目前為止呢,我們好像只有關一個System of Linear Equations,有沒有解有多少解,我們都好像只是做了一些專有名詞的定義。

我們都沒有告訴你說,有什麼樣的演算法可以讓你照著這個演算法操作,就知道說它有解還是沒有解。

那今天這一份投影片要講的就是,有某一個演算法,其實就是高斯消去法。

其實這個你高中學過了,高斯消去法,按照高斯消去法操作一下,就可以知道說它有解還是沒有解。

據說高斯消去法很久以前就有了,據說最早出現高斯消去法的記錄是在九章算術裡面。

九章算術的第八章叫做方程章,據說方程這個詞彙其實就來自於九章算術。

那這個九章算術的方程章裡面,它就是有很多的習題你可以做,它的第一個習題是這樣子的。

經有上和三丙,中和二丙,下和一丙,十三十九斗,然後上和兩丙,中和三丙,下和一丙,十三十四斗,然後上和一丙,中和兩丙,下和三丙,十二十六斗,問上中下和,十一丙各幾和?

這個題目其實你看了覺得好像很困難,你就是令上和為x1,然後中和是x2,然後下和是x3,然後你就說上和乘三倍,x2乘兩倍,x3乘一倍,會等於三十九。

它列三個equation,它是一個一元一次的連立方程式,有三個equation,然後你就解一下,然後解出來這個是有解答的,它說上和是一丙九斗四分斗之一,其實就是九又四分之一的意思,它是想要講說上和一丙是九又四分之一斗。

那其實後面一頁是有詳解的,詳解長這個樣子,那你要先用算籌把上和、中和跟下和列出來,那在九章算術裡面,它教你做那個system of linear equation的時候,我們現在的那個equation都是橫著列的,但是古人是直著列的,九章算術應該是漢朝的書,古人是直著列的。

這是第一個equation,這是第二個equation,然後這是第三個equation。

這個很難,你可能不懂,但是因為這個很難,所以後來在明代有另外一本書叫做《算法統》中,它就編了一個歌這樣子,希望你比較好記。

比如說這個二色方程歌的意思就是說,如果是二元一次方程式就用二色方程歌來解了,就是次人欲要四方程,物價據將左右乘,右上法乘左中下,次將左上右行乘。

但是其實就算你背了這個歌,你還是不知道要怎麼做,這樣感覺還是很複雜。而且這個只能夠解二元的,其實是有三元的,其實有三色方程歌。

它寫在三色方程歌中,三色方程法更齊,物價三行,左座積。它就是故意要寫押韻的,這樣你才好記。其實還有四色方程歌,就是四色方程法可誇,虛存莫謂作根涯。

你可以把這個歌記起來,看一下你投射的時候用不用得上就是了。但是其實就我所知古人,除了解多元一次方程式以外,其實還可以解多元的高次方程式。

因為我記得《射雕英雄傳》裡面不是有嗎?就是瑛姑在解一個天元之術,然後黃蓉就來講一些天元之術好像就是四元的方程式,然後黃蓉就來講一些天元之術何足道哉,然後就講了說它可以解十八元的。

到解十九元的時候才比較困難一點。所以這個其實就是今天要學的東西。我們今天要學的東西就是怎麼解一個linear equation,前面都只定義了一些性質和一些專有名詞,接下來就是要講說,實際上要操作的時候怎麼解呢?

那這邊操作的時候它解的概念是這個樣子的。我們要先知道一個概念叫做equivalent。如果兩個system of linear equation它們有同樣的解,那我們就說這兩個system of linear equation它們是等價的,它們是equivalent的。

舉例來說,我這邊有兩個system of linear equation,一個是三倍x1加x2等於十,一個是x1減三倍x2等於零,它的解是三一。另外一個system of linear equation它非常簡單,就是x1等於三,x2等於一,它的解也是三一。

這兩個system of linear equation它們並不一樣,但我們說它是等價的,因為它們的解是一模一樣的。今天你可以把某一個system of linear equation做某些operation以後,做某些操作以後,變成另外一個等價的system of linear equation。

