好,我們來上課吧。

好,那我們上次講了什麼是matrix的inverse還有它的應用,然後接下來我們要問的問題是,什麼樣的matrix它有inverse?

那有inverse的matrix呢,我們說它是invertible的,也就是說按照matrix inverse的定義,我們說某一個matrix A呢,它是invertible的,

如果它滿足下面這個條件,如果你找得到一個matrix B,這個A跟B相乘等於identity matrix,而B跟A相乘也等於identity matrix,

那我們會說B是A的inverse,我們會說A呢,是invertible的,它是有inverse的,我們說它叫做invertible。

或是如果我們用圖示化的方法來描述它的話呢,你會這樣說,我們說每一個matrix其實就對應到一個linear的function,

每一個function呢,都有它的input domain跟code domain,那現在呢,你有一個function,它代表的matrix是A,

這右邊是它的input domain,左邊呢,是它的code domain,matrix A會把domain的東西呢,映射到code domain,

而A inverse會把A的code domain的東西呢,轉回原來的domain,今天假如你在A的input domain上面,

有一個vector叫做V,那它通過了A這個function以後,它通過A這個matrix,它跟A這個matrix相乘以後呢,

在code domain上會得到A乘上V,那A乘上V這個vector呢,再通過A inverse這個function以後,會變回原來domain上的V。

那這個圖示呢,想要表達的意思就是說,A乘上A的inverse,會是identity matrix。

那反過來說呢,也是一樣的,反過來說的意思是說,現在你在A的code domain上,找到一個vector叫做V,

這個V呢,乘上A的inverse,會在A的input domain上,找到一個vector叫做A inverse V,

A inverse V,那A inverse V呢,通過A這個function,你就會還原到原來A的code domain上的V。

也就是說,你在domain上找到一個V,通過A,再通過A inverse,會還原成原來的東西。

你在code domain上找到一個V,通過A inverse,通過A,會還原成原來一模一樣的東西。

好,那如果你的A,找得到一個這樣子的A inverse,我們說它是invertible。

接下來課本就告訴你說,如何知道一個matrix是invertible的呢?

Invertible這件事情,if and only if,下面這,我算一下到底有幾個,總共有十個式子。

如果A呢,是一個n by n的matrix,A是invertible的,if and only if,

如果下面這些乘數,下面這十個乘數,都跟invertible是equivalent的。

也就是如果今天的matrix是invertible的,它一定滿足這下面這十個乘數。

這下面這十個乘數,只要任何一個成立,那matrix A呢,就是invertible的。

這個寫在課本的第138頁是定理2.6,這邊有十條,你看了以後你就頭暈了。

搞不好你為了考試,你就會把這些定理寫下來,印在你的床頭,每天早晚誦念一遍,希望你可以把它記起來。

但是我們知道說,真正厲害的人,他是不被定理的,你可以真的去理解他。

等一下我們就試著解釋一下說,這十條式子到底應該要怎麼看待他。

因為他很多,所以等一下就先對他做一個分類。

講到理解這件事情,我就想到這個畫面,這個出自倚天屠龍記,這個是張三豐,這個是張無忌,這個是趙明,後面是阿大、阿二、阿三之類的。

張三豐就是要教張無忌太極劍,他就先使了一遍,張無忌說我已經忘記一半了,張三豐說這樣還不夠,他再使了一遍,張無忌說我只記得三招了,張三豐說這還不夠,他再使了一遍,張無忌就說我全部都忘記了。

所以真正厲害的人是會把那些定理全部都忘記的,你不需要把它放在你的床頭每天誦念。

在講,在理解這個定理之前,我們先來做一下複習,我們說function是one-to-one的是什麼意思呢?

