那什麼是矩陣的inverse呢?我們先講一下,這一頁投影片就下課。

我們可能還沒有學過,大家可能還沒有學過什麼是矩陣的inverse,但你學過什麼是一個function的inverse。

假設有兩個function f跟g,我們說它互為inverse,如果它滿足以下的條件,什麼樣的條件呢?

對於任何的f function的輸入來說,我們今天把某一個東西v當作f的輸入,然後它吐出一個x,

你再把這個x丟到g裡面,它會還原回原來的東西。

也就是說你不管把什麼東西丟到f裡面,都可以用g還原回來,同時你不管把什麼東西丟到g裡面,它也可以用f還原回來。

這個時候我們說,f跟g它們互為彼此的inverse,你可以把f寫作g-1,你也可以把g寫作f-1,這個是function的inverse,是你在高中的時候就學過的東西。

那矩陣的inverse是什麼呢?其實矩陣的inverse跟function的inverse,它的道理是一模一樣的。

因為我們說,其實每一個matrix,你要把它想成它就是一個linear的system,而這個linear的system,它的inverse就是那一個代表linear system的矩陣的inverse,這個就是矩陣inverse它的物理意義。

好,那我們今天上課就上到這邊,我們就下課。

我們上週講到什麼呢?我們上週講到function的inverse,然後接下來我們要講matrix的inverse,其實matrix的inverse跟function的inverse其實是同一件事,因為我們說過matrix,你其實就可以把它當作是線性的function來看。

所以呢,我們上週已經講過說,什麼叫兩個function fg互為inverse,接下來要講的是,什麼叫做兩個matrix A跟B互為inverse,什麼叫做B是A的inverse,A也是B的inverse,什麼叫做A跟B互為inverse。

A跟B互為inverse的定義如下,如果今天你對B這個matrix所形成的linear function輸入一個vector v,那它的輸出就是B這個matrix乘上v這個vector等於x,接下來你把x再輸入到A這個matrix裡面,它的輸出會是A乘上x等於y,

然後你會發現說,B的輸入等於最終A的輸出,也就是v等於y,然後現在我們把A跟B反過來,剛才是先丟輸入給B再輸入給A,現在先輸入給A一個vector v,

然後再把x輸入給B,把B乘上x得到y,然後我們發現說,輸入的這個v等於最終輸出的y。

如果對所有的v,要注意一下是所有的v,下面的這個乘數都成立,對所有的v,你把它先丟到B裡面,再丟到A裡面,得到的輸出會跟輸入一樣,

你把它先丟到A裡面,再丟到B裡面,得到的輸出會跟輸入一樣,對所有的v,下面這個乘數都成立的話,那我們說AB他們互為inverse,AB這兩個矩陣互為彼此的inverse。

或者是你可以從另外一個角度來說,如果A乘上B等於identity matrix,B乘上A也等於identity matrix,那麼A跟B就互為inverse。

為什麼說這個用圖式所做的乘數跟A乘B等於identity matrix的意思是等價的呢?因為我們之前有說過說,當我們把兩個matrix所構成的function concatenate起來的時候,

把它們接起來,把它們compose起來的時候,我們現在把A跟Bcompose起來的時候,適同於得到一個新的function,叫它的新的function,它的coefficient叫做A乘以B。

所以我們之前講過說,你可以把乘法,矩陣的乘法,看作是兩個矩陣所形成的function的compose。然後接下來我們說,這個新的function,它有什麼樣的特質,它的輸入永遠等於輸出,不管輸入什麼v,輸入永遠等於輸出。

那什麼樣的矩陣,它的輸入永遠等於輸出呢?什麼樣的矩陣乘一個v永遠會等於v呢?那就是identity的matrix。

所以matrix的inverse,你可以更簡單的講成說,如果A跟B相乘是identity matrix,如果B跟A相乘也是identity matrix,那麼A跟B就互為彼此的inverse。

好,所以在課本裡面,inverse的定義是寫成這樣子的。我們說,如果我們說A是invertible,就是它是可逆的,它可以被inverse。

如果我們找得到,A是invertible,如果我們找得到一個matrix B,使得A跟B相乘等於identity matrix,B跟A相乘也等於identity matrix,那麼A就是invertible了。

