想要搬去其他的城市。那如果你本來住在藍色的城市,你有一定的機率想去綠色的,有一定的機率想去黃色的,有一定的機率會想要去紅色的。

那你可以用同樣的概念來預測人口的變化。好,那PageRank這個技術就是假設說有一堆的人在網路上隨便地看來看去,然後最後根據PageRank的計算,

你就可以計算出最後每一個網頁平均的人數是多少,每一個網頁最後會有多少人在看。

就是你現在給它一個隨機的分佈,然後經過無窮遠的時間以後,大家到底會集中在哪些網頁上。

那最後這個詳細的過程還有詳細的結果,這個我們日後再講。它大原則就是,如果有一個網頁被很多其他人用Hyperlink link到,它最後看那個網頁的人就會特別多。

或者是說,如果有某一個網頁被某個重要的網頁連接到,那它看它的人也會特別多等等,Google就用這個資訊來排序搜尋到的結果。

那Google不完全是憑藉PageRank排序的,當然還有用到很多其他其他的參考的數值,PageRank可能只是眾多參考數值的其中一項而已。

那這個東西怎麼算出來的,我們日後講到PageRank的時候再跟大家詳細的說明。

其實在課本上,在Section 7.9還舉了另外一個例子,是線性代數可以被用在Computer Graphics上面。

Computer Graphics這個東西的應用,我想我們就不需要再解釋了,今天大家都會玩3D的網路遊戲,那裡面就用到了大量Computer Graphics的技術。

那在Computer Graphics裡面,有時候你會想要把一個物件進行旋轉,假設我們現在有一個方形,它的左上角的這個點的座標是XYZ。

那我們想要把這個物件進行旋轉,那旋轉以後同一個點的座標就變了,就變成X'Y'Z'.

從XYZ到X'Y'Z'之間的關係,你可以用一個線性系統來描述。

也就是說,當你把這個物件做一下旋轉變成這個樣子的時候,它這個物件上面的每一個點的座標跟轉過以後的座標,它們之間的關係其實也是線性的。

所以你會發現說,線性代數有非常非常多的應用。

接下來剩下的時間就是要告訴大家說,那在這一門課裡面,我們會針對線性系統做哪些的了解和分析。

那其實在Chapter 1到3裡面,我們做的其實就是一件事,給你一個線性的系統,然後我們給你這個線性系統的輸出,舉例來說它的輸出是369。

接下來就要問你說,這個線性系統輸入什麼樣的數值,它可以得到我們想要的輸出?

那其實在Chapter 1到Chapter 3,我們就是在問這件事情。

那有好幾個不同的可能性要討論,第一個就是到底有沒有solution,也就是說,這個紅色的問號到底填不填得進去某種數值,

讓這個線性系統的輸出就是我們給定的這個結果,還是說其實你找不到任何可能的輸入,可以得到我們想要的輸出?

那如果我們今天找得到某種輸入,可以得到我們想要的輸出,那接下來的問題就是,這個解是唯一的嗎?

只有這個輸入可以得到我們想要的輸出嗎?還是其實有很多不同的輸入都可以得到我們想要的輸出?

那接下來的第三個問題就是,我們怎麼找到這個解?

既然我們確定說有一個解存在,那我們接下來會知道說它可能是一個還是有多個,那接下來是怎麼找到這個解?