如果今天你的input domain的object跟code domain的object,他們有一對一的關係,我們說他是one-to-one的,這個非常直覺。

所以有的人就會說,如果今天一個function是one-to-one的,那對code domain上的任何一個vector b來說,它都一定只會有一個解。

但你仔細想想,這個敘述其實是錯的,真正的說法應該是code domain上的每一個vector b,它最多只會有一個解,不是一定會有一個解,而是最多只會有一個解。

怎麼說呢?如果今天這個b落在range裡面,今天你把domain裡面的每一個東西,藍色範圍叫做domain裡面的每一個東西,都投影到code domain裡面,那它所形成的範圍叫做range。

在這個圖上的range是紅色這一塊,假設你的vector b落在range裡面的話,那它有solution,而且它只會有一個solution,因為這個function是一對一的。

因為這個function是一對一的關係,然後b落在range裡面的話,它的solution就是唯一的。但是如果今天b沒有落在range裡面,那它的solution就不是solution是否唯一的問題,而是它是沒有solution的。

好,那這個是one to one,因為one to one的function有什麼樣的特性呢?但我們今天只討論linear的function,所以這個one to one的function它背後其實是對應到一個matrix的。

如果一個function它的code domain比domain還要小,那麼它就不可能是one to one了。

怎麼說呢?假設你的code domain是比較小的,你的input domain是比較大的,舉例來說,假設你的input domain是三維,那你的code domain是二維,那你把三維的東西投影到二維上,

你把三維的東西通通都放到二維上,那你要把三維的東西都打扁,那就會有很多本來在三維裡面是不同的東西,在二維的時候通通被放在一起,通通被擠壓在一起。

所以這個時候就不可能是一對一的,不可能是one to one的。

好,所以我們知道說如果code domain比input domain還要小的話,就不可能是one to one的。

那衍生出來的定理就是說,我們知道說每一個function它背後都對應了一個matrix A,如果這個matrix A是矮胖型的matrix,那它的input domain就會比較大,它的code domain就會比較小。

如果是一個矮胖型的matrix,它對應的function就不可能是one to one的。

但是反過來說並不一定成立,如果input大,output小,那一定不可能是one to one,因為比較多的input它們會通通被擠壓在一起,所以它不可能是one to one。

但是今天反過來說,假設input小,比如說input是二維的空間,output比較大,code domain是三維的空間,也並不保證它一定是one to one的,它仍然有可能不是one to one的。

因為有可能你今天把二維的空間對應到三維的空間的時候,你是把所有的二維空間裡面的東西通通對應到三維空間中的某一個點。

你把二維的空間,比如說一張紙,揉成一團,放在三維的空間裡面,它是三維空間中的一個點,這個function不是one to one的,因為三維空間中的這個點可能對應到原來input domain中的很多不同的東西。

所以剛才這個敘述,就是如果code domain小,那一定不可能是one to one這個敘述,反過來說,不一定是成立的,就算是code domain比較大,也有可能不是one to one的。

好,那假設一個function它對的matrix是one to one的話,那這個matrix會有什麼樣的特性呢?這個matrix它的column會是independent的。

這個我們之前有說過說,因為one to one的matrix,它只有最多唯一解。那什麼樣的matrix,column有什麼樣的特性的時候會最多唯一解呢?當column是independent的時候,它最多會只有一個解。

所以一個one to one的matrix,它的column會有什麼樣的特性呢?它的column是independent的。這個其實都是我們之前講過的東西,只是再敘述一次而已。

好,那我們再來複習一下什麼是until。until的意思是說,假設你的range等於你的domain,那這個叫做until。你把input domain裡面的每一個option,把它投影到你的code domain,而你可以把整個code domain統統佔滿,那這個叫做until。

所以今天如果一個function它是until的話,那它會滿足下面這個敘述。如果一個function是until的話,那它永遠都會有解。你在code domain裡面呢,隨便找一個vector b,它都一定能夠在input domain裡面找到一個對應的solution。如果一個function是until的話,那它永遠都會有解。

那如果今天呢,你的code domain比較大,而你的input domain比較小,假設你的code domain是三維的,假設你的input domain是二維的,那這個function f呢,它就不可能,假設code domain比較大的話,那function f呢,它就不可能是until的。

那這個也非常的直覺,如果input小,二維的東西,一張紙,你不管怎麼把那張紙試著攤平,試著擺放,它都不可能佔滿整個三維的空間。所以input domain小,code domain大,那這個function不可能是until的。