那有三種操作,你把原來的system of linear equation做以下三種操作,得到的新的system of linear equation仍然是等價的。

其實這三種操作都是你高中學過的東西,你其實並不會那麼訝異。第一個操作是,你可以把這些equation做交換,交換以後什麼事都沒有發生,所以你的解仍然是一樣。

你可以把其中的某一個equation乘上n倍,乘上任何一個scalar,把它裡面的每一個coefficient變為原來的n倍,你也不會影響它的solution。

你可以把某一個equation乘上n倍,再加給另外一個equation,我們把下面這個equation乘上負三倍,再加給上面這個equation,得到一個新的system of linear equation,你也不會影響它的solution。

如果你對某一個system of linear equation做以下三個操作,一個叫做interchange,一個叫做scaling,一個叫做row addition,做以下三個操作,交換乘scalar,乘scalar再加給別人,做這三個操作,都不會影響新的得到system of linear equation的solution。

所以今天我們要解一個system of linear equation,你的策略就是對某一個給定的system of linear equation,不斷地做剛才講的那三個operation,不斷地操作它,直到它變成一個特別簡單的system of linear equation,讓你可以秒看,一秒看出答案,就結束了。

所以這個其實是國中你學過的東西,現在有一個system of linear equation,你沒有辦法一秒鐘看出它的答案,那你就做一個我們剛才講的前面的三個操作,這個前面三個操作它其實是有名字的,我們等一下再講,反正就做前面那三個操作。

舉例來說,你把下面這個乘3加到上面,得到一個新的system of linear equation,它的解仍然是一樣的,那如果下面這個你沒有辦法一秒鐘看出它的解,再做一個操作,這個操作是下面那個式子除時,得到一個新的system of linear equation。

如果你還沒有辦法看出它的解,再做一個操作,把下面這個乘3加上去,這個是一個侮辱你智商的operation,乘3加上去,得到S1等於3,S2等於1,那這個時候你總不會說你不知道解了吧,你一秒鐘就知道這個system of linear equation的解是多少,然後就結束了。

所以整個高斯消去法的策略就是這個樣子,不斷地做這些不會影響你的solution的operation,直到你的system of linear equation變成你可以一秒鐘看出它的答案為止。

好,那更general的來說,我們要解的,我們剛才舉的是一個二元的連立方程式,當然是特別簡單,那我們通常解的是一個多元的連立方程式,所以有很多元,有很多個未知數,X1到Xn,那我們說一個system of linear equation,它的coefficient可以用一個matrix來表示它。

好,那這個X,它的未知數,你要找的這個solution,可以用一個向量X來表示它,那constant term放在等號右邊的constant term也可以用另外一個向量來表示它,所以我們可以把它寫成AX等於B。

好,那這邊要教大家另外一個表示的方法,另外一個表示system of linear equation的方法是,如果你不是用矩陣和matrix相傳來表示它的話,另外一個表示的方法是用一個叫做augmented matrix的東西。

augmented matrix其實也非常的單純,你就把所有的coefficient拿出來,再把你的constant term B拿出來,把它擺在一起,得到一個matrix,就是augmented matrix,就結束了。

那你從這個augmented matrix,你也可以知道說這個system of linear equation它長什麼樣子。好,那原來的A是一個m by n的矩陣,那它的augmented matrix,因為你加上了B這個column,你多加了一個column,那新的augmented matrix就是m by n加1的矩陣。

好,那我們實際上在操作的時候,我們實際上在對這些system of linear equation做變換的時候,我們並不會把這些等號啊、x啊之類的寫出來,因為很麻煩,我們實際上是在augmented matrix上做操作。

每一個system of linear equation都對應到一個augmented matrix,像這個3-3-0,你就把3-3-0寫上來,3-1-10,你就把3-1-10寫上來,寫上來,寫上來。