那我們會說,A是invertible的,然後B是A的inverse,B是inverse of A,或是你會寫成B等於A乘上一個-1,A加上一個上標-1,就代表A的inverse,B等於A的inverse。

那inverse這件事是互相的,所謂互相的意思是說,如果B是A的inverse,那A也會是B的inverse,如果A是B的inverse,B也會是A的inverse。

那這邊就是舉一個inverse的matrix的定義。那今天呢,A是一個matrix,我們說B是A的inverse,怎麼檢查B是不是A的inverse呢?你就把AB相乘,再把BA相乘,看它們是不是identity matrix。

我們現在有兩個2乘以2的matrix,我們把A跟B相乘,那這個我們就不算給大家看了,就自己心算一下,發現它是identity matrix,把B跟A相乘,發現它也是identity matrix,那我們就知道說,A跟B互為彼此的inverse。

那除了invertible跟non-invertible這樣的陳述以外,這邊還有另外一個相關的陳述叫做non-singular跟singular。如果一個matrix是invertible的,我們就說它是non-singular的。

這個只是換句話說而已,invertible的另外一個說法叫做non-singular。為什麼叫做non-singular呢?你其實可以這樣解釋,singular就是單一的,single的,不是乘雙乘對的意思。

如果A有一個inverse,代表它有一個伴,就是它有一個搭檔,它有一個夥伴,所以A跟B是乘一對的。所以如果A有一個inverse,那它是non-singular,它不是單獨的。

那如果A不是invertible的,它找不到一個inverse,就代表它是孤單的,它沒有一個伴,所以說它是singular的。

好,那今天有一個有趣的事實是,課本上在討論invertible或non-invertible的時候,永遠都討論square的matrix。那其實呢,今天一個不是方形的matrix,它一定不會是invertible的。

就如果一個matrix它不是方形的,它一定是non-invertible,它一定不可逆,它一定是non-invertible的。

怎麼說呢?有的人會很直覺地告訴你說,如果A跟B不是方形的,那A乘上B,B乘上A,其中一者沒有定義。

其實不是這樣,這個答案是不對的,因為我們上週已經講過說,就算A跟B不是方形的,A乘上B,B乘上A,還是有可能有定義的。

對不對?我們說,假設A是一個n by n的matrix,B是一個n by n的matrix,那A乘上B,B乘上A,它們兩個通通都是有定義的。

但是一個有趣的事實是,今天就算是A乘上B,B乘上A,都是有定義的,你沒有辦法找到,假設A是一個non-square的matrix,就不可能找到一個B,讓A乘上B,B乘上A,都是identity matrix。

這樣大家可以接受嗎?你可能會問說,為什麼會這樣?其實一個最簡單的解釋方法,如果你看一下有些教科書或者是看一下有些網絡上論壇的討論,就直接告訴你說,反正是不是invertible這件事就只有定義在方形的matrix上面,所以就不要想不是方形的matrix。

那我這邊可以更進一步的告訴你說,事實上一個不是方形的matrix,它其實就不可能是invertible的。也就是假設,我們現在考慮兩個matrix A跟B,為了確保A乘B,B乘A都有定義,所以我們就說,舉例來說,這個A是一個2乘以3的矩陣。

然後呢,B是一個3乘以2的矩陣,如果今天A乘B跟B乘A都是identity matrix的話,那顯然A跟B是符合invertible的定義的,這個時候我們可以說A跟B它們都是invertible,雖然它們的identity matrix大小不一樣。

如果A乘B的話,A乘B的話,它的identity matrix size是2,如果是B乘A的話,它的identity matrix size是多少呢?是3乘3,對不對?