那如果一個matrix,如果這個function所對應的matrix是高受形的,代表說呢,它的這個input domain比較小,output domain比較大,那它就不可能是until的。

但同樣的,反過來說,未必是成立的。就算是你的input domain比較大,比如說三維,output domain比較小,比如說是二維,你仍然可以說,你把三維空間中的所有的input通通投影到二維空間中的某一個點,那這個function就不是until的。

因為它只有佔滿整個二維空間,它佔了二維空間中的一個點,它就不是until的。所以,反過來說,不一定成立。

我們剛才說,如果code domain比較大的話,那它不可能是until的。但反過來說,就算是code domain比較小,也沒有辦法保證說這個function一定是until的。

那如果今天某一個function它對應的matrix是until的,那它滿足什麼樣的性質呢?如果某一個function是until的,代表它永遠都會有解。

那怎麼樣讓一個matrix對應的function永遠都會有解呢?我們說,如果這一個matrix它對應的reduced row hrefl,沒有zero的row,這個是我們上週五講的東西,如果沒有zero的row,那它一定會有solution。

那沒有zero的row又告訴我們什麼事呢?我們知道說,這個nonzero的row的數目就等於rank的數目。

那今天因為沒有zero的row,所有的row都是nonzero的。所以,如果一個matrix A是until的話,那我們知道說,它的這個matrix A的rank會跟row的數目是一樣的。

那這邊就是複習一下until跟one-to-one的種種特性。

好,那今天假設一個matrix它是invertible的,這告訴我們什麼事呢?這告訴我們說,這一個matrix它所對應的function,它既是until,也是one-to-one。

怎麼說呢?今天我們說,從A的input domain裡面選一個object,把它投影到,把它映射到code domain,一定可以還原成原來一模一樣的東西。

這代表什麼?這代表matrix A它是one-to-one的,因為它是一對一的,所以你從input domain把它對應到code domain,它才能夠找到原來的東西。

如果它不是一對一的,有兩個不同的input domain上的東西,都可以對應到code domain的同一個vector,那你還原回來,就會不知道要還原變成誰,你還原回來就沒有辦法還原成原來的東西。

所以,如果今天一個matrix是invertible的,它對應的function是one-to-one。再來,其實一個matrix如果是invertible的,它對應的function同時也是until的。

怎麼說呢?我們說,在code domain上隨便選一個vector,對應到原來的domain上,都可以還原回來。如果今天A不是until的,不是until的意味著什麼?代表它的range小於code domain。

你今天在A上面找一個vector,它所涵蓋的範圍,你把input domain上所有的vector透過A對應到code domain,它所涵蓋的範圍是小於code domain的,它的range並不等於code domain,它的range是小於code domain的。

這個時候,你就有可能說,你選一個vector,它不在這個range裡面,透過A-inverse,你根本就不可能把它對應到domain上的任何點。

把domain上的這些點通過A做映射以後,它一定落在這個range的範圍內。如果今天這件事情發生的話,今天如果B沒有落在這個range範圍內,它通過A-inverse就沒有辦法對應到原來input的domain。

所以今天如果invertible這件事要成立的話,那A它一定要是untrue的。

所以今天這邊複習了一下one-to-one跟untrue以後,告訴我們一個很重要的訊息就是,如果一個matrix A它是invertible的,這告訴我們說它對應的function一定同時是one-to-one,同時又是untrue的。

那如果一個function它同時是one-to-one,同時又是untrue的,會發生什麼事情呢?

