好,那剛才我們講的是檢查一個System of Linear Equations,它是有解還沒有解。

那接下來我們要問的下一個問題是,如果有解的話,那有多少解呢?

這個部分呢,對應到課本的Chapter 1.7,那這都是我們剛才講過的東西啦。

好,我們剛才說我們可以藉由Linear Combination的概念或Span的概念檢查說一個System of Linear Equations,它有解還是沒有解。

那接下來我們要問的問題是,在有解的前提之下,應該要有多少解呢?在有解的前提之下,會有多少的Solution呢?

好,所以接下來呢,我們在這份投影片裡面要學到的是說,假設A的Column,它的特性是Independent的。我們等一下會講說Independent是什麼。

假設A的Column,它是Independent的。或者是,就這個也是換句話說,假設A這個Matrix,它的Rank是N。

每一個Matrix呢,它有一個特性叫做Rank,如果它的Rank是N的話呢,那它就是,或者是說它的Nullity,也是它另外一個特性,它的Nullity等於0的話,那它就有唯一解。

那如果在另外一個Case,A的Column是Independent的,A的Rank小於N,或者是A的Nullity大於0的話,那這個System of Linear Equations,它就有無窮多解。

那這邊你可能會有一個問題是,我們這邊只考慮唯一解跟無窮多解的Case嗎?怎麼不考慮其他的舉例來說,只有兩個解,或者是有三個解的Case?

那你仔細想一想,根據一個System of Linear Equations的特性,當它有解的時候,它唯一的可能就是一個解,或者是無窮多解。

那怎麼說呢?我們講完這件事,我們就下課。我們來講說,為什麼一個System of Linear Equations,它只有可能有一個解,或者是無窮多解呢?

你想想看,假設有一個System of Linear Equations,它有兩個解。

假設有一個System of Linear Equations,或者是一個Linear System A,然後你說,它的constant term現在是B,你找得到某一個vector x,它輸出以後,它輸入A以後,你得到的結果是B。

那現在假設它有兩個解,假設你找得到第二個解,你輸入x'以後,你輸入x'以後,它得到的輸出也是B。

這個時候你會發現說,你找得到第二個解,其實你就找得到無窮多個解。

怎麼說呢?根據System of Linear Equations的特性,如果我今天有一個輸入是0.3倍的x,加上0.7倍的x',把它輸入到這個System A裏面。

把它輸入到這個System A裏面。那我得到的結果會是多少呢?根據System of Linear Equations的特性,你把輸入做相乘相加,輸出也會做一樣的相乘相加。

所以0.3倍的x加0.7倍的x',你得到的輸出仍然是B。或者說,你把這個0.3換成0.4,你把這個0.7換成0.6,它的輸出仍然是B。

所以一個System of Linear Equations,你找得到第二個解,接下來你就可以找到無窮多解。

所以一個System of Linear Equations在有解的情況下,它要嘛就是一個解,你找不到第二個,要嘛就是你找不到第二個以後,它就有無窮多解。

所以我們只會考慮一個解跟無窮多解的case。

我們今天這堂課就上到這邊,那我們就下課。有一件事先提醒一下,就是我們下下禮拜五公告作業一跟作業二。

因為作業一跟作業二是比較簡單的,所以就合在一起公告。下禮拜五,如果我沒有記錯的話,應該是10月5號,下禮拜會再提醒大家一次。

你可能會發現說上課的內容其實跟課本的敘述的方式並不完全一致。

你會發現說跟課本的章節的安排、跟課本的敘述的方式是不太一樣的,但其實講的是一樣的東西。

我之後會在每一份投影片的開頭列出這個部分的內容大概是來自於課本的哪一個章節,給你自己要念課本的時候作為參考。

之前的投影片我也有做更新了。所以今天要講的內容,今天要講什麼是independent,什麼是dependent的vector set,這個部分是對應到課本的一之七。

我們上週講了什麼呢?我們上週講說如果我們要知道一個system of linear equation它有沒有solution的話,那我們要怎麼做呢?我們學了兩個新的terminology,一個是linear combination,一個是spec。

我們說如果現在B是A的column的linear combination,或者是說B是在A的column的spec裡面,那我們說這個system of linear equation是有解的,反之它是沒有解的。

接下來我們要進一步問的問題是,如果有解的話,那有多少個解呢?我們說如果今天A的column滿足下面這三個條件,而是說滿足這一個條件,那這個條件有三個不同的敘述方式。

一個是A的column是independent的,那我們等一下會解釋什麼叫做independent。另外一個是A的rank,我們來解釋什麼是A的rank。

A的rank是n,還有一個是A的nullity是0。這樣子的話,這一個system of linear equation它就只有這個唯一解。

那反之如果在另外一個狀況,A的column是dependent的,或者是說,就換句話說,A的rank小於n,或者是再換句話說,A的nullity大於0的話,我們說這個system of linear equation會有無窮多解。

