好,各位同學大家早,我們來上課吧。

好,那我們上次講說,要怎麼solve system of linear equation。

那我們說這個做法呢,就是把你手上的augmented matrix整理成reduced row echelon form。

然後整理成reduced row echelon form以後呢,你就可以輕易地看出說,它的這個system of linear equation,它的solution是什麼。

好,那上次只講說,假設已經整理出reduced row echelon form,怎麼看出說它的solution是長什麼樣子。

那接下來要講的是說,怎麼把一個matrix整理成它的reduced row echelon form。

那這邊要做的是高斯消去法,那課本上就會告訴你說,高斯消去法裡面有幾個步驟,比如說,我如果沒有記錯的話,課本是列了步驟一到步驟七,那這個呢,你就自己看,然後我們是不講的。

因為講這個呢,其實沒有什麼太大的意義,為什麼呢?因為現在你都是用程式算的啦,所以練習手算這個實在是沒什麼太大的意義。

不過呢,我們還是很快地秒告訴大家說,這個高斯消去法操作起來像是什麼樣子。

但是我們只給一個操作的範例,而不告訴你說它實際上的步驟是什麼樣。

反正你要記得你的大原則就是,事實上你完全沒有必要按照課本告訴你的步驟來進行operation,總之你只要記得說,你叫做elementary的row operation,就是我們講的三個不會改變system of linear equation的solution的三個operation。

反正你就是做那三個operation,不管你用什麼順序,只要你搞得出一個reducible echelon form就結束了,順序什麼不重要,不一定要按照課本的順序,你只要覺得爽就可以了。

所以我們現在呢,就來做一下操作。

這個操作是這個樣子的,這邊有一個system of linear equation,那你拿到一個system of linear equation,如果你要解它的話呢,第一件事情就是把它的A跟B都列出來,

然後呢,把這個augmented matrix列出來,那在這個augmented matrix裡面呢,去掉最後一個column,剩餘的部分是matrix A,最後一個column呢,是你的vector B。

那接下來呢,你就做一下高斯消去法,那通常你常用的步驟就是,固定住,首先固定住第一個row,然後呢,用第一個row去扣掉下面的row,讓它們在第一個column的地方,它的直是0。

所以你就把第一個row乘上1加給第二個row,我就畫在這個投影片上了,第一個row乘上1加給第二個row,然後第一個row乘上-2加給第二個row,第一個row乘上3加給第三個row。

做完這個操作以後呢,你得到的結果就是這個樣子,做完這個操作以後呢,正好在這個1以下的直都會變成0。

然後這邊巧合的是呢,在第二個column,這2以下的直也通通變成0。

好,那接下來呢,你會做一個操作,這個操作是什麼呢?這個操作是row的exchange,我們把第二個row跟第三個row做一下交換。

那做完交換以後呢,我們把這一個row乘上-1加給最後一個row,那這個地方乘上-1加給最後一個row以後呢,這個地方就會變成0。

然後就把它消掉,得到的結果呢,變成這個樣子。好,接下來你會做什麼呢?接下來你把這一個row乘上-2加給最後一個row,第三個row乘上-2加給第四個row,那你就把它消掉,變成0。

其實做完以後呢,正巧的是呢,其餘的部分也會變成0,最後一個row,其餘的部分也都變成0,也都變成0,那你得到一個這樣的matrix。

然後最後呢,你把leading entry通通都整理成1,把leading entry都整理成1,如果這個地方的話,你就除4,把它變成1,把它變成1,把它變成2,這個地方呢,就把它乘-1,就把負號都拿掉了。

好,那這邊這個步驟呢,感覺跳得有點快,我們把這個leading entry呢,通通整理成1以後,接下來啊,你把這一個column乘以負2加給上面的column,哎呀,這個真的是很難寫,你把這個column乘以負2加給上面這個column。

加給上面這個row,你把第三個row乘上負2以後,加給第二個row,這邊就變成0,其他地方呢,你就自己算,然後把1呢,乘上負2以後,加上去,這個地方呢,就變成0。

好,那得到的結果呢,就是下面這個metric,就是下面這個metric。好,那總之呢,整理完,經過一番整理以後呢,你就得到了reduce row href,那也許在看一下這個system of linear equation的solution之前呢,我們來檢查一下我們得到的結果是不是reduce row href。

那剛才那個operation啦,就operation的順序其實沒有那麼重要,你爽就好這樣子,你只要把它弄成reduce row href,不管你怎麼做操作,不管你怎麼用什麼樣的順序進行操作,其實都是可以的。

