整理&字幕志願者sir

Law of elementary operation不會改變Column和Column之間dependent independence的關係,所以說今天某一個matrix你對它做reduce row hreform,某一個matrix跟它的reduce row hreform,它們之間的Column的關係會是一樣的。

如果你看這個reduce row hreform,你會發現說這個reduce row hreform,它的private column,就有包含這個private column,它們之間的Column的關係是一樣的。

如果你看這個reduce row hreform,你會發現說這個reduce row hreform,它的private column,有包含leading entry的這三個Column,它們其實一定會是independent的。

這件事非常顯然,有包含leading entry的這三個Column,它們一定是independent的,在reduce row hreform R裡面。

這樣子我們就可以知道說,在A裡面,對應到這三個Column的private column,第一個、第三個和第四個Column,它們一定是independent的。

接下來,如果我們再繼續觀察這個reduce row hreform,觀察R這個matrix,你會發現說,不是private column以外,沒有包含leading entry的那些Column,它都是出現在它左側的private column的linear combination。

什麼意思呢?今天如果你看Column 2,會發現說Column 2是第一個Column的linear combination,你把第一個Column乘上兩倍,就得到第二個Column。

接下來,你再看第五個Column,會發現說第五個Column是第一個Column跟第四個Column的linear combination。如果你再看第六個最後一個Column,會發現說最後這個Column是第一個、第三個和第四個Column的linear combination。

所以從reduce row hreform裡面,你可以看到說,不是private column的那些Column,它們都是private column的linear combination,它們都是出現在它左側的那些private column的linear combination。

Reduce row hreform上,你可以很明顯的看到這件事。所以說,我們因為有Column Correspondent Theory,我們就可以知道說,在原來的matrix A裡面,如果我們知道private column是第一個Column、第三個Column和第四個Column,則剩下的三個Column都會是private column的linear combination。

也就是說,第二個Column會是第一個Column的linear combination,第五個Column會是一三四的linear combination,最後一個Column會是一三四的linear combination。

這個是Column Correspondent Theory告訴我們的事情。但是這邊其實再稍微跟大家強調一下,我們說在private column一定是independent的,我們知道一三四是private column,所以它一定是independent的。

但是並不是說在這個matrix裡面,我們隨便找出來的independent vector set,它都是private column。舉例來說,我們現在隨便找兩個vector,比如說我隨便畫這兩個vector,它們是independent的,但是它們並不是private column。

所以這邊想要告訴大家只有說,如果今天是private column,它一定是independent的。但是如果今天不是private column,它還是有可能是independent的。

但是今天假如有一個matrix,它所有的column都是independent的,它所有的column都是independent的,那會發生什麼事呢?我們拿一個三乘以三的matrix來做為例子。

假設我告訴你說,這一個三乘以三的matrix,它的所有column都是independent的,事實上你不需要知道說這個三乘以三的matrix長什麼樣子,你其實就可以猜出它的reduced row echelon form長什麼樣子。

因為我們知道說,如果這一個matrix它的column是independent的,做完reduced row echelon form以後,所有的column都要是independent。那你如何製造出一個reduced row echelon form的matrix,而所有的column都是independent的呢?

那你就來想想看。首先我們想一下一個reduced row echelon form的matrix,它的第一個column,最左邊那個column,有哪些可能呢?一個可能是100,對不對?你覺得還有其他可能嗎?有嗎?

其實還可以是000,對不對?如果第一個column是000,其實還是有可能是reduced row echelon form的。假設你想要做一個reduced row echelon form的matrix,它的第一個column可以是100,可以是000。

但是如果第一個column是000,那你知道如果一個vector set裡面有包含zero vector,那它一定是dependent的。而我們說今天所有的column都是independent的。

所以今天假設我告訴你說有一個3乘以3的matrix,所有的column都是independent,它做完reduced row echelon form以後,一定不可能是長這個樣子,它只能長這個樣子。所以我們知道說第一個column一定是100。

那第二個column呢?我們剛才說在一個matrix裡面,只要不是private column,它都一定會是左邊的private column的linear combination。所以今天這個第二個column,我們現在要來猜第二個column到底應該長什麼樣子。

