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講完了Subspace,上一堂課的重點就是Subspace的定義,你就是要知道Subspace是什麼,知道這件事情就好了。

那接下來呢,Subspace裡面有一個東西叫做Basis,這個Basis就是這個基礎支撐的意思,整個Subspace是由Basis所生成的。

好,那所以今天這個投影片要講的事情有兩件事,第一個事情就是說,什麼是Subspace的Basis,這是第一件事情。

第二件事情就是說,怎麼檢查一個東西是不是一個Subspace的Basis,那了解這個東西以後,我們了解是什麼東西支撐了一個Subspace,之後這個Subspace裡面的成員就會用那些Basis來描述它。

那一個Subspace會有各種不同的Basis,它可以有各式各樣的Basis,無窮多的Basis,用不同的Basis來描述Subspace裡面的成員,同一個成員就會有不同的名字,就會有不同的樣子。

好,那Basis這個東西是對應到課本的4.2,好,那什麼是Basis呢?Basis它是,假設我們現在有一個vector set V,這個vector set V它是一個Subspace,這個Subspace是non-zero的Subspace,這邊要強調一下是non-zero的Subspace。

一個vector set V,這個V是一個vector set,那Basis是一個vector set,一個vector set V它是V的basis,如果這個vector set滿足下面兩個條件,第一個條件是,這個vector set它是一個linear independent vector set,這是第一個條件。

第二個條件是,這個vector set它可以generate V,也就是說你把這個vector set B做Span,會等於V,也就是說你可以用這個vector set去generate V。

如果這個vector set滿足我們這邊講的這兩個條件,那麼它就是V這個Subspace的basis。

所以一個Subspace的basis滿足兩個條件,一個是它是independent的,第二個是它是這一個Subspace的generation set,它做Span以後可以產生這個Subspace。

這邊就舉一個例子,Rn,n為向量,所有n為向量所組成的vector set,我們知道它是一個Subspace,這個Subspace有一個basis,這個basis是n個standard vector所成的集合,就是Rn的basis。

可以見得n個vector所成的集合,就是Rn的basis,你就用basis的定義去檢查。

第一個,檢查這n個vector是不是independent的,顯然這n個standard vector它們是independent的。

我想這應該就不用詳加解釋吧,你沒有辦法用一些independent的vector做linear combination,然後產生另外一個independent的vector。

所以這n個standard vector它們是independent的。

再來,這n個standard vector它們顯然是可以generate出Rn的,你把這n個independent vector做各種不同的linear combination,可以製造出Rn裡面所有的vector。

所以n個standard vector所成的這個集合,它滿足basis的兩個條件,所以它是Rn的basis。

所以我們來舉一個具體的例子,舉例來說,如果我們現在考慮的是二維向量所形成的Subspace R2,

R2這個Subspace它有一個basis,這個basis就是1001這兩個vector所形成的集合。

因為1001這兩個vector它們顯然是independent的,所以滿足第一個條件。

1001這兩個vector顯然它們做了Span以後,它們做各種不同linear combination以後,可以產生出R2這個向量空間。

所以第一個條件跟第二條件都是成立的,所以顯然1001這一個vector set它是R2的basis。

那R2其實不只1001這個basis,你如果仔細想想看的話,它還有很多其他的basis。

舉例來說,111-1是一個basis,這個13-31是一個basis,1112也是一個basis。

它們之所以是R2的basis,是因為它們滿足了basis的上面兩個條件,也就是這兩個vector,這兩個vector,這兩個vector,它們都是linear independent。

那比較難一眼看出來的是說,這些vector set它們都可以變出R2,這個是比較難看出來的,這個我們之後再說明。

那事實上對R2來說,所有的,只要有兩個independent vector,它都是R2的basis。

那我們說什麼是basis呢?basis的意思就是說,假設有一個subspace叫做V,這個subspace它有一個basis B,如果B滿足下面兩個條件的話。

B它是一個linear independent vector set,然後它是V的generation set,也就是用B做span以後,你可以得到V,這個是我們上週二,禮拜三的時候講的內容。

好,那我們這邊就來舉一個有關basis的例子,那假設你現在有一個matrix,我們叫做A。

我們之前有講過說,matrix有一個column space,就是你把matrix的column拿出來做span,拿出來做各種linear combination,你會得到一個column space,我們寫作COLA,代表A的column space。

那這個column space有一個basis,有一個basis是什麼呢?有一個basis就是,這個column A有一個basis,就是A這個matrix的private column,A這個matrix的private column是column space的basis。

那以下呢,我們就來檢查看看,為什麼A的private column會是A的column space的basis。

好,那首先呢,這個basis的,成為一個basis的條件是什麼?成為一個basis的條件是,這一個vector set裡面的成員是linear independent。

那private column是linear independent的嗎?private column是linear independent的,對不對?