那課本呢,就是列了七個步驟啦,我也懶得把它編成歌給你記就是了。

好,那麼來檢查一下它是不是reduce row href,我們說reduce row href有三個條件,第一個就是non-zero的row都在最底下,那確實non-zero的row都在最底下,第二個你檢查這個leading entry,它是不是擺成一個階梯的樣子,把所有leading entry都圈起來,確實是擺成階梯的樣子。

接下來你第三個你要檢查的是說是不是每一個leading entry所在的column它都是standard vector,那就把它檢查一下,檢查一下,檢查一下。

好,是standard vector,它果然是一個reduce row href,那接下來你就可以對這個system of linear equation求解了,那這個步驟非常的快,你就把這個matrix轉回system of linear equation。

好,轉回去以後我們得到說第一個row告訴我們的是1倍的x1加2倍的x2減掉1倍的x5等於負5,把這個式子寫下來,第二個row告訴我們的是1倍的x3等於負3,我們把它寫下來,第三個row告訴我們的是說1倍的x4加1倍的x5等於2,我們把它寫下來。

好,那寫成這個system of linear equation以後,接下來你就可以把你的解寫出來了,怎麼做呢?你把leading entry所對應到的variable放在左邊,其餘的趕到右邊去。

舉例來說,第三個式子,你就把x4放到左邊,x5把它趕到右邊去,那第二個式子除了leading entry以外沒有其他的variable,你就直接寫x3等於負3。

好,那第一個呢,你把x1留著,把其餘的趕到右邊去,把x2趕到,趕太遠,趕到右邊去,把x5趕到右邊去,那你就得到x1等於負5減2倍的x2加x5,然後剩下沒有定義的variable,它就是free variable。

這邊x2是free variable,它沒有equation,x5是free variable,它沒有equation。

好,那所以你接下來就可以把這個solution用parametric的表示式把它寫出來,就可以寫成說x1到x5分別就等於負乘以負2倍的x2加上x5,把它寫下來。

然後如果是free variable的話,就自己等於自己,x2就等於x2,那x3等於負3,然後x4等於2倍,22減x5,2減x5,那x5等於它自己。

好,那接下來你再把同樣的variable把它提出來,這邊同樣的free variable有什麼呢?有x2,x2出現在這個地方,有x5,x5出現在這個地方。

好,那你就把x2提出來,然後後面乘上負2,1,0,0,0,因為在第一個row,x2乘上負2,在第二個row乘上1,然後剩下三個都是0,那你就寫成負2,1,0,0,0。

那x5在第一個row乘上1,第二個row乘上0,第三個乘上0,第四個乘上負1,第五個乘上1,所以是1,0,0,負1,1。好,那再把剩下的這些常數,負3,2,負5,3,2,把它寫出來。

好,那你就把這個system of linear equation的solution寫出來了。好,那有同學可能會問說,為什麼我們是把放在最左邊的,我們為什麼是把leading entry的variable當作是放在最左邊呢?

其實你不一定要這麼做,你永遠可以有其他的做法,那剛才的講法只是一個操作的方法,你可以照著這個步驟操作,然後得到你的solution。

事實上你也可以用別的操作,舉例來說,左邊這個式子,第一個這個第一個row所代表的這個式子,x1加兩倍的x2減x5等於負5,我們本來說我們可以把它寫成x1等於負5減兩倍的x2加x5,那你可不可以寫成別的樣子呢?

你完全可以把它寫成別的樣子,你可以說,我想要放在左邊的其實是x2而不是x1,所以你完全可以把x2留在左邊,把x1跟x5趕到右邊去。

如果你現在把x1跟x5趕到右邊去,你得到的結果是怎麼樣呢?你就得到另外一個式子,這個式子就寫成x2等於負5減1x1加1x5,那你接下來呢,現在x2就不是free variable了,x2它是有定義的,它的式子長成這個樣子。

誰變成free variable呢?x1變成free variable,現在x1變成它是沒有equation的,所以x1變成free variable,那有了這些東西以後,你就可以列出另外一個solution的式子,它長什麼樣子?它長這樣。

所以本來在上一頁投影片裡面,我們的free variable是x2跟x5,我們得到一個solution,現在我們的free variable變成x1跟x5,我們得到另外一個solution的表示式。

但是你可以很直覺的知道說,其實這兩個不同的表示的方式,它們是殊途同歸,它們代表的解其實是一樣的。

我們剛才看到有兩個表示的方式,上面這個是我們剛才得到的,如果你把x2當作free variable的時候得到的solution,下面這個是把x1當作free variable的時候得到的solution,但它們其實是殊途同歸,它們指的其實是同樣的一個solution的set。

所以其實在上面這個set裡面有的solution,在下面這個set其實也是有的。舉例來說,在上面這個set,我們把x2代1,x5代-1,然後做一下計算以後,我們得到一個solution是-8,1,-3,3,-1。

那在下面這個equation,你一定可以找到一個x1跟x5表示出一樣的solution。舉例來說,我們就設x1等於-8,x5等於-1,那你會得到一模一樣的solution。

總之,這邊應用之道存乎一心,你只要能夠解得出來,怎麼樣都可以,你不見得要按照課本教你的方法來進行操作。

那這邊就是舉另外一個reduce row h2 home的例子,這邊有一個很複雜的matrix,然後現在叫你找reduce row h2 home,如果你按照課本的操作,你就會算到死這樣子。

所以我說應用之道存乎一心,不管你用什麼方法,只要能夠把一個matrix整理成reduce row h2 home都好。所以今天這個你可以做一個觀察,什麼樣的觀察呢?

