那接下來呢,我們來看一下這個return rule HL4跟SPAM的關係,那我們看完這個部分呢,再下課。

好,那這邊呢,我們要考慮的是,一個system of linear equation,它是consistent還是不consistent,有解還是沒有解這件事情。

好,那今天呢,假如有一個system of linear equation,它是consistent的,那意味著什麼?意味著說這個vector br是在a的column的SPAM裡面,這個我們已經講過了,所以有解的意思是說,b這個vector在a的column的SPAM裡面。

那如果你今天看一個有解的system of linear equation,它的augmented matrix的reduce rule HL4的話,那你會發現說呢,它沒有任何一個rule,它在最後一個column是有非0的值的。

如果它今天有一個rule在最後一個column有非0的值,比如說如果你把這個東西改成1的話,那這個system of linear equation就會沒有solution,但是假設這件事沒有發生,那這個system of linear equation它就是有解的,它是一個consistent的system of linear equation。

那什麼樣子的狀況叫做無解呢?如果你在最後一個column有non-zero的值,那你列出來的式子就會怪怪的,如果你把它轉回原來的system of linear equation的話,那你轉回來就變成0倍的x1加上0倍的x2加上0倍的x3等於1,那這顯然是有問題的,你顯然找不到一組x1 x2 x3可以讓這件事發生。

所以這個時候呢,這一個system of linear equation它是inconsistent的,也就是matrix B不在A的column的span裏面。

所以我們知道說,今天呢,一個system of linear equation它是不是consistent的,你是可以從它的augmented matrix裏面看出來的,如果它的augmented matrix有下列這種狀況的話,那它就是沒有解的,它就是inconsistent的。

換句話說,你可以換句話說,我們知道說rank的數目就是non-zero的row的數目,如果你今天你的augmented matrix它的rank跟A這個matrix它的rank是不一樣的,那這個system of linear equation它就是無解的。

如果從這個圖上,你就可以看出來說,A的reduced row echelon form是這個地方,augmented matrix的reduced row echelon form是這個地方,它們的non-zero的row的數目不一樣。

今天假設呢,假設你這個system of linear equation是無解的,這個時候它們的non-zero的row的數目不一樣,如果是matrix A的reduced row echelon form,它有三個non-zero的row,如果是augmented matrix的reduced row,它有四個non-zero的row,所以它們的rank是不一樣的。

如果你發現matrix A跟它的augmented matrix它的rank是不一樣的,這個時候就代表這個system of linear equation它是無解的。那你發現說要檢查一個system of linear equation它有沒有解這件事情,你是需要把B考慮進來的。

你光考慮matrix A,看它的rank,看它的reduced row echelon form是不夠的,一定要把B這個vector考慮進來,你才能夠知道說這個system of linear equation它是有解的,還是無解的。

如果今天有一個system of linear equation,它對所有的B都是consistent的,不管你B帶什麼樣的值進去,它都是有解的,那這意味著什麼?

這意味著說,今天你的augmented matrix,你做完reduced row echelon form以後,它永遠不會有最後一個column有非0的值發生的情形,那要如何達到最後一個column永遠不會有非0的值發生的情形呢?

你的唯一的可能就是,如果今天你前面的row都是0的話,那你最後一個column的值一定要是0才行。

這告訴我們什麼?這告訴我們說,matrix A的reduced row echelon form,它不能夠有0的row,因為如果它有0的row的話,你就一定可以找到一個B,

這個B做完reduced row echelon form以後,它一定可以讓inconsistent的狀況發生。

怎麼說呢?假設你今天有一個matrix A,那它做完reduced row echelon form以後,假設今天這個是你的augmented matrix的reduced row echelon form,假設這是你的augmented matrix的reduced row echelon form,所以這個matrix就是matrix R。

A有一個0的row,它有某一個row,它的reduced row echelon form有一個row,這個row的值通通都是0,它有一個0的row。

我今天能不能夠找到一個D,它做完reduced row echelon form以後,這邊得到Bπ,使得這邊有一個值D,這個D或者是說它是不等於0的呢?它是負的也沒有關係,它是不等於0的呢?