然後另外我們會講一下determinant,determinant在高中的翻譯應該是翻成行列式。

那其實今天在chapter 1到chapter 3裡面所講的東西,其實你在高中的時候都學過了,或者是你在國中的時候其實都學過了,這其實是一個線性系統。

我們下一節課就會提到,它就是一個多元一次的連立方程式,那這個多數人都是在國中的時候就解過了。

所以今天如果我們是問你說,這個多元一次的連立方程式它到底有沒有解,是不是唯一解,要怎麼找它的解,其實你都會。

那只是今天在線性代數裡面,我們會用不同的觀點來看待過去你已經都知道的事情。

也就是說chapter 1到chapter 3裡面的習題,你完全可以,就是你現在做,你八成也就是會了,但是如果你用線性代數的觀念來看的話,你會有不同的理解。

還有一個不一樣的地方是,我知道高中只會講3乘以3的行列式,但是在這門課裡面會推廣到n乘以n的行列式。

那另外還有一個不一樣的地方就是,今天我們通常你在高中你能夠學到的一個線性系統,它的輸入或輸出都是一排數字,就是一堆一堆數字。

那這一堆數字我們把它合起來叫做一個向量,那其實向量這個東西你在高中的時候也已經學過了。

但是在這一門課裡面,我們會進一步告訴你說,其實線性系統的輸入不一定是你所想像的那種向量。

你所想像的向量就是它是空間中的一個點,它是二維空間中的一個點,它是一個箭頭,它是二維空間中的箭頭或者是三維空間中的一個箭頭。

那如果是二維空間中的一個箭頭,你就用兩個數字來描述它,如果是三維空間中的一個箭頭,你就用三個數字來描述它,這是大家高中都學過的東西。

但是如果今天在這一門課裡面,我會告訴你說,vector並不只侷限於你想像的這個樣子。

舉例來說,一個function,一個訊號,一個會隨著時間變化的訊號,其實你也可以把它想像成是一個vector。

它不是你高中學過的vector,就這樣講可能很混亂,它不是你高中學過的vector,但是它其實才是真正的vector,它是一個廣義的vector。

就按照廣義的vector的定義,它其實也是一個vector,它也可以當作一個線性系統的輸入,它也可以是一個線性系統的輸出,不過這個是我們之後才會提到的。

所以很多概念是你高中的時候學到的,但是這一門課裡面還是會講很多不一樣的東西。

在第三章以後,擺在第三章裡面,我們只是給你一個指定的輸出,要你找出什麼樣的輸入可以得到這個輸出。

從第四章開始,我們會討論更general的問題,我們說這個線性系統的輸入,其實是一個集合,你可以給它各式各樣不同的輸入,我們用畫一個圈圈來代表一個集合。

這是一個集合,你把每一個輸入輸進去,它都會給你一個輸出,所以你把一個集合裡面的每一個element都輸進去,那你就得到一把輸出,它也是另外一個集合。

在第四章裡面,我們要問的是,怎麼來描述這一個集合?到時候我們其實不是用集合這個詞彙來描述輸出的所有可能性的總和,我們並不是用集合這個詞彙,我們會用另外一個詞彙來描述它。

因為這裡面其實是有無窮多的東西的,我們在線性代數裡面有另外一個詞彙來描述線性系統所有輸出的總和,所有輸出的集合,我們有另外一個詞彙來描述它。

那我會告訴大家說,怎麼來描述這個線性系統的輸出的可能性的集合應該是什麼樣子。

那這邊就會告訴大家維度的概念,那維度這個東西你其實也學過,二維、三維、四維,這個你都是學過的,但是在線性代數這門課裡面,你會更清楚地認識到,到底所謂我們講維度的時候指的到底是什麼。

另外一個會告訴大家的事情是,既然我們能夠描述這個集合,其實描述的方法是不只一種的,你可以選擇比較容易的方式來描述這個集合。

當你選擇比較容易的方式來描述這個集合的時候,你的線性系統就會改變,它就會變成一個可能是比較簡單的線性系統,那你來計算它,或者是你來分析它,就會變得比較方便,那這個是第四章會學到的東西。

那在第七章呢,我們會學到說,我們剛才說在一到三章裡面我們指定一個輸出嘛,然後說哪一個輸入可以得到我們要的輸出,那今天在第七章裡面我們會說,假設今天我們指定的輸出其實不在這個輸出的範圍的集合裡面,那當然這個線性系統就不可能得到這個輸出。

但是我們怎麼在這個可能的集合裡面找到一個近似的解,在這個集合裡面找到一個element,它跟我們指定的這個輸出,它的距離是最近的。

就雖然沒有解,雖然找不到任何一個輸入可以得到灰色的這個輸出,但也不是一籌莫展,我們可以在紅色的這個範圍裡面想辦法找到一個最近的。

這個是第七章要討論的問題。第五章會講一個東西叫做eigenvalue,也會講一大堆用eigen開頭的字眼。

通常講到,你知道為什麼這個叫做eigen嗎?就是因為讀到這邊的時候你就會非常哀傷,這個就叫做eigen。

因為通常你前面一到四章都覺得太簡單了,這個我隨便看一看就會,然後到第五章開始是你會開始看不懂,然後你就會開始很難過這樣子。那這個通常你會卡住呢?通常就在eigen那邊開始卡住。

這個linear system是怎樣呢?所謂的eigen的意思我們之後再講。有些linear system它會有某些特別的輸入,這些輸入有某些特質,什麼樣的特質呢?

你今天輸入S1到SN,它會直接把輸入乘上N倍,比如說把它放大。或者是你輸入另外一個向量,輸出會把它變小。

但是輸入和輸出的形狀是一樣的,但是它們的scale不一樣。有了這些技術以後,你就可以拿來做濾波器,濾波器要做的事情就是讓某種類型的訊號可以過去,某種類型的訊號不能夠過去。

那你有了第五章講的概念以後,你就會知道怎麼設計一個濾波器,讓某些訊號進來,它可以被amplify,它可以被放大,讓某些訊號進來,它會被縮小,它會被擋住,它會沒有辦法過去。

那其實設計濾波器的種種原理,其實就會在第五章裡面提到基本的概念。

所以今天這堂課的結論是這樣子,就是線性代數是很重要的。在電機系,如果沒有把線性代數學好,就好像沒有學會念能力,卻打到了天空動技場200樓一樣。

這個是今天這門課的結論,謝謝。