如果一個function它同時是one-to-one,同時又是untrue的,那代表說input domain跟code domain它們會是一樣大的。如果你input是二維的空間,output的code domain一定要是二維的空間,這樣你的function才有可能既是one-to-one又同時是untrue的。

如果今天input domain跟code domain它們的大小是一樣的,那意味著什麼呢?意味著它這個function所對應的matrix它是正方形的,它一定是square,如果input domain跟code domain是一樣的話,代表說這個matrix它是square。

所以我們之前就有說過說,一個invertible的matrix它一定是square,如果一個matrix它不是square的,我們根本就不討論它是不是invertible的case。

好,那接下來呢,假設一個matrix它是square的,那one-to-one跟untrue這件事情會同時成立。假設一個matrix是square的,它如果是one-to-one的話,那它就會是untrue。如果它是untrue的話,就會保證它一定是one-to-one。

也就是說,假設一個matrix是成立的,那one-to-one跟untrue這兩個特質要嘛就同時成立,要嘛就都不成立。

這件事情其實非常的直覺,假設我們說input domain上的東西是個蘿蔔,code domain上試著畫一個蘿蔔,code domain上的東西是個坑。那one-to-one加untrue是什麼意思呢?

它就是一個蘿蔔一個坑的意思。那one-to-one的意思就是說,每一個蘿蔔它只能夠放到一個坑裡面,然後untrue的意思就是說,所有的坑裡面都有放蘿蔔。

那每一個蘿蔔都只能夠放到一個坑裡面,然後所有的坑裡面都有放蘿蔔,意味著說蘿蔔的數目跟坑的數目一定是一樣多的,這樣你才能夠把所有的蘿蔔通通放到坑裡面。

所以今天呢,如果一個function要同時是one-to-one跟untrue的,那它的input domain跟output domain一定要一樣大,也就是蘿蔔跟坑的數目一定要是一樣多的。

那假設今天蘿蔔跟坑的數目一定是要一樣多的,那one-to-one跟untrue只要一走成立,另外一個就會成立。假設蘿蔔跟坑的數目是一樣多的,一個蘿蔔只能放一個坑,那就代表說所有的坑都已經被放滿了,untrue就是所有的坑都已經被放滿了。

反過來說呢,如果今天所有的坑都被放滿了,而蘿蔔跟坑的數目是一樣多的,代表說一個坑只能夠放一個蘿蔔。

所以今天我們這邊這個投影片學到的事情是說,如果今天一個matrix它是square的,如果input domain跟output domain是一樣大的,那untrue跟one-to-one它們會同時成立。

好,那有了這些以後呢,你就可以用分類,你就可以對剛才那十個在課本上提到的A是invertible的條件進行分類。

也就是說,今天你要確認一個matrix A,我們現在只討論square的matrix,你要確認一個square的matrix它是不是invertible的,其實你只要檢查untrue跟one-to-one的其中一個性質,你只要檢查其中一個性質,另外一個性質自動就會成立,untrue跟one-to-one兩者都同時成立的話,那這一個matrix就會是invertible。

那假設你從untrue來看,假設你想要檢查一個matrix是不是untrue的,你只要檢查untrue這件事就好,因為你檢查untrue以後,one-to-one自動就會成立,untrue跟one-to-one成立就會是invertible,所以你只需要檢查說它是不是untrue。

如果你今天要檢查它是不是untrue的話,那你可以用下面這三個陳述來檢查一個matrix是不是untrue。第一個陳述,也許我覺得最直覺的陳述是中間這一個。

如果今天對Rn,Rn是你的code domain,那其實也同時是input domain,因為今天你的matrix是n乘以n的,所以它的code domain跟input domain是一樣大的。

今天對你的code domain裡面的每一個vector b,你都一定找得到一個solution使得AX等於B,不管是對什麼樣的vector b,AX等於B都是consistent的,你都一定找得到solution。

代表說A這個function它是untrue的,它就是invertible的。其他敘述其實意思是一樣的,今天對任何B都有solution,等同於什麼?