你會發現說,今天這個matrix看起來表面上很複雜,它總共有八個row,但是實際上呢,它們這個row和row之間是有關係的,什麼樣的關係呢?

你會發現說,假設我另一個matrix叫做R,那我們現在要求reduce row h2 home的這個matrix,它上半部是R,下半部是2R,就這樣,上半部這個地方是R,下半部這個地方是2R,所以我們完全可以把這個matrix就寫成下面這個樣子,上半部是R,下半部是2R。

接下來,你就可以在這個看起來很簡化很多的matrix上面,進行reduce row h2 home的操作,也就是說,我們現在在做操作的時候,一次拿一整個R去做操作,而不是一個一個row去操作。

一個R有四個row,我們一次操作四個row,而不是一個一個row去操作,我們就把上面這個R乘上負2變成跟下面的這個2R進行相加,把上面這個R乘上負2跟下面這個2R進行相加,你就得到上面是R,下面是zero matrix,然後就沒有然後了,就結束了這樣子。

它就是一個reduce row h2 home,那它符合我們說的reduce row h2 home的三個特性,哪三個特性我們剛才就講過說,zero row都在下面,leading entry擺成接近的樣子,leading entry都在standard vector裡面,它都符合,所以它是一個reduce row h2 home。

它不是按照標準的操作得到的,但反正只要看雖然它是reduce row h2 home,怎麼樣都好。所以我今天如果再給你一個非常非常複雜的matrix,這個matrix它是由,它其實這邊的R是一個440的matrix,那我們現在要做reduce row h2 home的matrix,它是由R2RR-R所組成的。

所以這個matrix它是8x8的matrix,那如果我直接把它8x8寫出來,然後叫你算reduce row h2 home,你就會算到手斷掉這樣子,但是現在因為你已經知道說,這一個matrix它是由R2RR-R這樣子的pattern所組成的,

所以你就可以在這個R上面去操作,去做reduce row h2 home,而不是每一個row,row by row的去做reduce row h2 home。

那你接下來就做說,現在這個matrix是R2RR-R,那我們把上面的第一個row乘上-1加給下面這個row,這樣我們就可以把這個R,看能不能把它消掉,我們就可以把下面這個R消掉,所以把上面這個row乘上-1,然後再把它加下來,你就可以把左下角這個R把它消掉,R乘上-1加下來,所以左下角R就消掉了。

那這個R乘上-1再加下來,你就得到-3R,接下來你再做一下操作,我猜下一個會做的操作應該是把-3拿掉是嗎?

喔不是,是先加上去,沒關係,反正這個操作順序怎樣都不重要啦,我們先把下面這個row乘上-2,再加上去,乘上-2再加上去,那左半部第一個color的地方就不用管了,zero matrix乘上-2加上去,什麼時候都不會發生,-3R乘上-2再加上去,你就可以把2R消掉,所以結果變成這樣。

它變成R zero matrix zero matrix-3R,接下來總該把-3拿掉了吧,好,把-3拿掉,把整個這一排的東西通通都乘上-1三分之一,就可以把-3拿掉,得到了R zero matrix zero matrix R,所以我們得到的reduced row hreform就長這個樣子。

然後你就把R在這邊,R在這邊,就把它帶進去,所以這個是R,這個是R,這個是R,這個是zero matrix,這個是zero matrix,所以你就把一個8x8的matrix整理成reduced row hreform。

講到這邊,大家有問題嗎?沒有嗎?你不覺得這個結果哪裡怪怪的嗎?