那我們上週停在想要跟大家解釋說,為什麼只考慮唯一解跟無窮多解的狀況呢?因為我們說其實只會有這兩種狀況,不可能有其他的狀況。

那我們這邊告訴大家說,如果有兩個解,你找得到兩個解,那你就可以找到一個system of linear equation,如果你找得到兩個解,那你就可以找到無窮多解。

因此,今天一個system of linear equation要嘛無解,要嘛唯一解,要嘛就是無窮多解,並不會有兩個解三個解這樣子的狀況。

好,那接下來就跟大家介紹兩個新的專有名詞,什麼叫做dependent,什麼叫做independent。

那dependent如果翻譯成中文的話,你就翻成依賴的、相依的或者是不獨立的,那如果independent,你就翻成獨立的。

好,那我們來講一下,我們先講一下這個dependent跟independent的定義,然後再看一下它的直觀的解釋是什麼意思。

好,我們來看一下這個dependent跟independent的定義,我們說如果你有一個vector set,你有一個vector set,裡面有n個vector,A1、A2到An,我們有n個vector。

我們說這n個vector是linear dependent的,如果它滿足下面這個條件。

如果你找得到一組scalar,X1到Xn,你找得到一組scalar X1到Xn,用這一組scalar去對A1到An這n個vector去做linear combination。

然後你找出來的這組scalar,它們不全部都是0,有一些是0沒有關係,但不能夠全部都是0。

如果你找出來這組scalar,沒有全部都是0,然後你把它對A1到An去做linear combination,然後你發現你可以得到zero vector的話。

你找得到這一組scalar,可以得到一個zero vector的話,那我們就說這組vector是dependent的。

那其實更嚴格說起來是linear的dependent,不過在上課的時候,我們通常就把linear這個詞匯省略,說這組vector set是dependent的。

那independent呢?independent就是dependent的相反。independent是什麼意思呢?

independent是說,如果你現在要讓A1到An它們做linear combination,結果等於0,唯一的可能是你的這些係數,你的這些coefficient全為0,那這個叫做dependent。

所以一個vector set要嘛是dependent,要嘛是independent。

如果你要讓這一組vector set做linear combination,結果為0,唯一的可能是所有的係數都為0的話,那這組vector set是independent的。

反之,如果你找得到一組係數,它們不是全部都是0,只要有其中一個係數不是0,它們不是全部都是0,然後做完linear combination可以等於0的話,那你就會說這個vector set是dependent。

好,那今天呢,如果在dependent的情況下,你如果找得到一組scalar可以讓linear combination等於0,其實你就可以找得到無窮多組,為什麼?

因為假設你找得到一組x1到xn,它們做linear combination以後,它們用這組係數對A1到An這個vector set做linear combination,你可以讓它變成zero vector的話,那你其實就找得到另外一組。

怎麼找另外一組呢?把所有的x比如說除2,除2,除2,你就找到另外一組了,對不對?因為如果你把這邊所有的係數都除2,都除2,都除2,其實是不會影響它計算出來的結果的,對不對?它仍然是一個zero vector。

那如果你除3,你就找到另外一組coefficient,你除4,你就找到另外一組coefficient。

所以今天在dependent的情況下,可以讓這個vector set做linear combination等於zero vector,這組非0的scalar,其實是有無窮多的。

你有問題是嗎?網列上沒有投影片是嗎?沒有投影片?我沒有放上去嗎?這一份沒有是嗎?真的啊?抱歉抱歉,那我們現在把它上傳到社團上好嗎?

好,現在上傳,秒上傳這樣子,等我一下喔,好。

繼續講吧,這邊往往你會遇到的一個問題就是,隔天你就會忘了到底全部都是0是dependent還是全部都是0是independent,隔天就忘了它的定義了。

所以我們用一個比較直觀的方式來解釋dependent跟independent。我剛才還有一件事沒有講,就是說,今天如果是在independent的case,那你可以讓a1到an做linear combination等於0的這組係數x1到…

我發現一個錯,我發現一個錯,是什麼呢?這個應該是xn,好,這一組coefficient,x1到xn,它是唯一的,它是unique的。

好,那我們用一個比較直觀的方式來解釋什麼叫dependent,什麼叫independent。所謂dependent的意思,直觀的解釋就是,假設你有一個vector set,在這個vector set裡面存在了某一個vector,這邊我們說這個vector叫做ai,這個vector是其他的vector的linear combination。

這個ai,它是其他的vector的linear combination,ai就是人工智慧這樣子,這個ai它是其他的vector的linear combination,那我們就說這個vector set是dependent的。

