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高中版本的相量就是告訴你說,所謂的相量就是一組數字,那這組數字我們把它集合起來,用一個notation來表示,這邊我們用V來表示這組數字。

通常相量在這個課本裡面或在這個投影片上,如果我記得的話,我就會把它用粗體字,代表它是一個相量。

舉例來說,現在有一二三三個數字,把它集合起來,用一個中括號把它括起來,然後我們說它是一個相量。

有時候你不見得要擺成直的,你不見得要把它由上往下排,你可能可以由左往右排,你也可以說它是一個相量。

像左邊這種由上往下排的叫做column vector,右邊這種由左往右排的叫做row vector。

不過在這門課裡面,通常我們提到一個相量的時候,我們指的都是column vector,而不是row vector。

這是相量,那在相量裡面,它有很多的component,它裡面有很多的成員,那每一個成員,如果我們今天要指向,我們今天要提到一個相量V裡面的第i一個成員的時候,我們就會用Vi來表示,V下標i來表示相量V裡面的第i一個成員。

舉例來說,右邊這個相量,它有三個成員,1、2、3,那我們就會說V1第一個成員是1,第二個成員是2,第三個成員V3等於3。

那如果今天一個相量,它的component,它裡面的成員是小於四個的,一個相量是由少於四個數字所組成的話,那這個時候你其實可以visualize它,你可以在二維空間裡面去visualize一個,去可視化一個二維的相量,你可以在三維空間裡面去可視化一個三維的相量。

那其實你通常的做法就是說,一個相量裡面有兩個component,如果是在二維空間裡面,你就把第一個component當作是x座標的值,第二個component當作是y座標的值,然後你就畫一個箭頭,從原點指到這個V1、V2的地方,指到兩個component所決定的一個二維空間中的點。

這個東西就是一個你在高中的時候學過的相量。

那如果是三維空間也是一樣,你有一個三維的相量,那其實維度這個東西,在第四章還會詳細地告訴你說到底什麼是維度,但是我相信其實高中的時候也會提到這一個詞彙,所以我們這邊就直接跟你講說這是一個三維的相量,我想你大概也不會覺得困惑。

這是一個三部空間中的相量,這是一個三維的相量,它裡面有三個element,這三個element,如果我們要把這個相量畫出來的話,這三個element分別就是代表x軸的座標、y軸的座標還有z軸的座標,然後這三個座標可以在三維空間中點出一個點,然後接下來你畫一個箭頭,從原點指向V1、V2、V3所決定的那個點,那這個是一個三維空間中的相量。

這都是你高中學過的東西,那我們可以把一個相量V乘上一個數值,乘上一個scalar C,如果有一個相量它的兩個component是V1跟V2,那我們把這個相量V前面乘上一個數值C,那是什麼意思呢?

就是說我們把這個相量裡面的每一個component都乘上C的意思,所以你本來有一個相量V,它的第一個component是V1,第二個component是V2,如果你把這個相量V乘上兩倍,意思就是說你把V1乘上兩倍,你把V2乘上兩倍,那你就得到一個新的相量。

那兩倍的V,你可以想成是把原來的V拉長,在同樣的方向上拉長,變成原來的長度的兩倍,就是兩倍的V。

那兩個相量呢,我們可以把它相加,如果你有一個相量A,它的兩個component分別是A1、A2,你有一個相量B,它的兩個component,我們不要畫在這邊,它的component是B1跟B2,那把相量A跟B加起來是什麼意思呢?

把相量A跟B加起來,就是把它們對應到同樣維度的component分別加起來,你就把A1跟B1加起來,就是第一維,你把A2跟B2加起來,就是這個A加B這個相量。

A是一個相量,B是一個相量,A加B以後也是一個新的相量,這個相量的component,就是把原來相量的component加起來,就是新的相量,所以A1加B1等於A1加B1,A2加B2等於A2加B2,那這個就是相量A加B。

那如果你也可以很單純的想成說,我們把A這個相量拿出來,把B這個相量的尾巴接在A相量的這個頭,那就得到相量A加B。

好,那如果我們把很多相量的集合在一起,我們就得到一個vector的set,我們就得到一個相量的集合,比如說,舉例來說,我們這邊有四個三維的相量,我們用一個大括號把它括起來,我們就得到一個相量的集合,這個集合裡面有四個element。

那其實在今天這一堂課裡面,當我們說到相量的集合的時候,它可以是有無窮多個成員的,這個集合裡面可以有無窮多個成員。

舉例來說,我們可以講說,我們有一個相量的集合,我們有一堆二維的相量的集合,這個二維的相量,它裡面的component,我們寫成x1到x2,這個集合裡面的成員,它的x1、x2都滿足這個特性,x1加x2等於1。

