好,假如這邊大家有問題要問的嗎?

好,如果沒有問題要問的話呢,接下來我們要講一下,我們稍微講一下elementary的matrix在下課。

好,那接下來呢,我們今天到目前為止,我們已經講了什麼是matrix的inverse,又告訴你說一個invertible的matrix有什麼樣的性質。

那接下來我們要講的是,如何真的找出matrix的inverse,給你一個matrix,你不只要知道說它是不是invertible的,還要把它的inverse給算出來。

好,那在講說給你一個general的,隨便給你一個matrix怎麼算它的inverse之前,我們先講我們怎麼算某種特別的matrix,這種matrix叫做elementary的matrix它的inverse。

好,我們先來講什麼是elementary的matrix,之前在講這個reduce row h2o form的時候,我們講過一種操作叫做elementary的row operation,我們講過一種操作叫做elementary的row operation。

那我們說elementary的row operation,總共有三種操作,一種是把row進行交換,一種是把row乘上一個scalar,最後一種是把某一個row乘上k back,把第二個row乘上k back,然後加給這一個row。

那事實上這些elementary的row operation,它們都可以表示成一個matrix,也就是說你想要把ABCD這一個matrix做interchange這件事,做row交換這件事,你其實可以把這件事情想成是乘上一個特別的matrix。

你把ABCD這個matrix乘上0110這個matrix,你就會發現說它的兩個row被交換了,變成cdab這個matrix。

那同理呢,對scaling這件事情來說也是一樣,你把ABCD這個matrix,它的第二個row做scaling乘上k back,等同於你把ABCD這個matrix乘上一個特別的matrix100k,你把ABCD這個matrix乘上100k,你就可以把第二個row乘上k back。

那如果我們現在要把第一個row乘上k back,加到第二個row的話,怎麼做呢?你就把它乘上10k1這個matrix,你把ABCD這個matrix乘上10k1這個matrix,你就可以把第一個row乘上k back,加到第二個row。

所以這個投影片想要告訴大家的事情是,elementary的row operation那三種操作,其實可以表示成matrix的相乘。

好,那這些可以拿來做elementary row operation的matrix,它們就叫做elementary的matrix。

接下來會告訴大家就是說,elementary的matrix,你可以一秒鐘就看出它的inverse長什麼樣子。

好,那我們在這邊下課休息十分鐘。

有一些matrix叫做elementary的matrix,把這些elementary的matrix拿去跟另外一個matrix做相乘,你就可以做elementary的row operation。

接下來的問題是,假設我給你一個指定的elementary row operation,你能不能夠寫出它的elementary的matrix呢?

假設我告訴你說有一個elementary的row operation,這個elementary的row operation就是把第一個row跟第二個row做交換。

那把第一個row跟第二個row交換的這一個elementary的row operation對應的elementary matrix,你能不能夠一秒鐘就把它寫出來呢?

那其實是很容易的。我們說elementary matrix的作用就是,假設你今天有一個elementary matrix叫做1,1的作用是把第一個row跟第二個row進行交換。

那你把1這個matrix跟任何一個matrix相乘,它就會把第一個row跟第二個row進行交換。

不管乘哪一個matrix,它都會把第一個row跟第二個row進行交換。

那你想要知道1長什麼樣子,怎麼做呢?你就把1拿去跟identity matrix進行相乘。

雖然你還不知道1長什麼樣子,但你知道1所造成的結果就是把第一個row跟第二個row進行交換。

所以你把1乘上identity matrix以後,identity matrix的第一個row跟第二個row就交換了。

第一個row跑到第二個row,第二個row跑到第一個row,第一個row跟第二個row就交換了。

好,那我們又知道說identity matrix乘上任何matrix都不會改變原來的matrix。

所以identity matrix乘上elementary的matrix1得到的結果仍然是1。

所以這就告訴我們說elementary matrix1長什麼樣子,它的長相就是把identity matrix的第一個row跟第二個row進行交換。

所以我們今天學到什麼事?我們今天學到說,假設你想要知道一個elementary的matrix長什麼樣子,

那你就把一個identity matrix拿出來,然後做你想要那個elementary matrix做的操作,就結束了。

舉例來說,你今天想要有一個elementary matrix,它的功用是把第二個row跟第三個row進行交換。

那這個elementary matrix長什麼樣子呢?它就是把identity matrix的第二個row跟第三個row進行交換,就結束了。

它就是可以把第二個row跟第三個row進行交換的elementary matrix。

假設你今天想要把第二個row乘上負四,那怎麼辦呢?