因為我們之前有講過說,在講reduce row hreform的時候講過說,有一個東西叫做column correspondent theory,做reduce row hreform之前跟做reduce row hreform之後,column的關係是固定的。

那做完reduce row hreform之後呢,那些private column都是independent的,所以在做reduce row hreform之前,這些private column也都是independent。

所以private column滿足basis的第一個條件。

好,那第二個條件是說,private column能不能夠generate整個column space呢?

如果你今天把所有的column做linear combination,得到一個column space,private column做span以後,能不能夠成為column space呢?

private column做span以後是可以成為column space的,怎麼說呢?

因為我們知道說,不是private column的那些column,都是private column的linear combination。

我們這個之前已經講過了,這個例子裡面的第二個column是第一個column的linear combination,第五個column是一三四的linear combination,最後一個column也是一三四的linear combination。

既然今天這個column裡面,那些non-private的column,都是private column的linear combination,那你拿private column出來做span,跟加上這些不是private的column出來做span,它的大小是一樣。

所以知道說,用private column做span以後,會等於column的matrix的span,用private column做span以後,會等於matrix A的column space。

在繼續講這個basic之前,我們先講一些非常trivial的觀念。那這些觀念非常trivial,我們就不做證明,你一看就會知道說,這些定理都是對的。

首先,vector set S一定包含在span S裡面,這些基礎的觀念是我們等一下要拿來證明有關basis的種種性質用的。

一個vector set S,如果你把它做span,那S會在span裡面,那這個就沒有什麼好說的,反正就是這樣子。

所以我們知道一件事情就是,因為basis做span以後會等於整個subspace,所以一個subspace的basis一定落在subspace裡面,它不會在subspace之外。

如果你有一個vector set S',它包含在span S這一個subspace裡面,那你把S'也去做span,它一定包含在span S裡面。

為什麼呢?假設你有一個vector set叫做span S,這個span S它是S這個vector set的span,所以它是一個subspace。

那在這個subspace裡面,找一些vector出來,這些vector我們叫它S',這些綠色的點我們叫它S',然後你再把S'去做linear combination,

你再把這個S'去做span,你會發現S'span以後的結果一定會落在S的span裡面,那這個結果是非常直覺的,因為我們知道說span S它是一個subspace,

而subspace有addition clause跟multiplication clause的特性,所以subspace裡面的成員做linear combination仍然在subspace裡面。

所以今天這些S'裡面的成員,不管怎麼做linear combination得到span S',一定都落在span S裡面。

所以我們知道說,把一個subspace裡面的成員拿出來做span,它仍然在這個subspace裡面。

好,那接下來呢,假設你有一個vector Z,如果這一個vector Z它包含在span S裡面,那你把Z加到S裡面再去做span,

那你會發現說,加Z之前跟加Z之後span以後的大小是一樣的,也就是說加上Z以後並沒有增加什麼,也沒有減少什麼。

反過來也是一樣,假設有一個vector Z,你發現說把這個Z放到S裡面,沒有增加什麼,也沒有減少什麼,那就代表說Z在S的span裡面。

所以這個是一個弱且微弱的關係。

或者是你可以反過來說,假設Z不在S裡面,不是Z不在S裡面說錯,是Z不在S的span裡面。

那如果Z不在S的span裡面,把Z加到S裡面再去做span,那得到的set就會不一樣。

或者是我們用圖像化的方式再說明一下,這邊有一個vector set S,它做完span以後得到span S,span S是這個藍色的圈圈。

那現在假設我們找到了一個vector Z,這個vector Z落在藍色的圈圈裡面,我們把Z加到S裡面再去做span,這個藍色的圈圈不增也不減,它不會變大也不會變小。