如果以下這件事情發生的話,A乘以B,B乘以A都是identity matrix這件事發生的話,那麼意味著A跟B是invertible,你找到它們的inverse。但事實上,接下來我想要告訴大家的事情是,這件事情是不可能會發生的。

怎麼說這件事情是不可能會發生的呢?我們就不做正式的證明,但是你可以直覺地想像它,我們可以用A跟B相乘,就是兩個矩陣,就是兩個function串在一起這件事情,來想說為什麼這件事情是不會發生的。

我們來看看,今天假設我們把A跟B串起來,我們把B跟A串起來,然後看看會發生什麼事。

現在先看上面這個圖,當我們把A跟B串在一起的時候,A這個矩陣或A這個矩陣所代表的function,它輸入是一個三維的向量,則是一個三維空間中的向量,輸出會是一個二維空間中的向量。

然後B的輸出是一個三維空間中的向量,反過來我們看下面這個例子,B的輸入是一個二維空間中的向量,我寫2D代表它是一個二維空間的輸入,輸出是一個三維空間中的東西,然後A的輸出也是一個二維空間中的東西。

好,我們說如果今天你要讓B乘以A是identity matrix的,或是AB互為inverse,你要滿足什麼條件呢?

你要滿足說,如果你在上面這個圖對A輸入一個東西,比如說B,中間可能轉成一個X,但是通過B以後你輸出仍然要是B,對所有的V都成立。

你仔細想想,這個問題這件事情有可能會發生嗎?如果輸入是三維,輸出是兩維,再把兩維轉到三維,這件事情有可能會發生嗎?

如果舉個例子,我們上課已經講過降維打擊了,但我忍不住再講一次,你不想被雷就把耳朵捂起來。就好像說,本來這個世界是三維的空間,然後現在外星人來了,就把整個太陽系降維到二維。

也就是說,本來是立體的東西,你就把它統統打扁,所以所有人都死掉了。然後把東西打扁以後,它就被打扁了,所以你沒有辦法再還原回來,你不知道原來是什麼樣子。

你把一個人打扁以後,你已經不知道它展開來應該是什麼樣子了。所以今天你把三維降到二維,你再想辦法把二維的東西還原到三維,它已經不是原來的東西了,

因為你無法想像原來的東西長什麼樣子,很多不同的三維的東西打扁以後都是一樣的,所以你沒有辦法把它還原回來。

所以這讓我們知道說,從高維降到低維以後,你就無法還原回原來高維的東西了。

所以在《三體》這個小說裡面告訴我們說,其實原來宇宙是十維的空間,但是因為在外星人互相的戰鬥之中,它們都互相對彼此發動降維打擊。這個故事就是這個樣子的。

本來大家都是十維的生物,但是如果我要消滅你怎麼辦呢?我就把自己改造成九維生物,然後對你發動降維打擊,那你就被消滅了。

所以因為宇宙間的民族間都不斷地互相對對方發動降維打擊,所以這個宇宙現在才會變成是三維的,未來會慢慢地變成是二維的,因為很多空間都已經被二維化。

但是已經被降維以後,就沒有辦法再復原了,就沒有辦法復原成原來十維的空間了,所以就有一個種族叫做歸零者。

他們也提出一個理論,就是因為被降維以後無法復原成原來的十維的空間,那他們提出來的理論就是,要降到更低維,降到零維以後就可以重啟整個宇宙變成十維的空間。

我也不知道為什麼會這樣,你就不要問我為什麼會這樣子了。

所以今天,假如說你考慮的矩陣A它不是方形的,那我們如果看下面這個case,我們剛才看的是上面這個case你無法還原,下面這個case你能不能還原呢?

你輸入一個V變成一個X,能不能還原成原來的V呢?可以,從低維到高維以後,你可以還原成原來低維的東西,對不對?

二維中的一個點,把它變到三維中,因為三維的空間比較大,你可以把原來所有二維的資訊統統保存下來,然後你就可以還原成原來的二維的東西。

但是如果你今天一個矩陣它不是方形的,你一定會在A乘B跟B乘A的其中一個case做降維,從高維的空間變成低維的空間。

只要從高維變成低維,就一定無法還原,它就一定無法相乘以後變成identity matrix。

所以今天這個case想要告訴我們的事情是說,非方形的matrix,它一定不會是invertible,它一定是不可逆的。

當然,如果這個你聽不懂的話就算了,你就記得說,只有方形的matrix才討論可逆不可逆,非方形的一定是不可逆,所以我們不討論它。

我們在討論可逆不可逆的時候,你翻個課本,完全不討論非方形的,因為非方形一定是不可逆的。

好,剛才講說非方形的一定是不可逆的,但這邊還要再強調一個點,並不是所有方形的東西都是可逆的。

舉例來說,這邊就隨便舉一個matrix,這個matrix是1,2,0,0。你能不能夠找到一個matrix跟1,2,0,0相乘以後變成identity matrix,你會發現這件事情你是辦不到的。