等同於A這個matrix的column,它可以span整個Rn。matrix A的column,它做linear combination以後,可以組出Rn這個space裡面的,可以組出Rn空間中的任何一個vector。

我們說A的column,它spanRn。下面這一個是第三個乘數,也是equivalent的。如果AX等於B,永遠都要有解的話,代表A的reduced row echelon form,它沒有zero row。

如果沒有zero row,所有的row都不是zero row的話,代表你的matrix A的rank會等於row的數目。

所以下面這三個乘數是為了檢查說一個matrix它所對應的function是不是untrue的。檢查完這件事情,你就知道它是不是invertible的。

你可以檢查untrue,你也可以檢查1 to 1。檢查完1 to 1以後,你就不需要檢查它是不是untrue,因為檢查完1 to 1以後,對一個n乘以n的matrix來說,它自動就是invertible。

有哪些乘數等同於一個matrix對應的function是1 to 1的呢?如果今天一個matrix它的column都是linear independent的話,那它是1 to 1。

因為我們知道1 to 1的function它是自多一解。什麼樣的matrix它對應的function自多一解呢?如果這個matrix的column都是linear independent的話,它對應的function就是自多一解。

如果今天一個matrix它的column都是independent的話,那等同於什麼事呢?等同於這個matrix它的rank跟column的數目是一樣多的。

這個怎麼來?這個就是rank的定義,我們說rank的定義就是你可以找到多少的independent的column,這個數值就是rank。

那今天既然matrix A它所有的column都是independent的,那rank的數目就等於column的數目。

接下來,nullity等於0,也等同於一個function是1 to 1的。為什麼?因為按照nullity的定義,nullity的定義就是column減掉rank。

如果今天rank等於column的數目,那nullity就等於0,這是根據nullity的定義來的。如果今天一個1 to 1的function它會有什麼樣的特性呢?

一個1 to 1的function,它唯一的,ax等於0,這個homogeneous的equation,它的唯一的解是zero vector。這個東西怎麼來?你可以說這個東西它其實就是第一個乘數的定義,按照independent這一個詞彙的定義。

independent這個詞彙的定義的意思就是說,你今天如果要做linear combination,使所有的column都等於0的話,唯一能夠做到的這件事的coefficient是,通通都是0,才能夠做到讓它的linear combination等於0。

這件事情就等同於下面這個敘述,唯一能夠讓ax等於0的solution就是zero vector。所以剛才講的等同於invertible的敘述,其實可以分成兩類。

一類是檢查是不是1 to 1,另外一類是檢查是不是1 to 1,就是讓你在理解那些式子的時候比較方便一點,讓你在理解那些拿來檢測invertible的乘數的時候比較方便一點。

那些乘數可以分成兩類,一類是檢查是不是1 to 1,另外一類是檢查它是不是1 to 1。

那檢查是不是1 to 1的乘數,其實還有一個,我們說如果今天A的所有的column都是independent的,那它的reduced row hlfoam一定長什麼樣子呢?

我們說如果所有的column都是independent的,它的reduced row hlfoam一定上半部是一個identity的matrix,下半部是zero的row。

那因為今天matrix A它是方形的,所以你根本不需要下面的zero的row,如果今天matrix A是方形的,所有的column又是linear independent的話,那它的reduced row hlfoam一定是identity的matrix。

那所以現在我們有一堆乘數檢查是不是untrue,我們有一堆乘數檢查是不是1 to 1。那檢查1 to 1跟untrue的其中一者,我們就可以知道一個matrix是不是invertible。

另外在這個untrue跟1 to 1的兩組乘數裡面,其實有一個乘數是重複的,哪一個乘數是重複的呢?今天因為A的rank等於row的數目,而row的數目等於n,所以A的rank等於n,同時A的rank又等於column的數目,而column的數目等於n,所以A的rank等於n。

所以我們其實只要檢查A的rank是不是等於n,就可以知道說它是不是invertible的。

好,那如果你要檢查一個matrix是不是invertible的話,也許最簡單的方式是直接找出它的reduced row hlfoam,看看它的reduced row hlfoam是不是identity的。因為剛才我們講了很多很多的乘數,它可以拿來檢查一個matrix是不是invertible的。

但其實大多數的乘數,你要檢查它的時候,你都需要找reduced row hlfoam。

舉例來說,有一個matrixA,它的column是不是independent的,你除了用眼睛看以外,也許找它的reduced row hlfoam,看reduced row hlfoam以後,它的column是不是independent的,是你會常用的方式。

所以其實多數的這些乘數,你在檢查的時候,你都需要用到reduced row hlfoam。而其實reduced row hlfoam是identity的,就直接保證說一個matrix是invertible的。