但是如果我們今天找到一個vector Z它落在藍色的圈圈之外,再去做span,那藍色的圈圈就會變大了,span以後的結果就會變大。

這個也不用證明,太直覺了,所以不用證明。

因為這些private column它們都是linear independent的,所以如果你少了其中一個,那今天你在做column space的時候是有包含那個少掉的private column的,而其他private column做linear combination並沒有辦法變成你少掉的那個private column,所以private column是缺一不可的。

這樣大家還有問題嗎?可以齁。

好,那接下來就要講basis的三個重要定理,這三個定理是這樣子的,basis是最小的generation set,一個subspace可以有很多不同的generation set,但裡面最小的那個就是basis。

然後再來呢,basis又是最大的independent set,就是你從一個subspace裡面可以選出很多vector組成一個independent set,你從一個subspace裡面可以挑出很多不同的vector set,它們都是independent的。

但在這些挑出來的vector set裡面,最大的那個就是basis,這樣大家可以了解我的意思嗎?這個聽起來還蠻有趣的,就是basis是最小的generation set,但它卻是最大的independent set。

好,那第三件事情呢,是一個subspace它可以有無窮多的basis,有很多不同的independent vector set,它做generation以後都可以變成某一個subspace。

但是所有同一個subspace的basis,它裡面的vector的數量都是一樣多的。同一個subspace,它可以有很多個basis,但那些basis裡面的vector的數量都是一樣多的。

而這個vector的數量呢,就叫做dimension。這個vector的數量呢,就叫做dimension。所以如果有人說,今天我有一個subspace,這個subspace的dimension呢,舉例來說是3,那是什麼意思?

就是說這個subspace的basis,它都有三個vector。好,那今天就講了這個subspace的三個定理,那接下來有關basis的三個最重要的定理。

那等一下呢,剩下的時間就是要告訴大家說這三個定理是怎麼來的。那這三個定理123的順序呢,就是按照課本裡面的順序排列的啦,但是我打算先證明第三個。

好,第三個定理是說,同一個subspace,它所有的basis,它的vector的數量都是一樣多的。好,怎麼說呢?今天呢,我們假設某一個subspace V,它有兩個basis,一個是U1到UK,一個是W1到WP。

我們現在還不知道說這兩個subspace,它們的數量是不是一樣。也就是說我們並不知道說K會不會等於P這樣子,我們並不知道K會不會等於P,我們先打一個問號。

它們有可能等於,有可能不等於,當然按照這個定理應該是等於的,不過這個就是我們今天要證明的事情,所以我們現在還不知道K是不是等於P。

我們只知道說現在有兩個basis,也就是這個subspace V有兩個basis,那當然這兩個basis都滿足basis的兩個條件,也就是說它們都是independent vector set,然後再來呢,你把U1到UK去做span它會等於V,W1到WP去做span它也會等於V。

好,那接下來呢,我們就是要來證明一下K會等於P這件事。

那我現在把U1到UK當作是某一個matrix的column把它排起來,那我們就得到了matrix A。

我們把W1到WP當作某一個matrix的column排起來,那我們就得到了matrix B。

好,那接下來呢,你會發現說這個matrix A跟matrix B的column之間是有某種關係的,什麼樣的關係呢?

因為現在U1到UK它去做span以後會得到V,因為U1到UK是V的一個basis,所以它做span以後會得到V。那我們知道說,B或者是W1到WP它是一個basis,它是V的basis。

所以現在每一個W,我們這邊寫做Wi,它一定落在V裡面,Wi一定是屬於V的。

因為我們剛才已經有講過說,一個basis裡面的成員一定落在它generate出來的subspace裡面,basis一定落在subspace裡面。

所以Wi一定落在V裡面。所以現在根據這兩件事,第一件事情是U1到UK可以spanV,Wi一定又落在V裡面。

所以U1到UK做linear combination一定可以產生Wi。

好,U1到UK做linear combination一定可以產生Wi這件事情,如果你列成式子的話,長成這個樣子。

對所有的Wi來說,你把U1到UK做linear combination,意思就是把這個matrix A乘上某一個vector我們叫做CK,

把matrix A乘上某一個vector叫做CK,它會等於Wi,對所有的i都是成立的。

好,那這個i可以是1,可以是2,可以到P,可以是1,可以是2,可以到P。

那我們就把這P的式子通通都列出來,所以我們知道說A乘上C1會等於W1,A乘上C2會等於W2,A乘上CP會等於WP。

也就是A乘上,我們把C1到CP合起來,說它叫做一個matrix C,所以A乘上matrix C會等於matrix B,我們現在有了這個式子。

好,我們現在都還不知道說K會不會等於P,我們只知道說A乘上某一個matrix C,它會變成B。

好,接下來我們做一個假設,假設CX的假設呢,有某一些X它跟C相乘以後一定會是0,某一些X跟C相乘以後一定會是0。

那這個假設永遠都成立嗎?這個假設永遠都成立,為什麼?