舉例來說,0、1是這個集合裡面的成員,1、0也是這個集合成員,0.3、0.7也是集合裡面的成員,0.7、0.3也是集合裡面的成員。

如果我們要把這個集合畫出來的話,它看起來像是這個樣子,這一條紅色的線就是x1加x2等於1的這一條直線。

然後所有這個集合裡面的成員,就是我們說,我們今天在高中的時候,我們學到畫一個相量的時候,你就是從原點開始畫一個箭頭,就是一個相量。

那今天右邊這個集合裡面的成員,就是所有箭頭的尾巴,所有箭頭的地方,有落在紅色這一條線上的相量,就是這個集合裡面的成員。

那箭頭落在紅色線上的相量,其實有無窮多個,所以這個集合裡面有無窮多個成員,這是一個vector的set,這是一個相量的集合。

那最知名的相量的集合,或者是你馬上就會用到,一直會用到相量的集合,就是如果我們把所有有n個entry的相量通通集合起來,或者是我們把所有n維的相量。

雖然說這邊要再強調一次,就是維度在線性代數裡面有更嚴謹的定義,但我們今天就比較隨便地用你聽得懂的方法來講,有一堆n維的相量,把所有的n維的相量通通都集合起來,它是一個相量的集合。

這個相量的集合,因為非常常用到,所以給它一個名字,R上標n,代表說是所有n維相量的集合,或者是所有有n個component的相量的集合,我們把它寫作R上標n。

所以今天呢,這些vector,它們通通屬於R上標2這個集合,因為它們都是二維的相量,它們裡面都有兩個entry,它們裡面都有兩個數值,它們都是由兩個數值所組成的。

那如果說二維的R2這個集合有多大呢?它其實涵蓋了整個二維的空間,整個二維空間裡面所有的點都是屬於R2這個集合的成員。

那相量呢,有以下的特質,那這些特質都非常的trivial,都是非常的直覺,所以我們等一下也不會做任何的證明,我們就用流水帳的方式把它帶過去。

假設現在呢,我們有vector u, v, w,它們都是Rn的成員,也就是說,u, v, w,它們都是n維的相量,我們有任意三個n維的相量,跟任意兩個數值a跟b。

那u加v一定等於v加u,這個是trivial,不用證明,如果你真的想證它的話,你就說,我有一個n維的相量,然後它叫做u1……到un,然後你再說有一個v維的相量,我猜我可能很難把v跟u畫得不一樣。

好,它v1,然後一直到vn,然後呢,如果這個是式子的左邊,是長這樣子的,然後右邊呢,是把v跟u反過來,但加起來會是一樣的,就這樣,這沒什麼好講的,u加v等於v加u的直覺。

然後,u加v加u的話呢,你可以先把u跟v加起來,u加v加w的話呢,你可以先把u跟v加起來再加w,你可以先把v跟w加起來再加u,得到的結果是一樣的。

那如果今天呢,在Rn這個相量的集合裡面呢,存在一個很特別的相量,這個特別的相量呢,我們用一個0來表示,存在一個特別的相量,這個特別的相量它的能力是什麼呢?

這個特別的相量的能力是說,把0這個相量加上任何的相量u,都會變回它自己。這個特別的相量,如果叫你問你說它的每一個element是什麼,你直覺就可以回答說,它的每一個element都是0。

所以,因為它每一個element都是0,所以這個相量加上任何其他的相量,都會是任何其他的相量的自己。所以這個相量加上u一定會等於u。那因為這個相量裡面的每一個成員都是0,所以我們叫它zero的vector。

然後呢,你要有存在一個相量叫做u',這個u'它是什麼呢?這個u'它如果加上u,它會變成,我這邊其實應該用出體字啦,它會變成zero vector。

我就對每一個u而言,它可以找到一個對手,這個對手我們就寫做u',我們用u'來代表它的對手,然後u'加上u,它會等於zero的vector。

那這個u'叫做u的additive的inverse,當然這邊你一秒就可以知道說,到底u'是什麼,就是負一倍的u不是嗎,對不對,就是這樣。所以u'其實就是負一倍的u。

然後呢,一倍的u等於u,然後呢,a、b,就是你把a跟b這兩個scalar先相乘,再乘上u這個相量,會等於先把b這個相量乘上u,再乘上a,然後a倍的u加v等於au加av,a加b乘上u等於au加bu,這個都非常的直覺。

在這一頁投影片裡面,我們好像是要告訴你說,相量有以下這些特質。但事實上,真正的相量的定義是反過來的,並不是說相量有這些特質,而是說,有這些特質的東西,它就叫做相量。

讓大家瞭解這句話的意思嗎?這就像說,兩個人可能會是相愛才在一起,或者是因為在一起才相愛,這個意思其實是不太一樣的。

所以,其實並不是說相量有這些特質,而是說,有這些特質的東西就叫做相量。這邊有八個特質,如果你今天可以找到一堆東西,它們可能不是你傳統想像的那個相量。

你找到一堆東西,那你在這堆東西上面,你定義了什麼叫做加法。如果它不是一般你傳統想像的那個相量的話,你甚至不能加它,所以你要先定義什麼叫做加法,什麼叫做跟一個scalar相乘。

你把這些東西定義好,如果它符合以下這八個特質的話,那它就是一個相量,它就叫做相量。這個我們之後會再提到,到目前為止你還不需要擔心說,除了你高中學到相量以外還有什麼其他的東西,但其實還有其他的東西,我們是可以把它稱之為相量的。