如果今天考試的時候叫你算reduced row hreform,你算完的時候,最好再檢查一下它到底是不是一個reduced row hreform,你就要用你對reduced row hreform知道的三個標準來檢查它是不是一個reduced row hreform。

所以我們現在來檢查一下吧,你先看一下zero row,今天這個matrix算完以後有沒有zero row呢?有啊,這裡有一個zero row,哎呀,怎麼框的這麼糟,這邊有一個zero row,這個zero row沒有被放在最底下啊,所以它不是一個reduced row hreform這樣子。

所以說,如果你把這一整個matrix把它用一個大R來表示它,然後你把大R如果當作一個數字,不把它當作一個matrix來看,這個東西是一個reduced row hreform。

但把R放回去,實際上R長這個樣子,一個4x4的matrix,放回去以後,實際上它不是一個reduced row hreform,所以這個應用之道存乎一心這樣子,這個做完它不是一個reduced row hreform。

那你也不用太慌張,你就再看一下,我們把這個zero row把它拿下去,我們可以做column的exchange嘛,對不對?我們可以做column的exchange,不會影響solution,所以我們今天可以做column的exchange,把這個row挪到最下面,把在它下面的三個row都挪上來。

那它是不是reduced row hreform呢?這個時候你發現說,它就是reduced row hreform了。

好,所以講這些例子,只要告訴大家說,怎麼把它整理成reduced row hreform,是應用之道存乎一心,你只要確定說最後做出來的是reduced row hreform,就可以了,就結束了。

好,那有了這些以後,你就可以做什麼事情呢?舉例來說,你現在可以檢查說,給你一個vector set,它是dependent的還是independent的,之前我們都只有做了一些定義。

我們定義說,告訴你說,給你一個vector set,怎樣叫做dependent,怎樣叫做independent,但是我沒有告訴你說怎麼算,現在有了高斯消去法,你可以解一個system of linear equation以後,接下來如果問你一個vector set是dependent還是independent的,你就有辦法可以做了。

那這邊來複習一下dependent跟independent,我們說有一個vector set A1到An,我們說它是dependent的,代表什麼意思呢?代表說在這個vector set裏面,有某一個vector,它是其他人的linear combination,有某一個vector,它是其他人的linear combination,它是多餘的,這個時候我們說這個vector set是dependent的。

或者是說有另外一個定義是,也就是這個dependent,真正的定義是,給你一個vector set A1到An,如果你今天找得到一組scanner X1到Xn,它們不全為0,然後你用這個X1到Xn對A1到An做linear combination,你卻可以得到zero vector的話,叫做independent。

那這件事情怎麼驗證呢?怎麼知道說今天給你一個vector set,你找得到一組不全為0的coefficient做linear combination以後等於zero vector呢?你就把這件事情解成一個system of linear equation,然後接下來去解它就結束了。

所以我們現在把A1到An並起來,當作是一個matrix A,把它的coefficient,把做linear combination以後的那些scanner X1到Xn,通通都排在一起,當作是一個vector X。

那你現在linear combination後等於0這件事情就是一個system of linear equation,它寫成matrix A乘上vector X,乘上vector X等於zero vector。

那接下來你要問的問題,就是你找得到一個X,這個X不等於0,如果你找得到一個X不等於0,那A的column所構成的這個vector set,它就是independent。

那怎麼知道X有沒有不等於0的solution呢?那你就實際上解看看,就這樣,實際上用高斯消去法,解一下這個system of linear equation,看有沒有非0的solution,你就知道A的column是不是一個dependent的vector set。

那這邊就實際操作一下,問你這個vector set是不是dependent的,你就把它所有的column都放在一起,變成一個matrix A,然後把你的式子AX等於0寫下來,然後真的去解它,真的去解它。

那真的去解它怎麼解呢?你先把augmented的matrix列出來,然後接下來做reduce row echelon form,在操作的過程我們就不詳述,反正就是經過一番操作以後,你把augmented的matrix變成reduce row echelon form。

那接下來就是怒解一發,看看它的solution長什麼樣子,先把reduce row echelon form還原回system of linear equation。

第一個row它是1倍的x1加2倍的x3等於0,第二個row它是1倍的x2減負1倍的x3等於0,最後一個row它是x4等於0。

接下來就做一番整理,你通常會把leading entry對應到的variable留在左邊,其他拿到右邊去,所以x1等於負2倍的x3,把x3挪到右邊去,所以x2等於x3,x4等於0,那x3沒有式子它就是free variable。

接下來你就可以把它的solution寫出來,x1x2x3x4等於多少,等於負2倍的x3,x3x3跟0,那你整理一下把x3提出來,所以今天這個system of linear equation的solution是x3倍的負211,

那你能不能夠找到一個non-zero的solution呢,可以,你就隨便舉一個x3代1,那它的solution是負2110,所以這個solution,這個vector它是ax等於0,這一個system of linear equation的solution。

而因為你現在找得到一個x不等於0,而可以讓ax等於0,所以a的colon是dependent,a的colon所形成的vector set是dependent。

那你可以用解system of linear equation的方式來確認說一個vector set它是dependent的還是independent的。

好,那這個就是這份課程了,謝謝大家的觀看,謝謝大家的收聽,我們下次節目再見。