這件事情非常的容易,怎麼說呢?因為你只要反推就好了。什麼意思?我們知道說做reduced row echelon form就是一連串的elementary row operation,你把AB這個matrix做一連串的elementary row operation以後,得到RBπ這個matrix。

所以今天你能不能夠找到一個B,使得這個column有一個D它不等於0呢?這太簡單了,你就在這個地方隨便給D設一個值,然後逆著做elementary row operation,解回去以後,你就得到一個vector B,它做完elementary row operation以後,會使得inconsistency這件事情發生。

所以今天假設你要讓對所有的B inconsistent這件事情都不可能發生,今天AX等於B,它永遠是consistent,永遠是有解的,那要怎麼做呢?今天一定要A的reduced row echelon form,它沒有zero row這件事情才有可能發生。

所以這意味著什麼?這意味著說A的reduced row echelon form是沒有任何zero row的,也就是說A的rank會等於row的數目,如果你沒有任何zero row的話,A的rank會等於row的數目。

剛才講到哪裡呢?剛才講到說,假設我們希望有一個system of linear equation A explain B,不管我們B帶任何的數值,不管我們B帶任何的vector,它永遠都是有解的。

這件事情等同於說A的rank要等於row的數目,也就是說如果你今天希望能夠建一個system of linear equation AX等於B,它永遠都是有解的,那A必須要滿足,或是A一定要滿足這個性質,

這個性質就是說A的rank要等於它的row的數目,舉例來說,假設A是一個m by n的matrix,我們說A是一個m by n的matrix,那A的rank一定要等於n,這個時候呢,A所形成的system of linear equation,它就會永遠都有解。

那一個system of linear equation它永遠都有解是什麼意思呢?一個system of linear equation它永遠都有解的意思是說,今天不管是哪一個vector B,你都可以用A的column做linear combination以後組合出來。

或者是說,你把A的那n個column,假設A是一個m by n的matrix,那它有n個column,你把A的這n個column做span,得到一個vector set,我們說把一個vector set做span以後,你其實就是得到一個更大的vector set,而不管是哪一個B,它通通都落在這個span完後的vector set裡面。

假設A是一個m by n的matrix,那其實你就會知道說,x它是一個n-為的vector,m by n的matrix乘以一個n-為的vector,你就得到B它是一個m-為的vector。

由不管是哪一個m-為的vector,B它屬於Rm,不管是哪一個m-為的vector,它一定都會落在A1到An這n個column的span裡面,也就是說,A1到An這n個column做span以後,其實它就等於整個m-為的空間。

所以我們今天得到什麼樣的結論呢?或是舉例來說,假設我們今天要讓Ax等於B永遠是consistent,假設今天我們說n我們就代3,然後n我們就代4,

那你的這個matrix A它會長這個樣子,它是一個3乘以4的矩陣,它是一個3 by 4的matrix。

那我們說要讓這個A形成system of linear equation永遠都有解的話,這件事等同於說A的rank要等於row的數目,現在row的數目為3,所以A的rank必須要等於3。

A的rank等於3的意思就是說,從這個matrix的四個column裡面,它有四個column,你最多可以挑出三個independent的column。

那這意味著什麼?這意味著說你只需要n個independent的vector,你把這n個independent的vector做span以後,它得到的那個vector set就會等於Rn這個空間。

也就是說假設你今天的n等於3是一個三維的空間,其實你只需要三個independent的vector,做完span以後就可以等於整個三維的空間。

那從這件事情我們就可以推論出,假設你今天在n維的空間裡面有超過n的vector,它一定會是dependent的。

那這件事情非常的直覺,怎麼說呢?假設現在我們已經有n個vector,它們是independent的,它可以span整個n維的空間。

這時候你有再多加一個vector,這個vector一定可以用原來的n個vector做linear combination以後得到,所以這個超過n個vector的vector set,它一定是dependent的。

或者是假設我們考慮一個二維的空間,那假設在這個二維的空間裡面,我們現在只需要兩個independent的vector,就可以span整個二維的空間。

那在二維的空間裡面,兩個vector它是independent是什麼意思呢?是說這兩個vector它們不是平行的。

如果今天這兩個vector不是平行的,它們就可以span整個二維的空間。

那我們之前有講過說,在三維空間裡面,你光用平行不平行,你沒有辦法決定說這三個vector能不能夠span整個三維的空間。

但是假如在三維的空間裡面,你有三個independent的vector,那你就可以span整個三維的空間。

那在二維的空間裡面,你只需要兩個independent的vector,就可以span整個二維的空間。

也就是說,今天你如果已經有兩個independent的vector,現在再隨便拿一個vector c進來,那它一定是原來的兩個vector a跟b的linear combination。

那今天假設我給你一個vector set,這個vector set它是三維的vector,總共有四個。

然後問你說,這四個vector能不能夠span三維的空間,那你要做的是什麼呢?

你要做的是說,在這個vector set裡面,你能不能夠找出三個independent的vector。

那怎麼知道在這個vector set裡面,能不能夠找出三個independent的vector呢?