如果它不是private column的話,那它就是左邊這個private column的linear combination。如果它是private column的linear,它是左邊這個private column的linear combination的結果,那這些reduced row echelon form裡面的column就不是independent了。

所以它一定要是private column,那這邊我們如果是一個private column的話,它一定是010。所以猜個道理,如果我問你說第三個column是什麼,那它一定是001。

所以今天假設我告訴你說有一個matrix,它所有的column都是independent,那它做完reduced row echelon form以後,它所有的column都會是private column。它所有的column都是private column,這個是文篇上這樣寫的。

或者是說,換句話說,所有的column,我們知道private column,在reduced row echelon form裡面,private column,它都是standard vector。也就是換句話說,所有的column都是private column,也就是說所有的column都是standard vector。

那如果所有的column都是standard vector,那假設現在你要考慮的matrix是一個square的matrix,它是一個正方形的,那它做完reduced row echelon form以後,一定是identity matrix。

我們學到說,假設有一個matrix,假設一個正方形的matrix,它所有的column都是independent,做完reduced row echelon form以後,我們不需要知道說它裡面的數值實際上是多少,但是假設我們知道說它所有的column都是independent的,那做完reduced row echelon form以後,它會是一個identity的matrix。

我們剛才考慮的是一個三乘以三的matrix,接下來我們來考慮一個四乘以三的matrix,那假設今天這個四乘以三的matrix,它所有的column都是independent的,那做完reduced row echelon form以後,每一個column都必須要是standard vector,都要是private column,都要是standard vector。

所以,今天我們做完reduced row echelon form以後,把這個四乘以三的matrix,我知道說所有的column都是independent的,做完reduced row echelon form以後,雖然我不知道四乘以三的matrix實際上的數值是什麼,但是做完以後,它一定是長這個樣子,每一個column都是standard vector。

所以,今天假如有一個高受形的matrix,它的row的數目比column的數目還要多,那如果它所有的column都是independent的,做完reduced row echelon form以後,它一定長這個樣子。

也就是說,它的上半部是一個identity matrix,下半部是一個zero matrix,通通都是zero。

好,那今天假設是一個ipath的matrix,假設是一個row比column還要少的matrix,舉例來說我們這邊有一個三乘以四的matrix,那我說假設所有的column都是linear independent的,它的reduced row echelon form會是長什麼樣子呢?

我們說如果所有的column都是independent的,那做完reduced row echelon form以後,每一個column都必須要是standard vector。

好,所以第一個column是standard vector,第二個column是standard vector,第三個column是standard vector。

那你發現說,standard vector,如果你今天是一個row是三的matrix,你裡面能夠放的standard vector就只有三個,你放不了第四個standard vector。

這意味著什麼?這意味著說一個三乘以四的matrix,它不可能是linear independent的,就這樣。

好,我們剛才在舉的例子裡面,我們說如果是三乘以三的matrix,四乘以三的matrix,一個正方形的或高受形的matrix,我們如果知道它的column都是linear independent的,我們就可以知道它的reduced row echelon form長什麼樣子。

但今天,假設是一個三乘以四的matrix,它的column,我們說它都是linear independent,你發現說你根本就做不出reduced row echelon form,它根本不可能有reduced row echelon form。

那這意味著什麼?這意味著說前提是矛盾的,也就是說這個三乘以四的matrix,它不可能是linear independent的。

所以我們今天學到一個很重要的事情,如果是一個矮胖型的matrix,它的column,我們剛才說不可能是independent,也就是說它一定是dependent。

好,我們今天學到這個很重要的事情,那假設剛才講的東西你聽不懂,你記不起來,你聽不懂的話,你就記說,因為它很胖,所以它需要有人扶著,dependent就是依賴的意思,因為它需要有人扶著,所以它是dependent的。

但是矮胖型的matrix,它的column一定是dependent的,但反過來說倒是不一定,對不對?我完全可以製造出一個高瘦的matrix,它的column是dependent的。我隨便舉個例子,舉例來說,它是一個高瘦的matrix,但是它的column是dependent的。

好,所以反過來說不一定成立,這個其實很好記,就假設有一個人他需要別人攙扶,他有可能是生病的,不一定是很胖,假設你剛才講的東西聽不懂的話,你就記得說矮胖型的matrix,因為它太胖了,需要別人扶著,所以它是dependent的。