好,那我們知道dependent的意思就是相依的、依賴的、不獨立的,那因為在這個vector set裡面有一個人,他是一個冗員,那這個ai它是一個冗員,它是其他人的linear combination,其他人就可以做到跟ai這個vector一樣的事情,它是其他人的linear combination。

所以我們說這個vector set裡面有冗員,他們是dependent的,這個vector set裡面有一個vector,它是跟其他人是相依的,所以整個vector set我們說它是dependent的,也許這樣子你會覺得比較好記一點。

好,那這個敘述其實跟剛才上一頁投影片的敘述其實是一樣的,如果在你的vector set裡面的vector多於一個的時候。

好,那我們先來舉一個例子來看看說一個vector set它是dependent的還是independent的,這邊有一個vector set,它裡面有兩個vector,那它是dependent的還是independent的呢?

那你一秒鐘就可以看出來說,在這個vector set裡面,也許我們拿這個vector出來,我們說它叫做a1,a1這個vector它其實是另外一個vector a2的linear combination,為什麼?

我們說把a2乘上5分之2,其實就會等於a1,把a2乘上5分之2就會是a1,所以a1是a2的linear combination,或者說a2其實也是a1的linear combination。

因此,這一個vector set裡面有某一個vector是其他人的linear combination,所以這是一個dependent的vector set,這個vector set是dependent的,這是一個例子。

好,那我們現在舉另外一個例子,這邊有一個vector set,它裡面有三個vector,它是dependent的還是independent的呢?給你三秒鐘想一下。

你覺得它是dependent的同學舉手一下,好,把手放下來,覺得它是independent的同學舉手一下,有些人覺得它是independent的,也許如果給你一個vector set,你要檢查說裡面是不是某一個vector是其他vector的linear combination,對你來說也許一瞬間有點困難。

好,那我們來看一下,今天我們說dependent的定義就是,如果某一個vector是其他vector的linear combination的話,它就是dependent的。所以其實今天這個問題非常簡單,你就檢查一下,你發現說最右邊這個vector 71.6,它是第一個vector加第二個vector就是71.6,所以第三個vector它是前面兩個vector的linear combination。

所以它是dependent的,好,接下來我們看第三個例子。第三個例子是這樣子的,有三個vector 3-17000-251,它是dependent的還是independent的呢?

判斷一個vector set是dependent還是linear independent的做法就是,看看在這個vector set裡面是否有一個vector是其他人的linear combination。在這個vector set裡面,有沒有某一個vector是其他vector的linear combination呢?

給你五秒鐘想一下,你找得到某一個vector是其他人的linear combination嗎?好,那你覺得它是dependent的同學舉手一下,好,很少,那你覺得它是independent的同學舉手一下,好,多數人都覺得它是independent的。

你覺得這裡面沒有任何一個vector是其他人的linear combination,真的是這樣嗎?這個是A1,這個是A2,這個是A3,然後其實你把A3乘0,其實就等於A2了不是嗎?

所以A2可以說是A3的linear combination,我這樣有違反linear combination的定義嗎?其實沒有linear combination,你的coefficient可以是0啊,對不對?

或者是它其實有很多個可能的linear combination,我可以說這個A2等於A3乘0加A1乘0,這樣也可以。所以A2是其他vector的linear combination,所以這個vector set它是dependent的,就這樣子。

那你可能會想說,那如果回歸一開始講的那個定義呢?你說要找到X1、X2、X3不全為0,它才是dependent的,不全為0,然後做linear combination又等於zero vector,那它才是dependent的。

那在這個case,你要找到一組係數不全為0,然後做linear combination又是0,太簡單了,這邊是0,這邊是0,這邊我就隨便說個這是π這樣子,然後做linear combination以後它是0。

那所以這是一組不全為0的係數,所以這個vector set它是dependent的。所以這個例子告訴我們什麼事?這個例子告訴我們是,如果在一個vector set裡面,它有zero vector,

那它就是dependent的,就這樣子。因為如果你有一個vector set裡面有一個zero vector,其他的vector只要乘上0,它在做linear combination的時候,只要它的係數是0,就可以變成那個zero vector。

所以一個vector set裡面如果有zero vector,你就不用想,它就是dependent的。所以我們知道說,任何一個vector set,它只要有包含zero vector,那它就是dependent的。

但是這個有關dependent、independent的講法,我們會遇到一個問題,就是我們在只有一個vector的時候,你就沒有定義。那我剛才在上面這個綠色框框裡,我的講法是說,如果某一個vector ai是其他人的linear combination的時候,它是dependent的。

不過如果只有一個vector的時候,它是沒有定義的。所以如果只有一個vector的時候,你還是要用真正的定義,就是我們前面一開始講的,你找得到一組非0的係數,來檢查說這個vector set是dependent的還是independent的。