我們今天隨便舉一個例子,1,2,0,0這個matrix,你把它乘上abcd這個matrix,會發現它變成a加2c,b加2d,0,0這個matrix。

那這個matrix永遠不可能等於identity matrix,不管abcd的值在多少,永遠不可能等於identity matrix,所以這告訴我們說,就算是方形的matrix,也有一些matrix,它是non-invertible的,它是不可逆的。

另外,可逆這件事是唯一的,所以唯一的意思是說,如果ab相乘是identity,ba相乘是identity,就是a是b的inverse,b是a的inverse,那就不可能有另外一個matrix,舉例來說我們叫做c,ac是identity matrix,ca也是identity matrix。

所以每一個matrix,它都只有唯一一個inverse,如果我說a的inverse是b的話,它就不會有另外一個inverse叫做c,inverse這個東西是唯一的。

這就是為什麼我們在講inverse的時候,我們可以又把它叫做non-singular,我們又把invertible叫做non-singular,因為在這個世界上所有的matrix都是湊成一個一個pair的,它們彼此互為inverse,然後剩下有一些落單的matrix,它們是沒有inverse的,但是如果你有inverse,那你就只有唯一一個inverse。

這件事的證明很容易,你就說我們假設某一個matrixA,它不知道怎麼回事,它有兩個inverse,但是這件事情是矛盾的,是不可能成立的。

我們現在假設A有兩個inverse,就是b跟c,所以ab是identity,ca是identity,ac是identity,ca是identity,接下來就發現說b一定得等於c才行,為什麼?

因為我們看一下,b等於b乘上identity,這個沒有問題。那identity,我們會說identity就是a乘上c,所以b等於b乘上a乘上c。

然後接下來,你再把ab先項乘起來,ab先項乘起來變成什麼?ab先項乘起來後變成identity matrix,所以這邊得到ic,ic並不是晶片,這個ic是matrixI乘上matrixC。

因為ba也是identity matrix,所以你這個事情最後得到的結果是identity matrix乘上c,所以就得到b乘以c,所以每一個matrix只會有唯一一個unique的inverse。

好,那以下是更多inverse的性質了,如果a跟b都是invertible的matrix,那ab也會是invertible的matrix。怎麼知道說ab是invertible的matrix呢?

你只要找出ab這個項乘以後這個新的matrix,你只要找出a跟b這個項乘以後這個新的matrix的inverse,它就是invertible。

我給大家答案,a跟b這個matrix相乘的inverse就是b的inverse乘上a的inverse。那這邊有個有趣的地方是,當你把a跟b相乘這個matrix做inverse的時候,你會把取inverse的部分,你會把它展開,但是順序對調,大家知不知道我的意思?

就把a跟b做inverse的時候,你會得到b-inverse乘上a-inverse。那怎麼證明說b-inverse乘上a-inverse就是ab的inverse呢?

非常簡單,你就把這個東西乘上ab,看看它是不是identity matrix,你再把ab反過來乘上這個東西,看看它是不是identity matrix,如果都是就結束了。

所以這個證明非常容易,把b-inverse、a-inverse乘上ab,那a-inverse跟a就消掉了,變成identity matrix,那剩下b-inverse乘上b也是identity matrix,結束。

反過來,那正負都要檢查一次,ab乘上b-inverse、a-inverse,b跟b-inverse可以消掉,變成identity matrix,那a乘上a-inverse也是identity matrix。

所以我們今天學到說,a跟b相乘後的inverse是b-inverse乘以a-inverse。

那同樣的概念可以推廣到多個matrix連續相乘,你有k個matrix a1到ak,如果你把a1到ak全部乘起來,a1到ak全部乘起來的這個新的matrix的inverse是什麼呢?