因為最糟的情況下X就是zero vector,所以你一定找得到一些X跟C相乘會是0,最糟的情況下這個X就是只有zero vector可以滿足這件事情。

好,那因為X乘上C會等於0,所以你現在呢,把這個AX等於B這個式子左邊乘上X,右邊也乘上X,你就會發現說呢,A乘C乘X等於B乘X等於0。

因為X乘上C這個東西是0嘛,所以0乘上A也等於0,所以B乘上X也會等於0。所以這個告訴我們什麼?這個告訴我們說,如果某一個X它在C的null space裡面,某一個X它在C的null space裡面,因為X乘上C等於0嘛,它一定也會在B的null space裡面。

對不對?就是說,如果X乘上C等於0,那X乘上B也會等於0,所以C的null space是包含在B的null space裡面的。

好,接下來我們看一下B的null space長什麼樣子,因為B呢,它是一個basis所構成的matrix,B是一個basis所構成的matrix,所以B的column都是independent的,B的column都是independent意味著什麼?

意味著它的null space裡面只有一個成員就是zero vector,這個大家應該知道吧,這個我們可能已經講過很多次了,如果B是independent的,B的column是independent的,那它的homogeneous equation唯一的解就是zero vector。

所以B的null space就是zero vector,所以我們發現說這個藍色的區域居然是等於zero vector的,那C的null space還包含在zero vector裡面,還包含在只有zero vector所構成的集合裡面,所以C的null space一定要等於0。

所以我們知道說C的null space也是一個只有zero vector的集合,那所以告訴我們說C這個matrix它的column都是independent的,所以正到這邊我們還沒有說k等於p,我們只知道說C的column都是independent。

再來我們看一下C長什麼樣子,C這個matrix,我們來看一下它的寬跟高分別是多少。

C這個matrix它的寬是p,還有p的column,它的高應該是k,所以它的一個dimension是p,一個dimension是k。

一個dimension是p,一個dimension是k,它的這個它是k乘以p的matrix,k跟p就是顆p這樣子,這個太冷了,不好意思。

所以我們現在知道說C是一個k乘以p的matrix,k乘以p的matrix如果你希望它的column是independent的,那一定要發生什麼事呢?一定要p小於等於k才能夠做到。

對不對,我們說一個矮胖型的matrix,如果p是矮胖的matrix,像我們這邊畫的這樣,那它的column就一定不會是independent,它的column一定是dependent。

你希望它的column一定是independent的,那唯一的可能就是C必須要是高瘦的,高瘦也不見得保證會independent,但是如果是矮胖一定會dependent。

矮胖一定會dependent,所以C必定要高瘦,C必定要高瘦的意思是說p小於等於k,我們現在知道p小於等於k,但是我們還沒有證p等於k。

接下來,你就把剛才講過的事情反過來再說一次,這樣了解我們意思了嗎?我們把U1到Uk跟W1到Wp的角色調換過來,用一模一樣的乘數,但是把A跟B的角色調換過來,我們就不要再反覆講一樣的東西。

然後這個時候你會發現說k要小於等於p,所以既然p要小於等於k,k也要小於等於p,那你得到的結論就是k要等於p。

所以今天一個vector space裡面如果有兩個basis,那這兩個basis的成員必定是一樣多的,那你可以用這個basis的成員的數目來描述一個subspace的特性。

有幾個basis,有幾個成員,這個subspace的dimension就是多少。

我們在講basis的時候,我們不討論zero的subspace,zero的subspace它的dimension就強制定義為零,你就當作這個是個定義就好。

那如果今天是二維的空間R2,它的dimension是多少呢?我們知道二維的空間R2,它可以由兩個standard vector做linear combination所generate出來。

它可以由兩個standard vector,一個是一零,一零就是蔡一零這樣子,一個是一零,一個是零一這樣子,一個是一零,一個是零一,做linear combination可以得到整個二維的空間。