好,所以今天假設有人問出一個問題,問你說給你一個vector set,這個vector set是dependent的還是independent的?其實有時候你可以直接回答,就是想都不用想,我們說檢查是不是dependent還是independent,你要看說這個vector set裡面某一個vector是不是其他人的linear combination,但在某些case你可以想都不用想,憑著直覺就回答說它是dependent還是independent。

就從我們上面得到的結論,一個矮胖型的matrix,它一定是dependent的,所以今天假設你有一個vector set,裡面都是三維的vector,但是你有四個,把這四個vector拼起來它是一個矮胖型的matrix,所以你直覺就反應知道說它一定是dependent,所以想都不用想就知道說它一定是dependent。

好,所以這告訴我們什麼?這告訴我們說,在這個三維空間中,如果你有超過三個vector,那它一定是dependent,就少於三個vector,它可能是dependent,也可能是independent,但如果超過三個vector,那它一定是dependent,就想都不用想,它一定是dependent。

或者是你可以推廣到說,在n維的空間中,如果你有超過n個vector,它一定是dependent。那這個結論是怎麼來的?就是從上面這個陳述來的,因為如果你在n維空間中有超過n個vector,你把它們排起來,它就會變成一個矮胖的matrix,矮胖的matrix它的color一定是dependent。

這是根據reduce row extra form得到的,這是根據我們對reduce row extra form的理解得到的,所以今天在n維空間中超過n個vector,它一定是dependent。

那其實這件事情也可以用比較直觀的方式來試著了解一下,你可以想想看一個矮胖型的matrix,我們說其實每一個matrix都是一個linear的system,它都是一個system,matrix跟vector的相乘,其實就是把一個vector丟到system裡面,看它會輸出什麼。

一個矮胖型的matrix,它是一個system,這個system它輸入的維度比較大,輸出的維度比較小,因為舉例來說,假設我是一個2乘以3的matrix,它是一個矮胖的matrix,它的輸入是三維的vector,

它的輸出是二維的vector,所以今天如果是一個矮胖型的matrix,它的domain其實是比較大的,你可以很直覺的想起來,三維空間一定是比二維空間還要大的,所以其實這個矮胖型的matrix它做的事情是什麼呢?

其實就是降維打擊。降維打擊的意思就是說,有一群很無聊的外星人,他看到文明就會把它消滅掉,

然後真正強的外星人都不是用核彈來攻擊,他們都直接修改物理定律,然後會路過地球,然後就想把地球人消滅掉,他就直接把三維空間改成二維空間,然後整個太陽系就不見了,結束,故事說完了,其實什麼都沒有說這樣子。

所以就是這樣子,你把三維的空間弄到二維的空間,會發生什麼事呢?所有的東西一定都會擠成一團,對不對?因為這個三維空間比較大的,二維空間比較窄的,所以把三維降到二維,它通通會擠成一團。

那擠成一團的意思是什麼?擠成一團的意思是說,假設有人問你說,在二維的空間裡面我有一個vector叫做b,我想要反推它有什麼樣的solution,我們假設b在這邊,那其實你反推回去以後,它一定有超過一個solution,就假設有解的話,它會有超過一個解。

因為我們是把三維的空間縮到二維裡面去,所以你是把很多東西壓縮起來,所以二維空間中的一個點對應到三維裡面,它是一堆東西,所以你有無窮多解,對不對?

讓我們說,如果你有解的時候有無窮多解,意味著什麼?意味著你的current是dependent的,它是dependent。我現在寫de代表dependent,那這跟我們剛才從reduce row h2o看到的結果是一樣的。

當然其實也有可能有沒有解的case,因為把三維空間降到二維,也許你不見得是填滿整個二維空間,而是濃縮得比二維空間更小,比如說變成一維空間,變成一個點,你有可能是把所有的東西通通都壓成一個點。

所以這個時候你就算是一個matrix它是dependent,它還是有可能沒有解的,因為也許你在二維空間中指定一個vector b,它對應到原來的三維空間裡面是沒有任何對應的。

所以從這篇說明是要告訴大家說,其實直覺上,你也可以從一個system的觀點來想,一個矮胖的matrix,它的current一定是dependent的。