就是ak的inverse乘上ak-1的inverse,一直乘到a1的inverse。

好,剛才講的是相乘的inverse,接下來講transpose的inverse,如果a是invertible的,a的transpose也是會是invertible的。

a的transpose的invertible,inverse是什麼呢?a的transpose的inverse就是把transpose跟inverse這個東西對調順序,這個還蠻神奇的。

就a的transpose取inverse等於a-inverse取transpose,這個也許你在直觀上很難想像,但是要證明這個東西其實非常的容易。

因為你只要證說這個a-inverse的transpose這個東西乘上a-transpose是不是identity,把a-transpose乘上a-inverse的transpose是不是identity,如果都是的話,那a-inverse的transpose就是a-transpose的identity。

那怎麼做呢?就先乘一下,那這邊需要用到的是上週講過的一個概念,如果a跟b相乘的這個matrix取transpose的話,等於b的transpose乘上a的transpose。

所以神奇的事情是,矩陣相乘以後取transpose,順序會顛倒,那其實矩陣相乘以後取inverse,我們在前一頁的推文裡面也看到了,它的順序也是會顛倒的。

好,那我們現在就把這個證明,這個證明是這樣子,我們知道說a-inverse乘上a等於identity matrix,接下來我們把a-inverse乘上a這件事情做transpose,我們把這個式子的左邊做transpose,右邊也做transpose。

那如果你對identity做transpose,它還是它自己,identity matrix做transpose以後還是它自己。

好,接下來呢,我們用上面藍色的框框裡面的這個式子知道說,a-inverse a的transpose等於a的transpose乘上a-inverse的transpose。

好,所以我們今天就學到說,a的transpose這個matrix,如果乘上a-inverse的transpose這個matrix,它會是identity matrix,所以現在a-inverse的transpose這個matrix,它很有可能是a-transpose的inverse,但我們還要檢查一下反過來,如果把這兩個人的順序顛倒,是不是還是identity的。

好,怎麼檢查他們順序顛倒的case呢?就把剛才這個證明的順序反過來做,剛才是說a-inverse乘上a等於identity,現在我們知道說a乘上a-inverse,a等於identity,再把它兩邊都取transpose,然後identity取transpose以後是不會改變結果的,identity取transpose以後是不會改變結果的。

然後我們知道說,如果說把a乘上a-inverse取transpose的話,可以用上面這個式子把transpose的順序調過來,把transpose的順序調過來,所以我們現在知道說a-inverse的transpose乘上a的transpose也是identity matrix,所以我們知道說a的transpose,它的inverse就是a的inverse乘上transpose。

所以這個很神奇,你把a的transpose做inverse,你居然可以把inverse這個東西、-1這個東西跟transpose-t這個東西,這兩個上標,把它調換順序,然後得到的是同一個matrix。

那matrix的inverse有什麼樣的作用呢?它最直觀的作用是拿來解system of linear equation,也就是說假設你有一個system of linear equation Ax等於b,你又知道說a是invertible的,你找得到a的inverse,那你就可以把這個式子左右都乘上a-inverse,我們把Ax等於b,左右都乘上a-inverse。

接下來a-inverse就可以跟a抵消,a-inverse就可以跟a抵消,變成identity matrix,你就得到一個式子說,本來Ax等於b,你要解x,那x到底是多少?x就是a的inverse乘上b。

這個概念跟代數的運算還蠻像的,就是說3x等於2,你要解x等於多少,那就把3除到右邊去,那你就知道x等於多少。

所以今天這個概念也有點像,你想要解Ax等於b等於多少,那你就把x除到右邊去,那a的這個導數,a它不是一個scalar,所以它其實沒有導數,那我們就用a的inverse來象徵它的導數,所以這個x等於a的inverse乘以b,那運算過程在下面這邊。

所以如果要實際舉一個例子的話,就像是這樣,你有一個system of linear equation,然後它可以寫成Ax乘以等於b,那這個x等於多少呢?x就是a的inverse乘上b,那a的inverse是多少呢?