然後呢,一零零一兩個standard vector又是independent的,所以一零零一這兩個standard vector,一萬一二,它們是R2的basis。

那既然這個二維的空間,二維的向量所成的集合,它的basis是二,那它的dimension就是二。那其實這就是為什麼我們說所有的有兩個element的向量所組成的集合叫做二維空間,因為它的dimension是二,所以叫做二維的空間。

那三維空間就是一樣的,你有三個standard vector,一萬一二一三,做linear combination,可以span整個三維的空間,可以generate整個三維的空間,那三個standard vector又是independent的,所以一萬一二一三是三維空間的basis。

那這個basis裡面有三個成員,一萬一二一三,所以三維空間的dimension就是三。所以,以此類推,n維空間的dimension就是n,然後n維空間的basis都是n個vector。

那這邊是舉一個例子,就是假設我們現在有一個subspace,這個subspace它在四維的空間裡面,它不是四維的空間,它在四維的空間裡面。那這個subspace,這個裡面的vector,它的四個dimension,四個element都符合這個式子。

那現在來算一下這個subspace它的dimension是多少。好,那這個subspace的dimension是多少呢?你要做的事情就是首先找出這個subspace的basis,一旦找出它的basis,你就找出了它的dimension。

好,那它的basis是多少呢?我們就是要找,如果今天你遇到的問題是說,你的basis是由一個system of linear equation所定義的。

如果不是你的basis,是你的subspace,是由一個system of linear equation所定義的。如果你subspace是由一個system of linear equation所定義的,那你把這個system of linear equation的解把它算出來,你就可以得到它的basis。

好,那我們今天知道說,上面這個式子可以寫成x1等於3倍的x2減5倍的x3加6倍的x4,那現在的x2、x3、x4都是free variable,只有x1是basic variable。

那你就可以把這一個system of linear equation,只有一條式子的system of linear equation,它的解寫出來,它的solution,它的solution的parametric representation,你可以寫作這樣子。

就x1等於x2、x3跟x4的linear combination,然後x2、x3、x4都等於它們自己,它們都是free variable,都等於它們自己。

接下來,把x2、x3、x4提出來,那你就會知道說,x1、x2、x3、x4落在這個subspace裡面的每一個vector,都可以寫作是這樣子的形式,都可以寫作是這三個vector的linear combination。

所以現在就知道說,這三個vector你拿去做generate,拿去做span,它會等於v。你把這三個vector拿去做span,拿去做span,拿去做span,它會等於v。

那拿去做span以後會等於v,它是不是一個basis呢?你還要檢查basis的另外一個條件,basis的另外一個條件就是independent。這三個vector是不是independent的呢?

那你仔細看一下,就會發現說,它們顯然是independent的。

怎麼說呢?舉例來說,如果你看這三個vector的第二維,只有第一個vector有1,其他人都是0,看第三維只有第二個vector有1,其他人都是0,看最後一維只有第三個vector有1,其他人都是0。

所以你沒有辦法用這個vector set裡面的某兩個vector做linear combination得到剩下的那個vector,所以它是independent。

既然它是independent的,它又可以generate v這個subspace,那這三個vector合起來就是v的其中一個basis。

所以現在就知道說v的dimension多少呢?v的dimension就是3。

好,那這個是一個算dimension的例子。

好,那接下來我們要講的事情是剛才提到有關basis的第一個定理。

第一個定理是說,basis是最小的generation set,什麼意思呢?

意思是說,假設你現在在某一個subspace中,你找出了這個subspace的某一個generation set,我們寫做s。

那這個subspace v它的basis一定會比這個generation set還要小,所以一定會小於等於這個generation set。

舉例來說,假設這個generation set有三個element,那這一個subspace v它的basis一定是小於等於3。

它有可能等於3,但是不可能大於3,這個basis它的成員一定小於等於3。

或者是你可以說,或者是你可以更進一步的推論說,假設今天有一個subspace v,它有一個generation set,裡面有三個element。

那因為它的basis一定小於等於3,所以這個subspace的dimension一定會小於等於3。

總之,如果你今天找出一個generation set,那subspace的element,subspace裡面的vector的數目,一定是小於等於你找出來的generation set,不可能大於你找出來的generation set。

怎麼說呢?這邊有一個定理叫做reduction theory,reduction theory是說,所有的basis裡面都包含了一個generation set,所有的generation set裡面都包含了一個basis,也就是所有的generation set的心中都有一個basis。