所以如果你要知道一個matrix是不是invertible的,也許直接check它的reduced row hlfoam是最直覺的方法。

所以今天假設問你說,一個matrixA,這個matrixA它是3乘以3的matrix,它是不是invertible的,那你怎麼知道它是不是invertible的呢?找一下它的reduced row hlfoam。

如果找出來,它的reduced row hlfoam是identity matrix,那它就是invertible。

如果給你另外一個3乘以3的matrix,你算它的reduced row hlfoam,發現說它不是identity的matrix,identity matrix它的對角線都是要1,其他地方都是要0,所以它不是identity的matrix,那它就不是invertible。

所以在實際的操作上,要檢查一個matrix是不是invertible的時候,也許算它的reduced row hlfoam是最常見的做法。

好,那這個就是課本有關A是不是invertible的十個乘數,我們現在已經講了其中的七個,那在這些乘數裡面的前三個,它是檢查是不是untrue,在第三個到第七個,它是檢查它是不是1 to 1。

而這兩組乘數裡面有一個是重疊的,這個重疊是A的rank等於n,則它一定是invertible的,A的rank等於n這件事情跟A是不是invertible這件事情,它們是equivalent的。

為什麼會這樣子呢?因為我們在檢查untrue的時候,會check說rank的數目是不是等於row,我們在檢查1 to 1的數目的時候,我們會check說rank的數目會不會等於column,而正好今天因為A是n by n的matrix,所以它rank的數目等於column的數目等於n。

所以你只要檢查A的rank是不是n,就可以知道它是不是untrue,或者它是不是1 to 1。

接下來,最後我們只剩下三個乘數還沒有檢查。第八個乘數,它用到了elementary的matrix,這個是我們等一下會講的。接下來,我們就是來證一下第九個乘數跟第十個乘數。

如果A是invertible的matrix,若且為若,if and only if,我們找得到一個matrix B,B跟A相乘,是identity的matrix。

這件事情從左邊推到右邊是顯然成立的,因為按照invertible的定義,你本來就能夠找到一個matrix,這個matrix就是A的inverse,所以B等於A的inverse,它乘在A的左邊,會是identity的。

但是反過來就沒有那麼直覺,因為今天你在對A這個matrix而言,你找得到一個B,放在它的左邊,跟它在左邊進行相乘,你把一個B乘在A的左邊,會得到identity的matrix。

並不代表你找得到另外一個matrix,乘在它的右邊,會等於identity的matrix。你想一下這個invertible的定義,是A的inverse,跟A的inverse乘以A,都要是identity的。

從左邊推到右邊是沒有問題的,但是從右邊推到左邊,其實你是需要想一想的。AB等於identity,並不代表B乘以A等於identity,並不代表A乘以B也等於identity。

所以這邊我們要打一個問號。如果A乘以B是identity,B乘以A也是identity,那從右邊推到左邊就沒有問題,因為這是invertible的定義,但是我們現在不確定A乘以B是不是identity。

那這個東西要怎麼證明呢?我猜應該是有很多不同的證法,那這邊就是提供給大家一個證明的方法。我們知道說A是不是invertible的,等同於A是不是invertible的,if and only if Ax等於0這個homogeneous equation,它唯一的solution是zero vector。

我們剛才在前面的課程裡面,我們已經知道了這件事。所以如果我們可以證明說,只要找得到一個matrix B,B乘以A是identity,保證推得綠色這個方塊裡面的敘述,那就沒有問題,因為綠色方塊裡面的敘述跟紅色方塊裡面的敘述是等價的。

所以只要能夠從藍色這個方塊推到綠色這個方塊,就可以從藍色這個方塊推到紅色這個方塊。那怎麼證明呢?你可以這樣說,我們現在的前提是找得到一個B,B跟A相乘以後等於identity matrix。

我們現在想要推導出來的結果是,如果這件事情成立,則Ax等於0唯一的solution是zero vector。那這邊你可以用反證法,先假設一個錯誤的結論,再看看會不會造成矛盾。