你就先把a找出來,a是1,2,3,5這個matrix,那它的inverse怎麼找呢?我們還沒有算,就假設你call個套件什麼的,代入一個function就把inverse找出來,你找出來它a的inverse長這個樣子,再乘上b,b是4,7,b是4,7,你就可以把x算出來了。

但是事實上呢,在實作上,你很少會用這個matrix的inverse去解一個system of linear equation,為什麼?因為我們之前學到說解system of linear equation的時候,你實際上要怎麼做的?

你是找reduce row h to the 4,然後解system of linear equation,那事實上,我們到目前為止都還沒有講說怎麼找matrix的inverse,我們只定義了matrix的inverse而已,我們還沒有說怎麼找matrix的inverse。

事實上,找matrix的inverse的過程,要做reduce row h to the 4,所以如果你說你要用inverse的matrix的概念來解system of linear equation,變成說你先做reduce row h to the 4,再把reduce row h to the 4的結果做各種處理,然後跟b相乘得到結論,那你為什麼不一開始就做reduce row h to the 4就好了呢?

所以變成是捨本逐末,所以用這個方法解system of linear equation,其實是不會比較快的,不過我們可以觀察a的inverse的這個matrix的值,學到一些東西,以下是一個例子。

假設現在世界上只有三種資源,就是食物、黃金和木材,這個就是世紀帝國的世界,其實還有石頭,但是石頭其實很難用,石頭只有蓋城堡的時候用得上,其他很多時候是用不上石頭的,還有城牆這樣子。

那這個是一個簡化版的世紀帝國的世界,就只有食物、黃金和木材三種資源。那我們知道說,其實你要生產這三種資源,你要做什麼呢?

你要先產生村民,然後你還要生一些有的沒的科技,你還要蓋伐木廠,你才能夠生產這些資源,所以生產這些資源本身也要耗費這些資源。

我們這邊就有一個例子,假設你生產一單位的食物,其實你需要0.1單位的食物、0.2單位的黃金和0.3單位的木材,或者是你要生產一單位的黃金,你需要0.2單位的食物、0.4單位的黃金和0.1單位的木材,生產東西也是要耗費成本的。

接下來,假設我們想生產X1、X2、X3單位的食物、黃金和木材,我們假設舉證的第一位就代表食物,第二位就代表黃金,第三位就代表木材,假設我們想生產X1、X2、X3單位的食物、黃金和木材,那我們需要多少食物、黃金和木材呢?

這個問題對你來說其實一點都不困難,你就寫一個舉證,然後把這個舉證跟你想生產的量做相乘,你就知道說你需要投入的量有多少。

今天假設你想要生產比如說X1單位的食物、你想要生產X2單位的黃金、你想要生產X3單位的木材,那你會需要多少食物呢?

是不是就是把0.1乘上X1,加上0.2乘上X2,加上0.1乘上X3,所以所有其他的資源你也都可以以此類推,所以你需要的食物是0.1乘上X1加0.2乘上X2加0.1乘上X3,也就是這個vector的第一個row。

如果是黃金跟木材也是一樣,所以你可以寫出一個matrix,這個matrix是這樣子的,把需要的食物的量當作matrix的第一個row,把需要的黃金的量當作matrix的第二個row,把需要的木材的量當作matrix的第三個row,把這個matrix乘上你想生產的資源的單位,你就可以得到你需要投入的單位。

那這個matrix叫做consumption matrix,我們這邊把它寫作C,我們想生產的三種資源合起來,我們叫這個項量X,把C乘上X,你會得到CX,就是我們現在需要投入的資源。

好,那是我們現在列出來的matrix,就假設你想要生產100、150、80單位的三種資源,那你需要投入48、96、53單位的資源,但是因為我們想要生產東西的時候,我們需要投入東西。

所以我們今天想要生產100單位、150單位、80單位的三種資源,實際上最後得到的並沒有那麼多資源,因為有一部分實際上是投入在生產中的。

所以我們實際上真正得到的淨收益,就實際上真正得到的資源,是X減掉CX,是我們想生產的東西減掉我們投入的東西,我們想生產的資源減掉我們投入的資源,才是我們最後實際上獲得的資源,你可以把它存起來的資源。