好,所以每一個system of linear equation它都對應到一個augmented matrix,我們實際上在操作的時候,我們是在這個augmented matrix上面做操作。所以整個策略就是這樣,先把你的system of linear equation表示成augmented matrix,在augmented matrix上面做那些不會影響solution的操作,得到一個非常簡單的augmented matrix,然後再把這個augmented matrix轉回system of linear equation。

接下來呢,你就可以秒看solution,那這邊只是在反覆講過我們剛才講的東西,有三個操作,你可以在這個augmented matrix上面做三個操作,這三個操作不會影響你最終的solution,不會影響你的system of linear equation的solution。

這三個操作是你可以把這個augmented matrix的兩個row做交換,所謂把augmented matrix裡面兩個row做交換就是把system of linear equation的兩個equation的順序做交換,那根本不會影響結果。

你可以把某一個row的每一個element都乘上一個non-zero的scalar,這邊要強調一下必須要乘non-zero的scalar,如果乘上zero的scalar,你等於是把一個equation直接就抹掉了,那當然會影響你最後的solution。

但如果你乘上的是一個non-zero的scalar,你把某一個equation裡面的每一個參數都乘上n倍,其實不會影響最終的solution。那第三個是,你把某一個row乘上一個scalar,再加給另外一個row,這樣子也不會影響你的solution。

所以你可以在一個augmented matrix上做以下三個操作,不會影響這個augmented matrix它對應的system of linear equation的solution。

好,所以這個就是更general的來說明一下我們現在的操作,你有一個很複雜的system of linear equation寫作x等於b,你把它的augmented matrix寫出來,就是把a跟b排在一起。

接下來做以下這三個操作,那你就把原來的augmented matrix A'做一下操作,變成A''變成A''以此類推,直到它變成一個非常簡單的形式,這個非常簡單的形式,我們把它寫作R,我們叫做R。

得到R以後,反推原來的,我在這邊停下來,你知道為什麼嗎?因為我發現投影片上有個錯這樣,你有發現嗎?

這個應該是R',對不對?應該是R',好,大家了解我的意思吧,這個不是A',這應該是R',因為我們現在要把這個很簡單的matrix R還原成原來的system of linear equation嘛。

那它的最後一個column就是constant term,新的system of linear equation constant term,最後一個column以外的地方就是coefficient,它coefficient應該是R',不知道為什麼居然是寫成A'.

那下面這三個操作,它們是有名字的,它們叫做elementary row operation,你對一個augmented matrix做elementary row operation,不會影響它的solution。

那這個簡單的matrix,它可以讓你一眼看出它對應的system of linear equation solution是什麼。這個簡單的matrix,它也是有名字的,它叫做reduced row echelon form,有時候縮寫就直接縮寫成Rref。

所以,今天你把一個matrix做elementary row operation,得到它的Rref,得到它的reduced row echelon form,你就可以秒看它的solution,這樣大家有問題嗎,ok嗎,那再來要問的就是什麼叫做reduced row echelon form,那我們就來講一下reduced row echelon form的定義。

reduced row echelon form,在講reduced row echelon form的定義之前,我們先把reduce這個詞彙拿掉,先問什麼是row echelon form,一個matrix,如果我們說它是row echelon form的話,它滿足以下兩個性質。

第一個性質是,所有的non-zero的row,都在zero的row上面,就是如果你有一個row,它全為0,它全為0,它全為0,一定要擺在整個matrix的最下面,這是滿足row echelon form的第一個條件。

滿足row echelon form要有兩個條件,第一個條件是,你把所有的row的leading entry都拿出來,所謂leading entry的意思就是,第一個不為0的,就從左邊看過來,第一個不為0的數值,第一個不為0的element,就是leading entry,你把leading entry都拿出來。

發現說leading entry排成echelon form,我們一直沒有解釋到底echelon是什麼意思,echelon就是階級、軍階、階梯的意思,所以今天你這些leading entry,如果它們排成一個像階梯的形狀,它就是echelon form。

