好,那接下來呢,我們要講reduced row atrial form跟rank之間的關係。

好,那我們之前有講到說,什麼是rank呢?rank是你可以找出,在一個matrix裡面,找出多少independent column,那個最大的數目就是我們的rank。

今天如果隨便給你一個matrix,問你說它的rank是多少,你其實不太好想。

因為舉例來說,給你這個四乘以六的matrix,問你它的rank是多少,那你只知道說,顯然一定要小於等於六,其他你其實不太知道。

但是我們知道說,因為rank是指說有多少independent column,而reduced row atrial form的column的關係跟原來的matrix它的column的關係是一模一樣的。

所以reduced row atrial form的matrix,它的rank會等於column的rank。

也就是說,在reduced row atrial form裡面,你找得出多少independent column,在原來的matrix A裡面,你就找得出多少independent column。

所以reduced row atrial form這個matrix R的rank,會等於原來的matrix A的rank。

寫rank太麻煩了,就寫個R代表rank,你知道我的意思就好。它們是相等的,它們是equivalent的。

下面這個matrix,這個reduced row atrial form的matrix,它的rank是多少呢?其實你可以非常輕易的就知道說,它的rank是3。因為你從這個vector set裡面,你把這三個private的column拿出來,它們顯然是independent的。

而其餘不是private的column,都是private column的linear combination。所以它是別人的linear combination,它是linear combination,它是linear combination。

所以把它們加進去,並不會找到更多的independent的vector。

所以今天在R這個matrix裡面,你可以找出最多的independent的vector是3。所以你知道說,A這個matrix,它的rank也是3。

所以我們今天學到一件事情,就是rank的數目其實就等於reduced row atrial form private column的數目。

其實你也可以反過來說,private column的數目,一個matrix的reduced row atrial form private column的數目,其實就是rank的定義。

事實上,課本是這麼寫的。它告訴你說,rank的定義是什麼?就是private column的數目就叫做rank。而private column的數目又等於non-zero的row的數目。

你有幾個private column,代表你有三個leading entry,有三個leading entry,代表你有三個non-zero的row。所以你有幾個private column,你就有幾個non-zero的row。

所以rank又等於non-zero的row的數目。其實我也看過有教科書直接寫說rank的定義是什麼?它是做完reduced row atrial form以後,non-zero的row的數目就叫做rank。

所以其實你可以把這個投影片上畫等號的這三件事情,就把它當作是rank的定義。rank的定義是什麼?你可以找出多少independent column,你可以有多少private column,還有non-zero的row的數目,就是rank。

那從這些陳述裡面,其實我們可以學到一個有趣的事情是,首先根據藍色的這個定義,rank的數目一定小於等於column的數目。而根據橙色的這個定義,rank的數目一定小於等於row的數目。

我們說rank的數目是非0的row的數目,是non-zero的row的數目。你有幾個non-zero的row,rank就是多少。那你今天的rank當然是小於等於一個matrix裡面row的數目。

所以今天把這兩個式子整合起來,你發現說rank這個東西,它一定小於等於column跟row裡面比較小的那一個。

舉例來說,假設你有一個n by n的matrix,那a的rank一定小於等於n跟n裡面比較小的那一個。minimum nn的意思就是說,把n跟n裡面比較小的那一個取出來,那rank的a一定小於等於n跟n裡面比較小的那一個。

那如果今天某一個matrixa的rank,它正好等於n跟n裡面的其中一個,它正好等於n跟n裡面比較小的那一個,那我們說這個matrix叫做一個4rank的matrix。

那我們之前也有講過說,如果今天假設有一個matrixa,它的column是independent的,這個乘數等同於是說這個matrix的rank等於n。

那今天假如有一個matrix,它的n其實是小於n的,那意味著說a的rank絕對不可能等於n。所以假設你有一個n by n的matrix,然後n是比較小的,n是比較大的,那我們說rank一定會小於等於高跟寬裡面比較小的那一個。

那今天假設高比較小的話,那rank一定會比高還要小,就假設今天是一個3乘以4的matrix,那它的rank呢,我們就寫作R吧。

我們就寫,我本來想寫個rank a,但有點麻煩,rank a一定是小於等於3的。既然rank a小於等於3,它就不可能等於column的數目,它就不可能等於4,它不可能等於4意味著說這一個matrix它一定是dependent的。

所以這又呼應了我們剛才已經學到的事情,就反覆一直講,同樣的結論就是,如果有一個matrix它是矮胖型的,那它一定是dependent。

那這邊是從另外一個方向,剛才是用reduce row hreform,剛才已經從reduce row hreform看過一次,然後又從system的觀點再看過一次。