或者是更進一步的講就是,如果你有一個generation set,你可以把這個generation set去掉一些element以後,變成一個basis,所以一個generation set它是一個未完成的basis,你把一個generation set,每一個generation set的心中都有一個basis,你把它的外殼拿掉,它心裡就有一個basis。

所以reduction theory告訴我們,下一頁就是要證一下reduction theory,reduction theory告訴我們說,所有的generation set心中都有一個basis,你把它的外殼拿掉,剖開來裡面就是一個basis,因為每一個generation set心中都有一個basis,所以basis的element的數目一定是小於generation set,basis都是藏在generation set裡面的,所以basis一定小於generation set,所以basis是最小的generation set。

那這件事情怎麼證明呢?怎麼證說所有的generation set心中都藏有一個basis呢?這個證法是這個樣子的,現在假設有一個generation set,有一個vector set叫做U1到Uk,你拿它去做span以後,它會產生出subspace V,你把S拿去做span以後,它會產生subspace V。

那先前要證的就是說,S的心中藏了一個basis,那怎麼證說S的心中藏了一個basis呢?你就從S裡面找出一個basis,你從S裡面找出一個subspace V的basis,就得證了,你就從它心中找出一個basis了。

那怎麼做呢?我們知道說V等於span S,那如果我們現在把S裡面的每一個element,每一個vector當作是matrix A的每一個column,那我們又可以換句話說,V等於span S,就是V等於A的column space。

那我們剛才要講說,matrix A的column space,它的basis是什麼呢?matrix A的column space,它的basis就是A的private column,對不對,我們剛才在上課的第二頁投影片就講過說,一個matrix,它的column space就是這個matrix的private column,那private column一定是column的一個subset,對不對。

private column就是column的一個subset,private column都是從column裡面選出來的,private column是column的一個subset,所以你找到了一組basis,這樣ok嗎?

所以,每一個vector set,它的心中都藏有一個basis,那你就用這個投影片裡面講的證法,你就可以把那個basis找出來。

這個是第一個定理,這個是reduction theorem,那這邊就只是舉一個例子來告訴你reduction theorem怎麼回事,假設你有一個vector set S,然後這個vector set S,它拿去做span,它可以generate到space V。

接下來,你把這個S表示成一個matrix,這個matrix裡面的column,就是這個vector set裡面的成員,這個vector set有六個vector,所以這個matrix有六個column。

你做reduce row HLF,你就可以找出它的private column,然後這些private column,它是A的column space的,這些column,它是A的basis,它不是A的basis,A沒有basis,A不是一個subspace,所以它沒有basis,是A的column space的basis。

那這些private column是A的column space的basis,那它也就是subspace V的basis,那你就找到這個subspace V的basis,然後這個basis是從S裡面來的,那這個是定理一。

那下一個定理是要告訴大家說,basis是最大的independent set,什麼意思呢?就是假設你知道說現在basis的數目是K,假設我們現在知道說basis的大小,basis裡面的成員的數目就是K。

那你在這個subspace裡面,你絕對找不出多於K個independent的vector出來,組成一個independent的vector set,因為basis是最大的independent set。

所以今天假設你知道說basis的大小是K,那你在同一個subspace裡面,你找不出多於K的independent的vector。

好,那這個theorem2是來自於extension的theory,extension的theory怎麼說的呢?extension的theory是說,假設給你一個independent的vector set S,在這邊有一個小錯,這邊應該加上sub,這個是subspace,那這邊漏打了sub,這個subspace。

今天你有一個independent的vector set S,它落在某一個subspace裡面,那你一定可以把這個independent的vector set S,加上額外的vector,變成basis。

你現在有一個independent的vector set,如果它還不是一個basis的話,那你就可以加入額外的vector,直到它最終一定會變成一個basis。

也就是說,每一個independent的set,它不是一個basis,它就是正在成為一個basis。

所以所有的independent的set,它要嘛就是basis跟basis一樣大,要嘛就是你加入新的vector以後,它可以成為一個basis,那它就是比basis還要小。

所以所有independent的vector set,它的這個大小都是小於等於你的basis的。

那接下來就是要來證明這件事,那怎麼證明這件事呢?假設你現在有一個subspace叫做V,那在V裡面你找出了一個independent的vector set,我們假設這個independent的vector set,我們就用三個黑色點來表示,它們是independent的。

