講matrix,那matrix是什麼呢?

那matrix你可以想成是,如果我有一組vector,把它放在一起,就變成一個matrix。

假設我現在有三個vector,A1,A2,A3,那我把這三個vector把它排在一起,

這三個vector就變成A這個matrix的三個column,

把這三個vector排在一起,就變成一個matrix,可以寫成這個樣子。

它就是它,它就是它,它就是它。

相信這個對大家來說應該都不太陌生。

那在這個matrix裡面,我們要定義一下它的size的寫法。

如果一個matrix它有N個row,N個column,它有N個列,N個欄的話,

也就是說它的這個橫有N,然後縱的地方有N的話,

我們就說它的size是NxN,那我們寫成NxN,寫成NxN。

那如果今天有一個matrix它的N跟N是一樣的,

它是一個正方形的matrix,我們就說它是square。

那我們會用一個大N,下標NxN來代表所有的NxN的這個matrix所存的集合。

比如說我現在下面有一個matrix123456,

它有兩個row,兩個row,三個column,三個column。

那它就是屬於這個,你要描述它的size的話,你就寫成兩個row乘上三個column,

就寫成2x3,就寫成2x3。

那它就屬於這個大N下標2x3這個集合。

那如果我有另外一個vector,它是142536,它有三個row,它有兩個column,

那我們就寫成三個row,兩個column,就寫成這個320。

那它就是屬於這個大N下標320的這個集合。

那注意一下在這個matrix裡面,它的原則就是先row再column,先講row再講column。

你要講這個幾百幾的時候,都是先講row再講column,先講row再講column。

這個不要忘記了,先row再column,先R再C。

那這要怎麼記呢?就想到RC語音這樣子。

可是我覺得因為大家可能都不知道RC語音是什麼,所以就算了。

你可以想到比如說RC鋼骨結構啊等等,就想辦法把它記下來。

好,那這個matrix啊,再來要講matrix的這個index。

那如果我今天要講matrix的第I的row,第J的column的那個成員的話,

那我們就用這個小花號IJ呢,來代表它。

那這邊一樣注意這個原則就是先R再C,先R再C。

好,那假設有一個matrixA,它總共它是一個這個M by N的matrix,

它有N個row,有N個column。

那我在寫它裡面每一個component的這個下標的時候,

要注意它的原則就是先寫row的index,再寫column的index。

當然最左上角這個A一定是,它是第一個row,第一個column,所以它是A11沒有問題。

那左下角這個你不要寫成AEM,你寫AEM就不對了,你要寫成AME,

它是第N個row,第一個column。

右上角這個,因為它是第一個row,它是第一個row,第N個column,

所以你要寫成AYN。

右下角這個,它是第N個row,第N個column,所以你要寫成ANN,

所以這個就不要弄錯了。

比如說這邊胡亂舉一個例子,這個3呢,再假設一個matrixA,

這個3x3,它是3x3的matrix,那3呢,它是第一個row,第二個column,

所以它的index就是1、2。

那比如說左下角這個-2呢,它是第三個row,第一個column,

所以它的index就是3、1。

右下角這個呢,它是第三個row,第三個column,所以它的index就是3、3。

好,那matrix如果它們有一模一樣的size的話,

M版N的N跟N兩個matrix都一樣的話,

那你就可以把兩個matrix相加或者是相減。

那你也可以把一個matrix呢,乘上一個scalar,

假設我現在有兩個matrix,A跟B,然後我想要把這個B乘上9,

B乘上9,你就把這個9乘上B的每一個component就好了,

就9乘上96、54、99、81,所以9B的前兩component就是54跟81,

一次類推,相信這個高中都學過了。

那A加B呢,A加B怎麼算?

A加B就把這個element加這個element,這個element加這個element,

這個element加這個element,一次類推,

把同樣位置的element加起來就行了,

所以1加6是7,4加9是13,一次類推。

那A減B呢,A減B就是把同樣位置的element相減,

所以1減6得到-5放在這邊,4減9得到-5放在這邊,

就突然間5566,這個是巧合,我是沒有特別想要設計這個。

好,那再來要定義一些特別的metric,

第一個是zero metric,zero vector就是通通都是0的vector,

zero metric就是通通都是0的metric,就這麼簡單。

那有時候我們會直接用一個大O來表示,

那如果用大O來表示的時候,它可以是任何的size,

就看你的context是怎麼講。

你也可以給它加上下標MxN,

如果你幫它加上下標的話,就是很明確的定義了它的size。

那比如說,我如果寫說大O,下標2x3的話,

意思就是說我有一個metric,它裡面都是0,

它的row,前面的數字是2,所以它的row有兩個row,

第二個數字是3,所以column有三個。

那這個任何metric加上zero metric都還是自己。

那任何metric乘以0這個scalar,會變成zero metric,

然後任何metric自己減自己,會變成zero metric。

那第二個要講的是identity metric,

首先identity metric它必須是正方形的,

它要是square的,它才能夠是一個identity metric。

那identity metric它的特性就是,

左上到右下的對角線是1,其他部分都是0。

比如說,這個是一個identity metric,

在斜對角線的地方,

左上到右下斜對角線的地方是1,

其他部分通通都是0。

那有時候我們會把,

我們通常用大寫的I來表示一個identity metric,

那會加一個下標來代表它的size,

比如說I3就代表它是一個3x3的identity metric,

但我們不需要用兩個下標來表示它,

如果你是這個zero metric,

你需要兩個下標來表示它的size,

但identity metric不需要兩個下標,

為什麼呢?