但是在一個vector set它有多過一個element的時候,上面這個敘述跟下面這個敘述,其實講的是同一件事。

怎麼說呢?我們就簡單舉個例子來說明。假設有一個vector set,它是dependent的。那根據dependent的定義,我們是說,你找得到一組不全為0的係數,做linear combination以後等於zero vector。

那我們現在只是想要舉例告訴你說,下面這個敘述其實跟上面這個敘述的意思是一樣的。那今天假設說,我們找得到一組不全為0的係數,比如說我們把ai乘上2,aj乘上1,ak乘上3,然後我們說它會等於zero vector。

那如果這個vector set我找得到任何一組係數不全為0,把這個vector set做linear combination,會等於zero vector,我們說這個vector set是linear dependent的。

那這個時候呢,你只要把這三個vector裡面的其中一個挪到等號的右邊,比如說我們現在把3倍的ak挪到等號的右邊,變成-3倍的ak,

然後我們把-3除到左邊去,變成說-1⅓的ai加-1⅓的aj等於ak。

那這個時候我們就可以換句話說,其實同一件事我們換句話說,我們說ak是另外兩個vector,aj跟ai的linear combination。

那所以說ak它是別人的linear combination,它沒有辦法做什麼多餘的事情,所以它是一個冗員,所以這個vector是一個dependent的vector set。

那反過來說也是一樣,我們說dependent的意思就是某一個vector這邊寫成ai'它是3倍的aj'加上4倍的ak'.

那如果在一個vector set裡面你找得到某一個vector是其他人的linear combination,那這個vector set就是dependent。

那這個敘述也等同於是說,我們現在把所有的vector通通都挪到同一邊,然後呢它們等於0。

你找得到一組非0的敘述,它們等於0,所以上面跟下面這兩個敘述啊,它們講的是在你的一個vector set裡面有多過一個vector的時候,它們講的其實是同一件事。

好,那接下來要跟大家說明的就是,假設一個system of linear equation,它的那個coefficient matrix,就它的那個matrix A呢,它的column是dependent的,那一旦這個system of linear equation有解,它就有無窮多解。

但要注意一下這個條件是說,它一旦有解,它會有無窮多解,但並不保證說如果你的column是dependent的,它就會一定有解。

所以dependent這件事跟有沒有解是沒有關係的,它是說一旦有解,它會有無窮多解。

那在比較正式的證明這件事之前呢,我們先用比較直觀的方式來跟大家說明說為什麼會這個樣子。

舉例來說,現在你有一個system of linear equation,它就寫成這個樣子,你有一個system of linear equation,它是這個樣子。

那我們來看一下說,它的matrix A的這三個column組成了一個vector set,我們先來看說這三個column組成的vector set,它們是不是linear dependent的還是linear independent的,它們是dependent的還是independent的呢?

那你簡單檢查一下就會發現說,這個第三個vector會等於第一個vector跟第二個vector的相加,第三個vector會是第一個vector跟第二個vector的相加。

某一個vector是其他人的linear combination,所以這一個vector set,這個matrix A的column所組成的vector set,它是linear dependent的。

那一旦這個system of linear equation有解,它就會有無窮多解。為什麼它一旦有解,就會有無窮多解呢?那我們先假設我們找得到一組解。

舉例來說,現在如果x1代1,x2代1,x3代1,那你就會發現說,把x1等於x2等於x3等於代進去,這個system of linear equation,它是consistent的,它的左式會等於右式。

所以111是其中一個解。好,那如果你找得到一個解,按照dependent的定義,按照dependent的性質,你就可以多找到一組解,多找到一組解,你就等於找到無窮多解。

怎麼多找到一組解呢?因為按照dependent的性質,其中一個vector,你至少找到一個vector,它是其他人的linear combination,所以你完全可以把那個可以被其他人用linear combination表示的vector,把它換掉。

所以今天7116這個vector,它既然是其他人的linear combination,它就是可以被換掉的,所以你可以把7116換成7116換成633跟183的linear combination。

如果你把這個vector換成633跟183的linear combination的話,你就找得到另外一組解,它的x1等於2,它的x2等於2,然後你把x1設為2,你把x2也設為2,你把x3設為0,左邊跟右邊,左式跟右式仍然是consistent的。

所以220是另外一組解,你找到兩組解,你就找得到無窮多解,那這是直觀的解釋告訴你說,為什麼如果column是dependent的,那就會有無窮多組解,一旦有解,就會有無窮多組解。

接下來就是要比較正式的來跟大家證明一下說,為什麼column是dependent的,就一定有解。column是dependent的,在有解的時候就會有無窮多組解,我們要證明說這兩件事情是等價的,它們是弱且為弱的。