換句話說就是,每一個leading entry都在前一個人的右下方,這是第一個leading entry,第二個人在第一個人的右下方,這是第三個leading entry,它在第二個人的右下方,每一個leading entry都在前一個row的leading entry的右下方,這個叫做echelon form。

你其實也可以自己去翻一下課本,這應該寫在chapter的1.4,課本的敘述其實是很冗長的,它試著用文字的方式來跟你描述什麼是echelon form,然後你就會看不懂,我這邊就直接告訴你說,反正這樣就是echelon form,每一個leading entry都在前一個row的leading entry的右下角,就是echelon form。

好,那我們來看一個不是echelon form的例子,舉例來說,這邊有一個matrix,它是row echelon form嗎?不是,為什麼?第一個你可以先檢查它有沒有滿足第一個條件,因為它沒有任何的zero row,它沒有任何的row全是零的,所以它第一個條件就自動滿足了,那它有沒有滿足第二個條件呢?你就先把它的leading entry通通圈出來。

我們把leading entry通通圈出來,然後你就會發現說,在這些leading entry裡面,第三個row的leading entry不是在第二個row的leading entry的右下方,它是在左邊,它是在它的左下方,那這樣就不行,這樣就不是echelon form,

所以這個matrix並不是一個符合row echelon form的matrix。

好,那講完了row echelon form以後,接下來我們就講reduce row echelon form,加上reduce這件事情有什麼意思呢?首先reduce row echelon form它的第一個條件當然就是,它是row echelon form,row echelon form有另外兩個條件。

那它的第三個條件是,如果你要滿足reduce row echelon form的話,那它要滿足一個額外的限制,這個額外的限制是什麼呢?這個額外的限制是leading entry所在的column,它必須是standard vector,我們有講過standard vector就是其中一維是1,其他都是0。

今天這個leading entry所在的column,希望它一定要是standard vector,它才是reduce row echelon form,那我們看看今天這個leading entry,它在第一個column,第一個column是不是一個standard vector呢?它是一個standard vector。

那第二個leading entry它在第三個column,第三個column是一個standard vector嗎?它不是一個standard vector。第三個leading entry在第四個column,第四個column也不是standard vector,所以今天這個metric它不是reduce row echelon form,它是row echelon form,但它不是reduce row echelon form,它符合這兩個條件。

所以它是一個row echelon form,但它不是reduce row echelon form。

那如果你看課本的話發現說,我如果沒記錯的話,課本在check是不是reduce row echelon form的時候,它是講了五個條件,但跟我這邊講的三個條件其實是一模一樣的,其實講的是同一件事。

我只是把它做了一些歸納,然後變成三個條件,你記起來應該是,記三個東西是比記五個東西還要稍微容易一點點就是了。

好,那今天我們再來看另外一個例子,我們來看一下右邊這個metric,它是不是reduce row echelon form,要檢查它是不是reduce row echelon form之前,要先檢查它是不是row echelon form。

那怎麼檢查是不是row echelon form呢,第一個條件是zero的row有沒有都在最下面,那看起來根據這個綠色的框框,看起來zero的row都在最下面,所以row echelon form的第一個條件是滿足的。

row echelon form的第二個條件,leading entry有沒有擺成echelon form的樣子呢,我們把三個leading entry,三個row的leading entry都用藍色的圈圈把它捲起來,然後發現說它們都是從左上排到右下,所以它們是echelon form,所以這個metric它是row echelon form。

但接下來的問題就是,所以row echelon form是沒有問題的,接下來的問題是,它是不是reduce的row echelon form呢,檢查它是不是reduce row echelon form呢,你要先看說它的leading entry是不是在一個standard vector裡面。

那你發現說,第一個leading entry它是在一個standard vector裡面,第二個leading entry也是在standard vector裡面,第三個leading entry也是在standard vector裡面,所以它是一個reduce row echelon form,就這樣子。