你就把identity matrix拿出來,把它的第二個row乘上負四,你就得到一個可以把第二個row乘上負四的elementary matrix。

假設你現在想要把第一個row乘兩倍加到第三個row,那你就把identity matrix拿出來,

把第一個row乘兩倍加到第三個row,把第一個row乘兩倍加到第三個row,

那你就得到一個可以把第一個row乘兩倍加到第三個row的elementary matrix。

所以我們現在知道說,給你一個elementary row operation,你可以輕易地找出一個對應的elementary matrix。

那現在呢,如果我們把elementary matrix E1,它可以把第二個row和第三個row交換,跟A相乘,

那你就把A的第二個row和第三個row交換。你今天如果把E2,它可以把第二個row乘負四倍跟A相乘,

那你就是把第二個row乘負四倍。E3,它可以把第一個row乘兩倍加到第三個row,

那它跟A相乘,就是把A的第一個row乘兩倍加到第三個row,就這麼簡單。

好,那接下來要告訴大家的是,這些elementary matrix,你可以輕易地找出它的inverse。

每一個elementary matrix,它的inverse是什麼呢?

就是那個elementary matrix所對應的operation的逆向操作。

什麼意思?我們說E1,它做的事情是把第二個row跟第三個row進行交換。

那你今天如果要找E1的inverse的話,E1的inverse,它做的操作是什麼呢?

E1的inverse,它做的操作就是把第二行,第二個row跟第三個row再交換一次。

這樣大家可以了解嗎?如果你今天把第二個row跟第三個row進行交換,

你再把第二個row跟第三個row再做一次交換,那你會得到原來的matrix。

或者是說,我們知道說E1的inverse,它要成為E1的inverse,

它的特性就是它跟E1做相乘以後,會是identity的matrix。

如果你要對E1這個matrix做一個elementary的row operation,把它變成identity的matrix,你會怎麼做呢?

你是不是就把第二個row跟第三個row再進行交換,第二個row跟第三個row進行交換,那E1就變成一個identity matrix。

那E1這個matrix要做什麼樣的operation,要成什麼樣的elementary的matrix,可以把第二個row跟第三個row交換呢?

就是你要得到這個把第二個row跟第三個row交換的matrix,你就是把identity matrix的第二個row跟第三個row進行交換,

你就會得到這個可以把第二個row跟第三個row進行交換的elementary matrix。

所以E1乘上E1的inverse,會等於identity。

所以今天給你一個elementary的matrix,你只要知道這個elementary matrix它做operation是什麼,你就可以找到一個逆向的operation。

這個逆向的operation所對應的elementary matrix就是它的inverse。

我們再舉另外一個例子,如果今天你有一個elementary matrix E2,它的工作就是把第二個row乘上負四倍。

假設你已經把一個matrix的第二個row乘上負四倍,那你怎麼把它還原呢?

你就是把第二個row乘上負四分之一倍,就可以把本來乘負四倍這件事情還原回原來的樣子。

那把第二個row乘上負四分之一倍的elementary matrix長什麼樣子呢?

它就是把identity matrix的第二個row乘上負四分之一倍。

那把第二個row乘上負四分之一倍對應的elementary matrix E2的inverse,

會是把第二個row乘上負四倍的elementary matrix E2的inverse。

那我們再舉最後一個例子,今天我們知道把第二個row乘上兩倍加到第三個row的elementary matrix長什麼樣子。

那如果我們要把第一個row乘上兩倍加到第三個row這件事情還原,那我們會怎麼做呢?

我們就把第一個row乘上負二倍再加給第三個row。

本來是把第一個row乘上兩倍加給第三個row,要把它還原就把它乘上負二倍再加給第三個row。

那把第一個row乘上負二倍再加給第三個row的elementary matrix,你可以輕易的寫出來,

你就是把identity matrix的第一個row乘上負二倍加給第三個row。

那你就得到一個elementary matrix,它的工作是什麼?