我們今天證明的時候就分成兩個方向,首先先證明說,如果A的column是dependent的,一旦有解,就有無窮多解,這是從dependent到無窮多解。

那反過來,一旦這個system of linear equation不但有解,而且有無窮多解,這邊我就不用敘述說有解的條件,因為這邊說它有無窮多解,其實就代表說它是有解的。

一旦今天這個system of linear equation它不但有解而且有無窮多解,那這個system of linear equation它的column就是dependent的。

所以dependent這件事情跟一旦有解則無窮多解這兩件事情是等價的。

那在證明之前,會需要跟大家講另外一個東西,這個東西是homogeneous。

homogeneous的意思是說,如果有一個system of linear equation,它的constant term等於零,那我們就說這個system of linear equation是homogeneous。

就這樣,它的定義就這麼簡單,constant term是零,constant term是,我們本來這邊有個vector b,我們說ax等於b。

如果今天b等於0 vector,我們就說這個system of linear equation它是homogeneous的。

那這個homogeneous的system of linear equation,它一定會有解,為什麼?

因為你用腳趾想就知道說它一定有一個解是什麼,就是zero vector,對不對?如果今天x代0,zero vector乘上a還是zero vector,a乘上zero vector還是zero vector。

所以一個homogeneous的equation,一個homogeneous的system of linear equation,它是一定找得到一組解的,這組解。

我們不知道它會不會有其他的解,你不知道它是有多少解,你不知道它除了零以外會不會有別的解,這你還不知道,in general而言你不知道。

但是就算你不知道這個matrix A的coefficient長什麼樣子,你不知道A裡面的column長什麼樣子,你一秒鐘就可以反映說,我至少確定一定會有一組解。

這組解就是0,這個是zero vector,這個是homogeneous的system of linear equation的特性。

好,那根據這個dependent independent的定義,我們馬上就可以得到以下的結論。

如果今天一個vector set,它用這個vector set來組成matrix A,如果今天這個vector set它是dependent的,

那用這組vector set組成的matrix A來產生一個homogeneous的system of linear equation,它一定會有非0的解,它一定會有無窮多解。

這件事情是顯然的,為什麼?因為它是根據定義,懂嗎?它就是dependent independent的定義。

我們剛才有說過所謂dependent的定義是什麼意思?dependent的意思是說,你找得到一組coefficient x1、x2到xn,

它們跟A1、A2到An做linear combination以後,得到的結果是zero vector,然後它們不全為0,x1到xn不全為0。

那x1到xn不全為0的意思,這件事情等同於在說,你找得到一個不等於zero vector的x,

你找到一個x,它不等於zero vector,它跟A相乘以後會等於0。

那因為matrix A跟x相乘,其實就等於是拿x1到xn這組係數,對matrix A的column A1到An做linear combination。

所以今天A乘上x的意思就是,拿x1到xn這n的係數對A做linear combination。

然後我們剛才說,如果按照dependent的定義,你找得到一組非0的係數,讓這個linear combination的結果是zero vector。

所以今天這個homogeneous equation,你找得到一個不等於0的vector,它是Ax等於0的solution。

這個地方大家可以接受嗎?其實這就是根據定義,沒有做什麼額外的事情。

這個部分有問題的同學,有問題要問嗎?大家有問題嗎?可以接受嗎?

好,那甚至你也可以說,如果你想的話,你甚至也可以說Ax等於0,有非0的解就是代表,它就是dependent的定義,你也可以這麼說。

反正這個Ax等於0,會有非0的解這件事情,其實就是來自於dependent的定義,所以我們並不需要多做額外的證明。

好,那我們剛才有講過說,一旦一個system of linear equation,你找得到兩個解,那它就有無窮多解。

那我們知道說homogeneous的system of linear equation,它一定有一個解,那就是zero vector。

現在你又說你找得到一個非0的解,你找得到一個解等於0,你又找得到一個非0的解,那意味著它就有無窮多組解了。

好,那下面這個敘述也一樣,下面這個敘述的解釋也是一樣的,下面這個敘述是說,假設有一個vector set,它是independent的。

意味著說,如果你要找一組參數x1、x2到xn,它乘上a1、a2到an等於0,唯一的可能性是,x1、x2到xn,它們全部都等於0。

這個是dependent的定義,這個是定義沒有什麼好說的,剛才說錯了,剛才說成是dependent的定義,這是independent的定義。

independent的定義就是,你唯一讓a1到an做linear combination等於0的coefficient,是所有的coefficient都等於0。

那這件事情,這個敘述等價於ax等於0這個system of linear equation,唯一可能的解就是zero vector,除了zero vector以外,沒有其他可能的解。

一旦有其他可能的解,那這個vector set就不是independent的,它就是dependent的。

這些都是根據定義來講。

接下來,剛才只講了homogeneous的system of linear equation,現在要講的是,in general而言,就算它不是homogeneous的,