那這邊reduce row echelon form有一個有趣的,有一個很重要的性質,那這個性質並沒有在課本裡面被證明它只是跟你說有這麼一件事,那它的證明其實放在appendix裡面,那這是,我就註明一下放在課本第五百七十七頁,在appendix裡面。

那這個我們今天先不證明,就只告訴你它是怎麼回事。reduce row echelon form,它是unique的,你有一個matrix,每一個matrix它都只會有一個reduce row echelon form。

你要把一個matrix,你做elementary row operation,做種種操作,你把它變成一個reduce row echelon form,不管你的elementary row operation的操作的順序是如何,不管你用了哪些elementary row operation的操作,最終一個matrix的reduce row echelon form一定是一樣的。

但是row echelon form可能會有很多個不一樣的樣子,舉例來說,今天我有一個matrix長這樣,我們做了一些elementary row operation,轉成row echelon form,這個時候我們先來檢查一下它是不是row echelon form。

它沒有zero的color,然後我們把leading entry都找出來,它確實是一個row echelon form,但是row echelon form只會有這個嗎?其實不是,為什麼?你可以再做一些elementary row operation,它仍然是row echelon form,但是跟最上面這個matrix不一樣。

舉例來說,你把第三個row都乘3,那你就變成下面這個matrix,它仍然是左邊這個matrix的row echelon form,但是它跟上面這個是不一樣的。

或者是說,你可以把下面第三個row乘上-3,再加上去,乘上-3,再加到第二個row,你又得到一個新的matrix,它也是row echelon form,但它又是不一樣的matrix。

所以一個matrix它會有好幾個row echelon form,一個matrix你對它做elementary row operation,它可能有好幾個row echelon form,但最終如果你一旦把它弄成reduce row echelon form的話,它是唯一的。

所以這就是為什麼我們要把一個matrix弄成reduce row echelon form,而不是只有弄成echelon form,因為如果只弄成echelon form,它不是唯一的。

但是你一路把它做各種的elementary row operation,做到它變成reduce row echelon form,你會發現說,所有的elementary row operation都殊途同歸,你會得到同一個reduce row echelon form。

那接下來,在下課之前希望跟大家講的就是,我這邊要定義另外一個東西叫做private column,在講reduce row echelon form什麼時候得到solution之前,要定義一個東西叫做private column。

那我們現在有一個matrix A,做完reduce row echelon form以後,它變成R,你可以很快的瞄檢查一下說,R是不是reduce row echelon form,它的zero row在最底下,它的leading entry,我們把leading entry都框出來,leading entry有擺成階梯的樣子,所以這也沒有問題。

在leading entry,有沒有都在standard vector裡面,這是一個standard vector,這是一個standard vector,這都是一個standard vector,所以這是一個Rref,沒有問題。

如果你今天找出reduce row echelon form裡面leading entry的位置,把這些位置對應到原來的matrix裡面,這些位置叫做private position,leading entry在的position叫做A的private position。

所以現在A這個matrix,它有三個private position,private position所在的column就叫做private column,private如果你不知道什麼意思,它就是中樞樞紐的意思,代表很重要的意思就對了,我們下一堂課會告訴你說,這些private column是如何的重要。

那這個leading entry所在的這些position的column就是private column,所以A有三個private column,第一個column,第三個column,第四個column,它們是private column。

接下來就是要講說,給你一個reduce row echelon form,你怎麼看出它的solution,那我們這邊就舉幾個例子,我們知道說解有三種解,要嘛唯一解,要嘛無窮多解,要嘛無解,所以我們就是各舉一個例子。

我們先來看唯一解的例子,reduce row echelon form整理成什麼樣子會是唯一解呢?這邊有一個matrix,它是在reduce row echelon form,可以輕易地檢查一下reduce row echelon form的三個條件,看看它是不是reduce row echelon form。

整理完,拿法確定它是reduce row echelon form以後,你把它轉回原來的system of linear equation,記得我們在做reduce row echelon form的時候,最後一個column代表的是你的新的constant b,前面三個column分別代表對應到x1,x2,x3,三個variable。