它的工作就是把第一個row乘上負二倍加給第三個row。

而這個elementary matrix它會是左邊這一個把第一個row乘上兩倍加給第三個row的elementary matrix的inverse。

那所以這一個投影片想要告訴大家的事情是說,每一個elementary matrix你其實用想的就可以輕易的找出它的inverse。

所以每一個elementary matrix它都是invertible的,你可以用想的就可以找得出它的inverse。

好,那接下來呢,我們什麼時候教過elementary row operation呢?

是在講reduce row echelon form的時候。

我們說把一個matrix A做完一連串的elementary row operation,它就會得到它的reduce row echelon form R。

現在我們可以把做一連串elementary row operation這個乘數換句話說,怎麼換句話說呢?

它的換句話說就是,把matrix A乘上一連串的elementary matrix,每一個elementary matrix就代表做了一次elementary row operation,最後會得到A的reduce row echelon form,也就是R。

所以我們可以說,每一個matrix A跟它的reduce row echelon form R之間有這樣子一個關係。

每一個matrix A它都可以乘上某一個matrix P,這個matrix P它其實是invertible的,它會得到matrix A的reduce row echelon form這邊的寫作R。

怎麼說呢?因為我們現在已經知道說,A乘上一連串的elementary matrix會得到reduce row echelon form。

我們就把這一連串的elementary matrix乘起來,然後說它叫做P,這個P它乘上A以後就會得到reduce row echelon form R,這個P就是Ek乘Ek-1是一直乘到E2,乘到E1就是P。

這個P有什麼樣的特性呢?它的特性是它是invertible,怎麼知道P是invertible的呢?不需證明,不需要檢查說它有沒有invertible matrix的那些種種特性。

因為我們現在已經知道說,所有的elementary matrix它都是invertible的,所有的elementary matrix,你只要一眼就可以看出它的inverse是什麼,它們都是invertible的。

我們之前講過說,把一堆invertible的matrix相乘,仍然是invertible的,現在你有一堆invertible的matrix E1到Ek,你把它們相乘,所以得到的P它仍然是invertible的。

那它的inverse長什麼樣子呢?P的inverse長什麼樣子呢?這個我們之前也講過了,你把Ek一直乘到E1,它的inverse就是E1的inverse乘E2的inverse一直乘到Ek的inverse。

所以不信的話,你就把這個東西跟這個東西相乘,你就會發現說它得到的是一個identity matrix。

好,所以我們今天學到說,把一個matrix做reduce row echelon form,其實你做的事情就是把這個matrix乘上一個invertible的matrix。

好,那剛才在講invertible的時候,我們還有一個跟invertible等價的敘述,我們還沒有討論到。

我們說,如果一個matrix是invertible的,那if and only if,這個matrix會是一堆elementary matrix的相乘。

這件事情怎麼來呢?我們現在已經知道一個matrix A跟它的reduce row echelon form之間的關係,就是乘上一個invertible的matrix P。

那我們又知道說,假設一個matrix是invertible的,那它的reduce row echelon form一定會是identity matrix。

假設一個matrix A是invertible的,它的reduce row echelon form一定會是identity matrix。

那我們就知道說,把A乘上一連串的elementary row operation,你可以把它變成identity matrix,也就是它的reduce row echelon form。

那我們就可以寫說,這個A它等於什麼呢?你就把這個EK的inverse乘在這個式子的左邊。

我們把EK的inverse寫出來,其實沒有那麼好寫,因為它有上標又有下標,把EK的inverse寫出來,把它乘在左邊又乘在右邊。

這樣子你就可以把EK跟EK的inverse把它消掉,這邊左邊乘上EK的inverse,右邊乘上EK的inverse,你就可以把EK消掉。

接下來你再乘上EK-1,再乘上EK-2的inverse,以此類推,最後你就會發現說,matrix A等於identity matrix乘上EK的inverse,乘上EK-1的inverse,乘上E2的inverse,乘上E1的inverse。

所以我們發現,A是一堆elementary matrix的inverse的相乘,那elementary matrix的inverse,它其實仍然是elementary matrix。