如一旦a是dependent的,那保證推得ax等於b有解的話,就會有無窮多解。怎麼說呢?我們知道說因為a是dependent的,

根據dependent的定義,一個homogeneous的system of linear equation au等於0,這個u可以找得到一個non-zero的vector,u它跟a相乘以後等於0。

所以u它可以是一個non-zero的vector。然後接下來,我們又說,因為ax等於v它是有解的,所以你現在又存在著一個v,這個v跟a相乘以後會等於b。

所以今天我們知道,u跟a相乘以後會等於0,a跟v相乘以後會等於b。

你找得到一個vector u跟a相乘以後等於0,你找得到另外一個vector v跟a相乘以後等於b。

從這個結論,你就可以得到說,這個system of linear equation它是可以有無窮多解的。

怎麼說,因為你可以找到另外一個解,你只要把這兩個式子的左邊跟右邊相加,au跟av加起來,變成a倍的u加v,zero vector跟b加起來,會等於b自己。

那你就發現,a乘上u加v,a這個metric乘上u加v這個vector,你會得到b,那u加v就是另外一個解。

當然如果今天u是zero vector,u加v還會等於自己,那你其實沒有找到另外一個解。

但問題是,現在我們已經告訴你說,因為a是dependent的,根據a是dependent這個性質,u它可以是非0的。

所以你找得到一個非0的u,它跟你原來已經存在的解v加起來以後,它又是一個新的solution。

所以我們找得到第二個solution,我們找得到u加v這個solution,本來ax等於b只有一個solution是b,我們只確定至少有一個solution,但是我們找得到另外一個,那我們其實就有無窮多的solution。

這個是從dependent證到有無窮多的solution。

那反過來說呢,怎麼說如果有無窮多的solution,那就一定是dependent的呢?

那這個證明也很簡單,如果今天有無窮多的solution,那你一定找得到兩個不一樣的solution,對不對?

如果你有無窮多的solution,從無窮多的solution裡面,你隨便挑兩個不一樣的出來,我們挑u跟v出來,它們是不一樣的。

那a乘上u,跟a乘上v,a乘上u,跟a乘上v,它們都會等於b。

接下來呢,你把這個式子的相減,所以你把左邊的au減掉av,變成a乘上u減v,右邊的b減掉b,會等於zero vector。

那因為u不等於v,我們已經知道說u不等於v,所以呢,u減v它就會不等於0,它就不等於zero vector。

那這就告訴我們什麼?這個就是dependent的定義啊,你可以說這個是dependent的定義。

你找得到一種不全為0的coefficient,跟a的column做linear combination以後,等於zero vector。

所以a是dependent的,就這樣子。

好啦,講到這邊,大家有問題要問的嗎?OK嗎?

那剛才講的是dependent跟independent,那接下來要講的是另外一個名詞,這個名詞叫做rank,那我還會講另外一個名詞叫做nullity。

不過我們在定義rank的時候,我們是需要用到dependent independent的概念,我們才有辦法定義rank。

這件事是跟dependent independent是有關係的。

那什麼是一個matrix的rank呢?什麼是一個矩陣的rank呢?

這個矩陣的rank的意思是,在這個矩陣的vector裡面,在這個矩陣的column裡面,你可以找到最多的independent的column的數目,你可以找到最多的independent的column的數目,就叫做這個matrix的rank。

那nullity的定義是根據rank來的,剩下的column就是nullity,剩下的column的數目就是nullity,或者是你把一個matrix它的column的數目減掉它的rank的數目,就是nullity的數目。

這樣講起來有點抽象,也許我們就直接舉一個例子。舉例來說,這邊有一個matrix-32-1-790-002,它的rank有多少呢?

那你要問說它的rank有多少,就等於是問說,你可以從這個vector set裡面,這個vector set有三個vector,這個matrix有三個column,所以這個vector set裡面有三個vector。

從這個vector set裡面,你可以挑出多少的vector組成一個新的集合,它們仍然是independent。你可以從裡面挑出多少的vector放在一起,它們仍然是independent的。

那你知道這個數字一定小於等於三,對不對?如果你回答說,我今天這個matrix的rank是四,那就太智障了,因為rank的定義就是你可以從這個set裡面挑出多少vector組成一個新的集合,它仍然是independent的。

所以今天只有三個vector,你不可能挑出四個,所以最多就三。你在檢查的時候,你就從三開始檢查起。有沒有可能是三呢?

如果是三的話,意思就是說,如果其實只有三個vector,所以如果你說你要從這個vector這裡面挑三個vector,就是全部都選,這三個vector都選起來的話,它們是dependent的還是independent的呢?

你就想一下,它們有人是其他人的linear combination嗎?你可以這樣想。或者你可以想說,你找得到一組非0的係數,讓這三個vector做linear combination以後等於0vector嗎?