所以左邊這個reduce row echelon form轉成system of linear equation以後,它是一個非常trivial的system of linear equation,它的解你一秒鐘就可以看出來,就是x1等於-4,x2等於-5,x3等於3,就是它的解,然後它只有唯一解。

從這個例子裡面,你可以得到一個結論,如果今天reduce row echelon form去掉最後一個column以後,它是一個identity的matrix,identity matrix大家還記得嗎,identity matrix的定義就是只有斜對角線是1,其他都是0。

如果做完reduce row echelon form以後,你發現說去掉最後一個column,你的reduce row echelon form的這個matrix,它是一個identity matrix的話,那一秒鐘你也不用還原回原來的system of linear equation,一秒鐘你就知道說它有唯一解。

接下來舉的例子是有無窮多解的狀況,如果無窮多解的狀況reduce row echelon form看起來像是什麼樣子呢,這邊有某一個system of linear equation的augmenting matrix的reduce row echelon form,你可以很快的檢查一下它是不是符合reduce row echelon form的定義。

我們現在把它還原回原來的system of linear equation,還原回來以後就長這個樣子,第一個row對應到1倍的x1加負3倍的x2加2倍的x4等於7,1倍的x1減3倍的x2加2倍的x4等於7。

第二個row對應到1倍的x3加6倍的x4等於9,1倍的x3加6倍的x4等於9,第三個對應到x5等於2,x5等於2,最下面那個row它什麼也沒說,它只告訴你0等於0,所以你其實可以把它拿掉,當作沒有看到這樣,你可以把它拿掉。

接下來你就可以進行一番整理,事實上在這個system of linear equation裡面,你目前馬上知道的線索只有x5等於2,除了x5等於2以外,其餘的variable你其實沒有辦法馬上決定說它的數值是多少,我們現在確定x5等於2。

那接下來你根據另外兩個式子,你把左邊的對應到leading entry的那一個variable把它留下來,其他把它趕到右邊去,所以得到x3等於9減6倍的x4。

第一個equation,你把leading entry留下來,其他趕到右邊去,其他趕到右邊去,怎麼寫這麼長,不知道在做什麼,把它趕到右邊去,得到x1等於7加3倍x2減2倍的x4,那x2跟x4我們是不知道的,我們就說它是free的,它可以放任何值。

好,x2跟x4我們是沒有限制的,所以它是free variable,x1、x3跟x5我們是有限制的,所以我們說它是basic的variable。

好,那現在呢,你已經列出x1到x5的式子以後,你根據這個式子,你就可以寫出一個叫做parametric的representation。

那如果今天我們在一個system of linear equation裡面有free variable的話,那就代表說有無窮多解,因為free variable沒有任何constraint,你可以帶任何的數值,你可以帶負無窮大到無窮大。

那你今天x2跟x4,你可以帶任何數值,x2跟x4帶不同的數值,你就有不同的x1跟x3,所以今天如果你有free variable的話,那你就有無窮多解。

那我們可以把上面這個式子整理成一個parametric的representation,那對這個parametric representation來說,x1就等於7加3倍x2減2倍的x4,那x3就等於9減6倍x4,x5就等於2。

x2跟x4因為我們不知道它是多少,我們就說x2等於x2,x4等於x4。而在這個式子裡面,x2跟x4是未知的,你可以把x2單獨提出來,你可以把x4單獨提出來。

所以你整理一下就得到說,今天x1到x5,它們的solution你可以表示成70902這個vector,加上x2倍的31000,加上x4倍的-20-61,x2它前面在第一個dimension它的係數乘1,第二個dimension係數乘3,然後接下來乘1,然後接下來是000,所以這邊是31000。

這邊是乘-2乘0乘-6乘0乘0,不好意思說錯了,這邊是乘-2乘0乘-6乘1乘0,所以這邊是-20-610,這樣大家知道這個parametric representation的意思嗎?