現在我們假設說,我們找得到一個V,這個V它不等於0,而可以使得A乘上V等於0,然後B乘上A等於identity這一個前提又是真的的話,那會造成矛盾的情況。

那AV等於identity,我們可以在這個式子的左右兩邊都乘上vector V。所以你把AB乘上vector V,你把identity matrix乘上vector V。

但我們又知道說A乘上V會等於zero的vector,A乘上V等於zero的vector,所以B乘上A乘上V就等於zero的vector。那右邊呢,identity matrix乘上V等於V,那我們又說V不等於0,但是下面這個式子卻告訴我們說V會等於0,那這樣子就造成了矛盾。

所以呢,今天呢,我們就可以從藍色的這個block推到綠色這個block,所以藍色這個block保證綠色這個block的這個乘數,這件事情就是成立的。

好,那這個就是證了第九個敘述,然後接下來是最後一個敘述,最後一個敘述是說,今天如果A是invertible的,它跟找得到一個matrix C,A跟C相乘等於identity這件事情是等價的。

那一樣,從左邊推到右邊是trivial的,因為這個根本就是invertible的定義,但是我們不確定從右邊推到左邊是不是對的。

那這件事怎麼證明呢?我們現在已經知道說invertible這件事情跟藍色的框框裡面的敘述是等價的。我們知道說,如果一個matrix是invertible,那if and only if,對所有的B來說,AX等於B這個式子,它是consistent的,它一定都會有解的。

那我們只要可以從藍色框框裡面的敘述,把藍色框框裡面的敘述作為前提可以得到綠色框框裡面的結論的話,那我們就可以保證,如果藍色框框裡面的前提成立的話,那matrix A就會是invertible的。

那這個東西怎麼證呢?我們現在的前提是A跟C相乘會等於identity matrix,A跟C相乘等於identity matrix,能不能夠保證我們說任何的vector B它跟A相乘,任何一個vector B,AX等於B一定都會有solution呢?

其實可以的,你只要把A跟C相乘等於identity matrix這個式子,左右兩邊都乘上B,左右兩邊都乘上B,就結束了。

我們現在知道說,A乘上C乘上B會等於vector B,接下來我們說,我們想要知道AX等於B是不是一定會有解的,那你就把C乘上B換成X,

然後你一秒鐘就可以看出來說,C乘上B永遠是B的解,對任何一個vector B來說,我們現在想要知道說它是不是一定會有解的,那你不用懷疑它一定會有解,它的解就是C乘上B,結束。

所以我們現在知道說,matrix A是不是invertible的,if and only if,下面這兩個前提的其中一者成立就好了。

如果你找得到一個matrix B跟A相乘是identity的,或者是你找得到一個matrix C,A乘上C是identity的,那A if and only if,它一定是invertible的。

所以這邊給我們講了一個很有趣的事情,就是說,在原來的invertible的定義裡面,你記得原來invertible的定義是說,A乘上A inverse是identity的,而且A inverse乘上A也必須是identity的。

但是事實上你不需要,如果今天這個matrix A,你已經知道說它一定是square的,事實上你並不需要兩個相乘的方向都考慮,讓大家了解我的意思嗎?

你不需要兩個相乘的方向都考慮,你只要找得到一個matrix B,它跟A相乘是identity的,或者是找得到一個C,A乘上C是identity的,只要找得到一個matrix,不管它是乘在左邊會變identity,還是乘在右邊會變identity,matrix A都是invertible。

那這樣看起來原來的定義,就是A乘上A inverse,且A inverse乘上A,兩個方向相乘都是identity這個定義,看起來是有點多餘的,但是實際上它又沒有那麼多餘,怎麼說呢?

因為它其實在那個敘述裡面,它並沒有說matrix A一定要是n x n的,如果今天matrix A不見得不是n x n的,它不是正方形的,你有可能找得到說一個matrix B乘上A,它是identity matrix,但是反過來就不一定會成立。

但是如果一個matrix它是正方形的,它是square matrix,你只要找得到一邊乘上matrix A是identity,另外一邊也自然就會成立了。