之後會再教大家說,怎麼用比較有效率的方法來判斷說它是dependent還是independent的。到目前為止,也許你還不知道這個有效率的方法怎麼回事,所以你可能就是自己在心裡面想一下,-370可以用這兩個東西組起來嗎?

看起來好像不行,因為如果你-370要用這兩個東西組起來的話,這個vector一定要乘0嘛。中間這個vector怎麼乘都不可能變左邊這個,所以不行。

中間這個可以用左右兩邊這個做linear combination組起來嗎?看起來不行。右邊這個可以用左邊這兩個組起來嗎?做linear combination組起來嗎?

不可能,因為這邊它第三個dimension是個2,所以左邊這兩個vector你不管乘多少,它們第三個dimension係數都是0,你不管乘多少都組不出2。

所以這三個vector你把它拿出來,它們是independent的,它是一個independent的vector set。

所以這一個metric,它的rank,我們就直接寫成R好了,R等於3,rank等於3。那nullity是多少呢?nullity就是rank算出來的啦,nullity就是0。

Colin的數目減rank的數目,nullity就是0,所以rank加上nullity會正好等於Colin的數目。

那我們再看下一個例子,這邊有三個vector,這邊有一個metric,它有三個Colin,這個metric你覺得它的rank是多少呢?

今天就可以檢查一下,如果我把三個vector都拿出來,rank會等於3嗎?rank不會等於3,對不對?

因為你隨便找就可以舉到一個例子,1、2、3,第一個vector乘10倍,會等於第三個vector,10、20、30。

所以你把三個vector都取出來,它是一個dependent的vector set,它不是independent的,所以rank一定是小於3的。

那接下來你就會想說,那如果我取兩個vector呢?那取兩個vector的話總共有三個可能嘛,你要嘛取這兩個,要嘛取這兩個,要嘛取這兩個,對不對?

好,那你會發現說呢,不管是哪一個組合,它仍然都是dependent的。

如果你取這兩個,那這個vector乘三倍就變它嘛,你取這兩個,這個vector乘三分之十倍就變它,你取這兩個,這個vector乘十倍就變它。

所以rank是小於2的,你找不出兩個Colin,它們合在一起會變成一個independent的vector set。

那一個呢?我們只取一個出來呢?如果你只取1、2、3出來,你有一個vector set就是只有一個element,就是1、2、3。

它是dependent的還是independent的呢?按照dependent跟independent的定義,你想想看,如果一個vector set它現在只有一個vector,就是1、2、3,它是dependent的還是independent的呢?

給你三秒鐘的時間想一下,你覺得有一個vector set它裡面只有一個element,就是1、2、3,它是dependent的同學舉手一下。

有些人覺得它是dependent的,你覺得它是independent的同學舉手一下,多數同學覺得它是independent的。

為什麼它是independent的呢?我們想一下,我們剛才說某一個vector是其他vector的linear combination,這件事情是在有多個vector的時候你才能夠這樣想。

如果只有一個vector,我們就回到independent或dependent的定義來。dependent的定義是什麼?

如果今天你只有一個vector 1、2、3,你要讓它乘上某一個係數x1等於zero vector,唯一的可能性是什麼呢?

唯一的可能性是x1等於0,不然沒有其他可能了,你找不到一個非0的係數,可以做linear combination變成0。

所以它是independent的。

但是如果我現在問你一個問題,我有一個vector set,它裡面只有一個vector就是000,它是independent還是dependent的呢?

你想一下,按照dependent跟independent的定義,它是independent還是dependent呢?覺得它是dependent的同學舉手一下。

沒有人覺得它是independent的,沒錯,它確實是dependent的。

為什麼?因為你這邊如果給它乘上一個係數x1,希望它等於zero vector,你完全可以找得到一個非0的,比如說我這邊說它是exponential 100這樣子。

我找得到一組非0的係數,跟zero vector相乘以後,它是zero vector,所以它是dependent的。

好,所以我們回到現在這個問題來,這邊這一個矩陣,這個matrix,我們可以找出多少的column變成一個independent的set呢?最多找出幾個?我們發現最多只能找出一個,所以它的rank是1,然後它的nullity呢?它的nullity就等於2。

因為column減rank的數目就是nullity,所以nullity就等於2。好,那如果一個zero的matrix呢?如果一個matrix它的三個column都是0的話,那它的rank會有多少呢?

我們講完這個問題,就下課休息十分鐘。它的rank你覺得應該是多少呢?按照rank的定義,你取得出多少的vector組成一個independent的vector set呢?