好,所以這個x2跟x4你可以代任意的值,所以你知道說今天這個System of Linear Equation它有無窮多解。然後我們接下來來很快的看一個無解的狀況,那今天我們有一個reduced row echelon form長這樣,那你可以很快的根據三個條件check一下它是reduced row echelon form,接下來把它還原回System of Linear Equation。

當你把它還原成System of Linear Equation的時候,你會發現說第三個row,第三個row告訴我們說0倍的x1加0倍的x2加0倍的x3會等於1,這顯然是矛盾的,所以今天這個System of Linear Equation它是無解的,它是inconsistent。

或者是你其實不需要把這個matrix轉回去這個System of Linear Equation,你用眼睛看就可以知道說它是inconsistent,你用眼睛看就可以知道說它是無解的,怎麼用眼睛看呢?

如果你發現某一個row它只有最後一維非0,它前面除了最後一維以外其他地方都是0,只有最後一維非0,那它就是inconsistent的結束,就這樣。

所以我們就是給你看了三個case,分別是有解的,然後有唯一解的,無窮多解的,跟無解的,它們的reducible hreform看起來是什麼樣子。

那我們其實就停在這邊,那下次會非常非常快地跟你講一下什麼是高斯消去法,但是不會詳細地告訴你說高斯消去法有哪些的tips,那其實課本裡面是有花很多力氣跟你講高斯消去法的步驟的,那其實也是蠻複雜的,那其實就是留給大家自己去看。

那整個高斯消去法它的大原則,它的大方向是你把原來的augmented matrix做一連串的elementary row operation變成row hreform,再做一連串的elementary row operation變成reduce row hreform。

那我並不會花太多時間講高斯消去法的過程,或者是說把它編成歌讓你來記,因為你今天真的要算,你就是用程式算了,所以學這個用筆算其實是沒什麼太大的意義,我不知道意義何在,就是練習讓你的心情比較平靜而已。

所以我不知道說學這個有什麼意義,所以我並不會花太多時間叫你練習說怎麼做高斯消去法,你可以自己看一下課本的過程。

然後另外,高斯消去法其實你也不一定要完全按照高斯消去法的那些步驟來做,只要做elementary row operation,你做出來最後三號,它是一個reduce row hreform就結束了。

因為不管你今天的步驟如何,reduce row hreform它是唯一的,所以你只要找得到一個reduce row hreform,你就得到結果,你並不需要擔心說,如果我沒按照那個高斯消去法,找出來的結果會不會不一樣,導致我算出來的solution會不一樣,不會,因為reduce row hreform是唯一的。

我的社團是ntu11-linear-algebra-2018,那我可以現在就幫你account,你先搜尋看,因為後面有個2018,對,不錯。

電子檔啊,我其實也沒有這樣子,對,對,對,你,Ct部分的詳解,Ct就在課本裡啊,你知道我不能隨便散佈電子檔,你們自己去搜一下這樣子,或者是我相信你們一定知道在哪裡可以買得到對不對,

不是有一些迪迪店都會賣那個intel的版本給你嗎,你隨便問一個同學這樣子,你知道嗎,對,對,對,沒錯,你有申請加入,好,謝謝,謝謝。

想請問,就是你做記憶體的實作這麼長的時間來說,你覺得記憶體會對那個,如果你有一個很好的CPU,但是記憶體的那個容量會影響到程式大概上面的運算的那個效能,對,當然是會的啦,那首先我需要強調一下就是說,我們其實都是用GPU來跑這樣子,主要是用GPU來跑,但GPU的記憶體的大小是會很有影響的,尤其是你的GPU記憶體不夠大,

那你就沒有辦法一次進行大量的運算,其實我們在計算的時候都會開一個東西叫做Batch,就是把很多筆資料放在一起,那如果Batch太小的話,算起來就不夠快這樣子。

所以電腦原本他的那張記憶體其實是還好的,那個沒有那麼重要的,那個就沒有那麼影響,對,對,對,主要是那個顯卡的那個記憶體,對,對,對,沒錯,沒錯,謝謝,謝謝,謝謝。

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