我們剛才有講過說,每一個elementary matrix的inverse怎麼來,你用肉眼就可以看出來。

比如說,某一個elementary的matrix是把第二行和第三行做對調,那它的inverse也就是把第二行和第三行做對調,所以每一個elementary matrix它的inverse也是elementary matrix。

所以這邊的E1-inverse到EK-inverse,它們也都是elementary matrix,所以我們就可以說,matrix A如果它是invertible的話,保證它的reduced row echelon form是identity,那就保證說它是一堆elementary matrix的相乘。

所以我們就得到這個結論。

這個結論有什麼用呢?在乍看之下沒有特別有趣,就有點無聊這樣。

但是它的作用是在於接下來,它會幫助我們找出general的matrix,就隨便給你一個matrix,它的inverse長什麼樣子。

好,那接下來我們要講的就是說,剛才講的就是說,給你elementary matrix,你可以找出它的inverse。

接下來我們就要講的是,隨便給你一個matrix,你怎麼找出它的inverse呢?

好,那我們先來看一下,如果是一個2x2的matrix,你怎麼找它的inverse?

如果一個2x2的matrix,你要找它的inverse,你是可以硬解的。怎麼硬解?

你就說,有一個matrixA叫做ABCD,它是一個2x2的matrix,我現在要找它的inverse,它的inverse裡面有四個element,我們寫作EFGH。

ABCD是已知的,EFGH是未知的,我們要把它找出來。

那怎麼找呢?我們知道說Ainverse的定義就是Ainverse跟A相乘等於identity matrix,

所以ABCD這個matrix乘上EFGH這個matrix,你要得到identity matrix。

接下來你就列出四個式子,把A乘上E加上B乘上G要等於1,

把這個CD跟FH做inner product,也就是C乘上F加上D乘上H,要等於什麼?要等於0。

以此類推,你總共可以列出四個式子,四個未知數,接下來就是硬解一發,你會得到說Ainverse長這樣。

公式解你可以背下來,如果有人問你2x2的matrix,它的inverse長什麼樣子,直接套下面這個公式,你就知道說Ainverse長什麼樣子。

好,那這個是2x2的case,那如果matrix比較大,3x3也是有公式,也是有某些人記得,

但4x4我相信就沒有人記得它的公式長什麼樣子,它很複雜,所以沒有人會去手算那個東西。

那所以怎麼辦?我們需要一個更有效的方法來找出A的inverse,怎麼做呢?

就用我們剛才學到的,我們剛才學到說,如果一個matrix A它是invertible的,那if and only if它的reduced row HL4一定是identity,

而且它這個matrix A一定是一堆elementary matrix的相乘。

好,那我們就用這個性質,我們就可以找出算出A的inverse,我們知道說某一個matrix A它乘上一堆elementary matrix以後,

會得到它的reduced row HL4R,我們又知道說假設A是invertible的,那它的reduced row HL4一定是identity matrix。

那這告訴我們什麼?這告訴我們說,這個式子裡面就已經給了我們Ainverse了,因為今天這一堆elementary的matrix相乘,

在乘上A以後,會得到A的reduced row HL4也就是identity matrix,這意味著這些elementary的matrix相乘它就是A的inverse,

這是按照A的inverse的定義來的,所以我們知道A的inverse就是這些elementary matrix相乘。

接下來要做的事情是什麼?接下來要做的事情就是,找出這些elementary matrix把它乘起來,你就知道A的inverse長什麼樣子了。

所以比較直覺的做法就是,如果你今天要知道一個matrix A是不是它的inverse長什麼樣子,那你就去找它的reduced row HL4,

那在找reduced row HL4的過程中,你把每一個elementary的operation,elementary的row operation統統記錄下來,把每一個elementary的row operation,它的elementary的matrix統統寫下來,

再相乘,就得到A的inverse了,結束,就概念上你要做的就是這件事。

但剛才那個步驟聽起來有點複雜,所以你其實有一個更簡潔的方法來做這件事,怎麼做這件事呢?