你仔細想想看,zero vector,只要一個vector set裡面有zero vector,一定是dependent。就算一個vector set裡面只有一個vector,如果它是zero vector,你看一下我們右上角講的這個東西,就算一個vector set裡面只有一個vector,只有一個zero vector,它仍然是dependent的。

所以你今天這個matrix,你找不出任何column組成一個independent的vector set。所以你可以說它是一個空集合,所以它的rank是0。

你找不到任何的vector可以組成一個independent的vector set,所以你說它的rank是0,那它的nullity就等於3。

好,那我們就在這邊先休息十分鐘,等一下再回來。

上一堂我們說到什麼呢?上一堂我們就是說到說,一個zero的matrix,它的rank是0。

那這邊有更多的例子,那通通都秒看,這個的rank你覺得它是多少?這個matrix的rank你覺得它是多少呢?你想一下,你覺得它是多少呢?

這是個選擇題,有沒有覺得是3的同學舉手一下?有沒有覺得是2的同學舉手一下?有同學覺得是1的同學舉手一下?好,多數同學覺得是1。

為什麼呢?你想想看,就算是2,你試著看你每次取兩個vector出來,這兩個vector它乘三倍就是它,所以是dependent的。

這兩個vector它乘三分之四就是它,所以是dependent的。這兩個vector它乘四倍就是它,所以是dependent的。

找不到兩個vector,它是independent的,所以只好抽一個vector出來,只有一個vector是independent的,所以說rank等於1,nullity等於2。

這個0035這個vector,你覺得它的rank是多少呢?按照rank的定義來想,它是多少呢?

你覺得它是2的同學舉手一下?沒有,你覺得它是1的同學舉手一下?手放下,你覺得它是0的同學舉手一下?有人覺得是0。

好,那我們來想想看它到底應該是2還是1還是0。2一定是不可能的,因為假設你把這兩個vector都拿出來組成一個vector set,那這個vector set裡面有zero vector,所以它是dependent的,所以不可能。

那1可不可能呢?1的話,如果你取00這個vector是dependent的,如果你只有00這個vector是dependent的,所以只取00這個vector沒辦法做一個independent的set。

但是如果你只取35這個vector,它倒是可以形成一個independent的set,只取35這個vector可以形成一個independent的set,所以它rank是1,所以它nullity也等於1。

好,那這個只有一個vector,這個很簡單吧?它的rank你覺得是0的同學舉手一下?它rank你覺得是1的同學舉手一下?

好,手放下,好,多數同學都覺得是1,沒錯,它的rank就是1,它的nullity就是0。好,那這個只有matrix裡面只有一個element,你覺得它的rank是多少呢?你覺得它的rank是0的同學舉手一下?

你覺得它是1的同學舉手一下?好,手放下,多數同學,沒錯,它的rank是1,它的nullity是0,所以rank跟nullity就這麼簡單。

好,那現在假設matrix A它是一個n by n的matrix,也就是說它有n個row,n個column,如果它的rank是n,或者是換句話說上面跟下面這兩框框講的是一模一樣的事情,它的nullity是0,意味著什麼?

意味著它的column全部都是independent的,對不對?如果它的rank是n,代表它的column全部都是independent的,如果它的column全部都是independent的,一旦有解,它就只會有唯一解,按照我們剛才在討論independent的時候所證明的東西。

如果rank等於n,代表說它的column統統都是independent的,這個就是rank的定義,如果rank等於n,代表matrix A它的column都是independent的,如果independent的話就只有唯一解。

好,那這就是我們今天學到的東西了,接下來你知道說一個system of linear equation有解以後,你可以進一步根據independent、根據rank或根據nullity判斷它是唯一解還是無窮奪解。

那這個表格,這個流程圖,你可以換另外一個方式來畫,你可以先檢查它是dependent還是independent,你可以先檢查說給你一個system of linear equation,它的coefficient是matrix A,你先檢查它是independent的,或者是檢查它的rank有沒有等於n,或檢查它的nullity有沒有等於n。

你檢查完以後,你不能夠說一旦它是independent的,它就有唯一解,或者是你不能說它一旦是dependent的,它就有無窮奪解,一旦它是independent的,它就有唯一解,你不能夠做這樣的陳述。

為什麼?因為dependent、independent這個東西跟有沒有解是沒有關係的,它是在有解的情況下才告訴你說它有一個解還是無窮奪解。所以就算是你知道column是independent或independent,你仍然不知道它到底有多少解,因為你要再進一步去確認說它到底是不是有解的。

如果它是在independent的情況下發現說它是沒有解的,那就是沒有解。如果說它發現它是有解的,那就是唯一解。

另外一個case,假如是在dependent的情況下,不是independent的情況下,沒有解,不滿足上面這兩個條件,它不是linear combination,不在span裡面,那就是沒有解。一旦有解,它有無窮奪解。

好,那這個就是今天這一堂課,這一份投影片要告訴大家的事情。那接下來,我們來看下一段影片。