那實際上我們可以存起來的資源是多少呢?就是100、150、80減掉48、96、53,得到的結果,就淨收益的這個vector,我們叫做demand vector。

好,但是我們真正在意的其實是demand vector,也就是說我們真正在意的是我們的淨收益是多少,而不是想生產多少。

所以在劣勢值的時候,你會劣成這樣,或者說你在面對一個問題的時候,你面對的問題是這個樣子的。

如果我們今天有一個consumption的matrix C,它長這個樣子,我們有一個demand vector長這個樣子,demand vector的意思就是說,我希望做完這個生產以後,我投入一些資源,也耗損一些資源,

最後做完這整個process,我最後實際上得到的淨產出是這麼多,三個資源分別要剩下食物90、黃金80、還有木材60。

那我到底實際上生產的目標應該定為多少呢?實際上生產的目標應該定為多少?

我必須要下指令說,我們到底要生產多少的三種資源,最後實際上才會得到這樣子的資源的量呢?

那你把式子列出來以後就長得像這樣子。當你定生產目標為X的時候,你會生產出X的資源,但是你會消耗C減X的資源。

你生產出X的資源,扣掉你消耗的C減X的資源,最後才是你的demand vector,也就是你的目標。

接下來解的問題就是,X的多少才能夠得到我們要的D呢?那你就做一下化減,做一下運算,你把identity matrix乘在X的左邊,所以不會影響這整個式子。

然後這邊是I乘上X,這邊減掉C乘上X,X是重複的,把X提出來,提到右邊去,所以我們知道說I減掉C這個matrix乘上X,會等於我們的demand vector。

接下來X要帶多少才會得到我們要的demand vector呢?我們知道說,這個式子可以被想成是AX乘以B,也就是說I減C就是你的matrix A,D就是你的vector B。

那A是多少?A是I減C,那你可以直接把這個式子列出來,長這個樣子。D是上面這個題目給你的90、80、60,那X呢?

X直接就可以算出來了嗎?對,其實你如果要算X的話呢,X就等於I減C的inverse乘上D。

好,算出來以後你就得到這個,喔,這個箭頭畫得不好,你就得到這個X。

那不過我們可以從這個inverse的這個matrix裡面學到一些事情,我們可以學到什麼樣的事情呢?

你可以,這邊你可以回答一個問題是,如果你想要提升一單位實物的淨產值,那需要多生產多少資源呢?你的目標需要增加多少才能夠提升一單位實物的淨產值呢?

那你可以這樣看,我們剛才已經知道說,X呢?等於I減C的inverse乘上D,D呢?是給定的。那我們現在要問的問題是,假設我們希望產生一單位實物的淨產值,也就是說我們現在的D呢?

變成D加上一個standard vector,變成D加上一個standard vector,D呢?加上E1,那這個時候呢?X呢?會有什麼樣的變化呢?X會增加多少呢?

你就把D加上E1帶進去試試看,然後呢?D加上E1以後,你可以把D跟E1呢?分別乘開,分別乘開,變成呢?

I減C的inverse乘上D加上I減C的inverse乘上E1,前面這項I減C的inverse乘上D就是我們原來的X,I減C的inverse乘上E1是多出來的部分,就如果我們要多生產一單位的實物,到底我要多用多少東西,多用的東西就是I減C的inverse乘上E1,I減C的inverse乘上E1是什麼呢?

I減C的inverse乘上E1就是後面這個matrix的,已經做完inverse的這個matrix的第一個column,對不對?我們說過說,把一個column乘上,把一個matrix乘上它的identity,不是identity,把一個matrix乘上它的standard vector,就得到那一個matrix的column,所以把I減C的inverse乘上standard vector,它就得到第一個column,對不對?

把I減C的inverse乘上standard vector,它就得到第一個column,乘上E1就得到第一個column,所以同樣的道理,我們現在知道說要多生產一單位的實物,我們需要多生產的資源,要多生產,要多得到一單位的實物,我們需要多生產出來的資源,就是這個inverse的matrix的第一個column。

那其他的資源呢,分別就是第二個column跟第三個column,所以從這個inverse的matrix就可以學到很多其他的事情,就可以知道說,如果要提升一單位實物的淨產值,需要多生產多少資源,那這個是一個matrix的資源。