以下的操作跟我剛才要講的那個乘數是一模一樣的,只是用一個比較簡潔的方式來表示它。

那如果等一下操作你聽不懂的話,你就記得說要找matrix A的inverse,你就做reduced row HL4,看中間你用到了什麼樣的elementary的operation,把這些operation的matrix統統乘起來,就是A的inverse。

好,那這個操作是這樣子的,你有一個matrix A,你想要找它的inverse,你把這個matrix A跟identity matrix擺在一起,得到一個augmented的matrix。

那你把這個augmented的matrix去找它的reduced row HL4,它長的是這個樣子。

好,在這個reduced row HL4裡面,假設A的dimension是k,它的dimension可以是k嗎?

不行,因為我前面已經說它是一個n by n的matrix了,它的dimension是n,後面你把它再接一個identity的matrix,所以這個identity的matrix它的column的數目也是n。

所以它們的augmented的matrix是一個n乘以2n的matrix,那當然做完reduced row HL4以後,它仍然是一個n乘以2n的matrix。

這個n乘以2n的matrix,它前n個column,我們把它寫作R,這個R會是什麼?這個R會是A的reduced row HL4,你把A拿來做reduced row HL4,它會得到這個augmented matrix的reduced row HL4的前n個column,也就是R。

那B會是什麼?B是一個n by n的matrix,其實B這個matrix,你單獨拿出來看,它不見得是一個reduced row HL4,對不對,就是R跟B接起來是一個reduced row HL4,你單獨拿B出來,它不見得是reduced row HL4。

B是什麼?事實上B就是A的inverse,但前提要是A是invertible的,如果A是invertible的,你把A跟IN這個augmented matrix拿去做reduced row HL4以後,這個augmented matrix前面n個column會變成identity matrix,而後半部的B拿出來,它直接就是A inverse。

所以你做這個操作的時候,你就一次做了兩件事,第一個是檢查A是不是invertible的,如果前半部是identity matrix,A就是invertible的,那它的inverse長什麼樣子,它的inverse就是B。

那怎麼解釋呢?這個也非常的直覺,我們現在把AIN這個augmented matrix乘上一連串的elementary row operation,所以一連串的elementary row operation變成R。

那我們知道說前面這一串elementary row operation其實就是A inverse,所以前面是A會變成identity matrix,後面IN,你把這個A inverse乘進去,那它就變成A inverse。

所以你把這個augmented matrix做elementary row operation以後,你得到的後n個column就是A inverse,就這樣,就結束了。

那假設今天更進一步要求你不只是找出A的inverse,這邊先講一下這個例子,如果你今天給你一個matrix A,你要求它的inverse,你會怎麼做呢?

首先你要先確定A是invertible的,它才能夠找它的inverse,但是invertible這件事情的檢測可以跟找inverse這件事情同時進行,你就把A跟一個3乘以3的identity matrix接在一起,A在前面,A在這邊,後面是一個identity的matrix。

接下來你就做一連串的elementary row operation,直到找出reduced row H2O,那elementary row operation的細節我們就不講了,就暴做一波,都是用電腦算的,只是考試會叫你用手算而已,但是實際上做你一定是用電腦算的。

好,怒算一波,算完以後,你就發現說前半部是identity matrix,所以matrix A果然是invertible的,後半段呢?後半段就是A inverse,結束,結束。

那假設有人問你更多,他說他不只要你求A的inverse,他要叫你求A的inverse乘上C這個matrix,當然你可以說你先把A的inverse先算出來,再把它乘上C,那你就得到A的inverse乘上C,但是實際上你可以做得更簡潔一點,怎麼做得更簡潔一點呢?

我們之前在找A的inverse的時候,我是把A跟它的identity matrix做成一個augmented matrix,現在我們把A跟C做成一個augmented matrix,找出這個A C的augmented matrix的reduced row H2O,也就是R C',這個時候C'自動就會是A的inverse乘以C了。

為什麼?這個很直覺,因為我們說我們把A C做這個reduced row H2O form,就是把A C乘上一堆的elementary row operation,而這堆elementary row operation正好就是A inverse,那你把這堆elementary row operation乘進去以後,它乘上A會得到identity matrix,它乘上C就會得到A inverse乘以C,所以就結束了。

好,那inverse的部分我們就講到這邊,助教來了,請助教講一下後頁二。