這邊從另外一個觀點再看一次告訴你說,矮胖型的matrix,它一定是dependent的。這邊也是舉一個例子,今天有一個3乘以4的matrix,rank一定小於等於3,或者是說,假設今天給你四個vector在三維空間中,那它們一定是dependent的。

那這告訴我們什麼?這告訴我們說,在這個m維的空間中,在Rm裡面,你不可能找到超過m的vector,它們是independent的。

如果超過m的vector,它們是dependent的。那我們今天已經從三個不同的觀點來跟你闡述這件事,那希望你可以記得住這個結論。

其實它有第四個觀點,第四個觀點就是說,矮胖型的matrix它有人輔,所以它一定是dependent的。

好,那接下來要講一下這個rank跟basic variable還有free variable之間的關係。我們說,我們如果有一個system of linear equation,你可以做reduce row hreform,做完reduce row hreform,你可以先把它的augmented matrix寫出來,接下來你可以對它做reduce row hreform。

我們上一堂課也已經講到說,把這個augmented matrix做reduce row hreform以後,你去掉最後一個column,前面的這些column其實是matrix A的,也是matrix A的reduce row hreform。

不只這整個matrix,是這整個augmented matrix的reduce row hreform,這個matrix的前面藍色的這個區域,它是原來的matrix藍色這個區域的reduce row hreform。

好,那你可以把這一個做完reduce row hreform的matrix,把它還原成system of linear equation,然後接下來你就可以直接的看出它的solution。

那今天呢,在這個system of linear equation裡面呢,它有三個equation,每一個non-zero的row都會對應到一個equation。就今天假設這個system of linear equation它是consistent的,它是有解的。

什麼叫做沒有解的狀況,就是如果你今天你的最後一個column它是non-zero的,比如它是1,那前面都是0,那這樣子就不consistent,它就無解。

那我們今天不考慮這個狀況,我們不考慮這個狀況,我們假設一定是有解的,有幾個non-zero的row,它就有幾個equation。

好,那今天呢,假設有某些variable它沒有對應的equation,那它就是free variable。

那從這裡面我們學到什麼呢?在這個例子裡面我們有三個equation,那我們就有三個不是free的variable,我們就有三個basic的variable,有兩個free variable。

我們又知道說non-zero的row的數目其實就是rank,non-zero的row的數目其實就是rank。

所以你有幾個useful的equation,那你的matrix的rank就是多少。

或者是說,那如果我們看free variable呢,free variable的數目是column的數目減掉non-zero row的數目。column的數目減掉non-zero row的數目,我們又知道說non-zero的row的數目其實就是rank。

那column的數目減掉rank的數目是什麼呢?那我們之前定義過另外一個terminology說column的數目減掉rank的數目,數目其實就是nullity。

所以free variable的數目就等於這個matrix A的nullity。

所以說呢,根據rank這個東西,它等於很多事情,rank等於有多少的independent column,rank等於有多少的private column,rank等於reduce row,H2O form的non-zero的row,rank等於有多少的basic variable。

那剛才在前一頁投影片裡面,我們也看到說nullity的定義是column的數目減掉rank的數目,nullity它也等於有多少的free variable。

所以今天basic variable的數目等於rank,而free variable的數目它等於nullity,所以這個東西這兩個是對應的,所以free variable的數目是nullity,basic variable的數目是rank。

那我們知道說non-zero的row的數目就是ref,non-zero的row的數目就是rank,所以感覺zero的row的數目應該就是nullity。

講到這邊,大家有問題嗎?沒有嗎?在這個投影片上有一個乘數是錯的,我們來找找看是哪一個乘數。仔細想一想,你覺得是哪一個乘數是錯的呢?

我們來問一下大家的意見吧,我們就看nullity這個部分,你覺得有關free variable這個乘數是錯的同學舉手一下,你覺得有關zero row的數目就是nullity的同學舉手一下,手放下。

多數同學其實都有發現,其實這個乘數是錯的。為什麼呢?有的人可能很直覺地會覺得說,non-zero的row的數目既然是rank,那zero的row的數目應該就是nullity咯。

但你不要忘了,這個nullity的定義是column的數目減掉rank的數目,跟row是完全沒有半毛錢關係的。就這樣子了,你很容易弄錯這件事,但是它跟row是完全沒有半毛錢的關係的。

rank的數目加上nullity的數目,如果我們把rank加上nullity,它正好會等於column的數目,但是它跟row是沒有關係的,所以說rank是non-zero row的數目,但並不代表nullity就會是zero的row的數目,所以這是一個陷阱。