因為很簡單,identity metric一定是square的,

所以I3就代表說它的row和column都一定是3個。

那如果沒有寫的話,當然它就可以是任意的size,

就看你的context來決定。

那再來metric有種種的特性,

比如說假設有ABC三個metric,

它的dimension都是MxN,

然後有S和T這兩個scalar,

下面有種種的metric,

這課本上都有,

我們就很快的放讀過去。

A加B等於B加A,

A加B加C,

A加B括號加C,

等於A加上括號B加C,

然後S乘以括號再乘上A,

等於T先乘上A再乘,

這邊有個錯,

我自己找到了,

這個S應該是小寫這樣子,

它會自動把它變成大寫。

這邊有個錯。

好,那S乘上括號A加B等於SA加SB,

然後S加T乘上A等於SA加TA,

然後就這樣,OK。

好,那再來下一個要講的是metric的transpose,

那假設A是一個MxN的metric,

那當我把A加上一個上標T的時候,

把A加上一個上標T的時候,

它是什麼意思呢?

它是說A上標T也是一個metric,

它叫做transpose of A,

原來的A是一個MxN的metric,

那A的transpose,

A上標T,

它就是一個相反過來,

它是一個NxM的metric,

那假設原來呢,

它在這個A transpose裡面啊,

它的第I的row,

第這個column的entry,

就是原來的A裡面,

第這個row,

第I個column的entry,這樣。

好,那這個聽起來非常的複雜,

如果你是第一次聽到transpose的話,

這個敘述可能讓你覺得非常混亂,

那我們就直接舉一個例子,

就是說現在有一個metric A,

它還是689902,

那我們把它做transpose,

把它做transpose,

好,把它做transpose,

那怎麼做transpose呢?

做transpose直覺上來的做法就是呢,

你以左上到右下的這個對角線為軸,

然後把它做翻轉,

把它做翻轉,

也就是說呢,

以這個為軸,

然後把右上角的東西翻到左下,

把左下角的東西翻到右上,

翻完以後就變成這樣子,

大家可以了解嗎?

本來這個9啊,

它翻過來以後就跑到這邊,

本來這個9翻過來以後就跑到這邊,

6跟2都還是在左上和右下,

是不動的。

那比如說,

原來9呢,右上角的9,

是在原來的A裡面的第1個row,

第2個column,

做完transpose以後呢,

這是row跟column交換,

所以9就變成在,

原來是第1個row,第2個column,

它就變成第2個row,第1個column,

所以9就變成第2個row,第1個column,

不過原來右下角的2呢,

它是第3個row,第2個column,

做完transpose以後,

它應該就變成第2個row,第3個column,

它就變成第2個row,第3個column,

好,那這個是transpose的定義,

那transpose也有種種的性質,

這些性質其實都蠻直覺的,

所以也不需要證明,

我相信你自己都可以想得出來,

就是假設A跟B都是MxN的matrices,

那S呢是一個scatter,

如果我把matrices A做一次transpose,

然後把A的transpose再做一次transpose,

就連做兩次transpose,

就是TT,TT就是哭了,

TT就是哭了,

哭了就變成原來的東西,

然後把A做一次transpose,

做一次翻轉,

再做transpose就轉回來,

所以什麼事都沒有發生,

就是還是自己,

那這個S乘上A再做transpose,

就等於S乘上A的transpose,

這個太直覺了,

這個就除了不亂舉個例子就好,

A是5566,

然後S等於2,

然後2A就是10,10,12,12,

然後再做一個transpose,

就變成10,12,10,12,

然後A自己先做transpose,

本來5566變成5656,

然後再乘上2,

就變成10,12,10,12,

這兩個是相等的,

所以就沒問題了,

那第三個性質是,

A加B的transpose,

先加再transpose,

等於A的transpose加B的transpose,

先加再transpose,

等於先transpose再加,

這個也是太直覺了,

你胡亂帶幾個數字,

你就不會懷疑它,

假設B是7788,

那A加B,

A加B就是12,

5加7是12,

5加7是12,

6加8是14,

6加8是14,

A加B就是12,12,14,14,

A加B的transpose就是12,14,12,14,

那A的transpose就是5656,

B的transpose是7878,

加起來,

我們把A加B的transpose,

等於A的transpose加B的transpose,

我相信大家這個應該都沒有問題。