你有很多不同的做法,舉例來說,你可以說,好,我把這些vector拼起來,當作一個matrix A。

然後看看說呢,這個matrix A做完reduce row hl form以後,它的rank是多少。

如果它的rank等於3的話,那它就可以span整個三維的空間。

所以我們今天學到的一個很重要的觀念就是,如果有n個independent的vector,它就可以span整個n維的空間。

如果有n個independent的vector,它做linear combination以後,任何的n維的vector都會在它的掌握裡面。

那你要記這件事情其實非常的簡單,因為想像我們是生活在一個三維的空間裡面。

所以你有沒有發現說,在神話裡面,所有的神器都是三樣。舉例來說,你只要抽到三張神之卡,就可以統治整個世界,成為新一代的法老王。

或者是說,上古的神器也就是三劍。我記得上古的三劍神器是女媧、血玉、伏羲劍跟神龍鼎,然後這三個就可以封印魔君。

所以你會發現說,神器為什麼都是三劍,就是因為我們是生活在一個三維的空間裡面。如果是四維空間的生物,它的神器就會是四劍。

如果你可能會說,有一些什麼會有四大天王之類的,你就會發現說,四大天王裡面可能有一個就是冗員。因為在三維空間裡面,只要有四個vector,它一定是dependent的。只有四個東西,其中一個是多餘的。

最後這份圖我們要講的是說,我們來看一下full rank的matrix,它有什麼樣的特性。也就是說,假設你有一個nxn的matrix,它的rank等於n,或rank等於n的時候,它有什麼樣的特性。

我們先來看rank等於n的情況。因為我們知道說一個matrix的rank,它一定要小於n跟n裡面比較小的那一個。既然今天rank等於n,代表說現在n一定是比較小的。

n比較小意味著什麼?n比較小意味著說這是一個瘦長的matrix,這是一個高瘦的matrix,或者說它至少必須要是方形的。它可以是高瘦的,它可以是方形的,但它不可以是矮胖的,不可以是臉的。

今天這種高瘦的matrix,如果它的rank等於n,也就是rank等於column的數目的時候,有什麼樣的特性呢?如果一個matrix的rank等於它的column的數目,那會發生什麼樣的事情呢?

首先會發生的事情就是,如果你拿matrix A來組一個system of linear equations,它最多只會有一個解。最多只會有一個解的意思是說,你今天只有兩個可能,要嘛是無解,要嘛是有唯一解。

因為我們之前有講過說,如果一個system of linear equations,它的column都是independent的,它要嘛就是無解,要嘛就是唯一解。這個是我們之前已經提過的事情。

那我們今天還講什麼呢?我們今天講說,如果一個matrix所有的column都是independent的,意味著所有的column都必須是private column,這個我們剛才已經有講過了。

也就是說,如果你今天把一個matrix做完reduce row atrial form以後,它所有的column都是private column,也就是說它所有的column都是standard vector,也就是說一個高瘦的matrix,如果它的rank等於n的話,你對它做reduce row atrial form做完以後,它一定會長這樣子的形式,也就是上半部是identity matrix,下半部是zero matrix。

那如果我們今天看另外一個case是rank等於n的時候,如果今天rank等於n,意味著說matrix A一定必須是矮胖的,它一定要至少是方形的或是矮胖的,因為我們知道說今天這個rank它一定是比column跟row裡面比較小的那個還要小。

今天既然rank等於n,代表說n是大於等於n的,所以今天這個matrix A要嘛是方形的,要嘛是矮胖的。

那rank等於n這件事情告訴我們什麼呢?那我們知道說rank的數目就是non-zero row的數目,也就是說做完reduce row atrial form以後,non-zero row它就會有一個leading entry。

那今天如果你的rank數目是n,代表你有n個row它是non-zero的,那你其實這個matrix它是一個n by n的matrix,所以它也就只有n個row,所以它的每一個row都有一個leading entry,或者說它的每一個row都有一個private position。

那這意味著什麼呢?我們剛才又有講過說,如果一個matrix A它的rank的數目等於它的row的數目,那用這個matrix A來做一個system of linear equation的時候,這個system of linear equation它永遠都會有解。

那永遠都會有解的意思是什麼?永遠都會有解的意思是說,它至少有一個解,但它有可能有一個解,也有可能有無窮多解,這件事情取決於它到底是一個解還是有無窮多解,取決於說現在你的column是dependent的還是independent的。

那如果你今天你的column是,如果你今天你的matrix是square的,其實它就只會有一個解,那如果它是icon的,那它的column是dependent的,它就會有無窮多解。

或者是說,如果今天AX等於B,它永遠是consistent的,它永遠都是有解的,那意味著什麼?意味著說A的column,你把它拿來做generation,你把A的column拿來做span,所有的B都在它的掌握之中,也就是把A的column拿來做span,它會等於整個N維的空間。

好,這個是有關reduce all hrefs的問題。