那我們把這個vector set拿去做span,如果今天這個vector setspan完以後,我們假設span完就是這個深藍色的圈圈,那如果span完以後這個深藍色的圈圈跟淺藍色的圈圈一樣大的話,如果一樣大,那這個S就是basis。

對不對,因為basis的條件就是兩個嘛,一個它是independent,一個是做完span以後等於整個subspace。

我們既然知道S是independent的,如果S做span以後正好等於V的話,那S就一定是一個basis。

但是如果說今天S做完span以後,它不等於V,當然不等於V有很多個可能,一個是它比V大,一個是它比V小。

但是我們剛才在一開始上課的時候已經講過說,今天在一個subspace裡面的成員做完span以後,一定還落在這個subspace裡面。

所以今天如果我們把S做span得到這個藍色的圈圈,這個藍色的圈圈如果沒有辦法跟V一樣大,那它一定就是落在V裡面。

那如果今天這個深藍色的圈圈是落在V裡面又沒有跟V一樣大,那我們知道說我們一定可以在深藍色的圈圈之外找到一個vector V1。

它落在V裡面,它落在淺藍色的圈圈裡面,但它不落在深藍色的圈圈裡面。

接下來我們可以把V1加到S裡面,本來S只有三個成員,現在他們加入了第四個成員,就是V1。

你把V1加進去以後,它仍然會是independent的,為什麼呢?

因為V1不會是原來原S的這三個成員的linear combination。如果V1是這三個成員的linear combination,它就應該要落在這個深藍色的圈圈裡面。

但是今天我們發現說,V1沒有落在這個深藍色的圈圈裡面,代表V1沒有辦法被這三個成員做linear combination以後得到。

它落在這三個成員的linear combination之外,它是沒有辦法用這三個vector做linear combination所得到的。

所以你把V1跟這三個vector合起來,產生一個新的vector set,這個新的vector set它也是independent。

好,那現在我們有一個新的vector set,它現在有四個成員,你現在把這四個成員再去做一次span。

如果做完span以後的結果,綠色的圈圈等於淺藍色的圈圈,那現在你的S就是一個basis。

因為S的成員是independent,它做完span以後等於你的subspace,那它就是basis。

但是如果現在如同這個圖上所示,綠色的圈圈是小於淺藍色的圈圈的,那我們一定又可以再找到另外一個vector,叫做V2。

把V2也放到S裡面,得到一個新的independent vector set。

然後你就反覆操作這個步驟,反覆操作這個步驟,最終你一定會再也找不到新的V。

最終這個vector set會越來越大,最終這個S會越來越大,直到它的span會等於整個V為止。

所以這個就是extension theory的證明告訴你說,每一個independent vector set,如果它不是一個basis的話,那你一定可以找到另外一個vector加進去,找到另外一個independent vector加進去,讓它變大。

如果它還不是basis,你又還可以找到新的independent vector再加進去,讓它變大,所以它會越來越大,直到它最終變成一個basis。

所以所有的independent vector set都包含在一個basis裡面。

那用我們今天講的有關basis的種種定理,你就可以回頭去看我們之前講過的上課的內容。

我們之前在講RREF的時候有講了一些定理,而這些定理也許是你沒有那麼好理解的,如果從RREF來看的話你會覺得有點困惑。

但是如果今天從basis的角度來看的話,可能就更加直覺一點。

因為我們知道說每一個generation set裡面都有一個basis,也就是basis是最小的generation set。

所以今天假設我們要討論的,我們有一個subspace,這個subspace就是m圍的空間,就是Rm。

那這個m圍空間的generation set,想要generate整個m圍的空間,你至少需要m個vector。

為什麼要generate整個m圍的空間,你至少需要m個vector呢?

因為我們知道說m圍空間有一個你一想就知道的basis,m圍空間有無窮多個basis,你可以找出無窮多個basis。

但是其中有一個basis是大家耳熟能詳的,就是所有的m的standard vector所成的集合,它是m圍空間的一個basis。

因為這個m圍空間它的basis有m的成員,所以我們知道說它的dimension就是m,它dimension等於m。

這邊想要寫dimension,但寫得不是很好,它dimension等於m。

所以它的basis一定都有m的element,那generation set一定是大於等於basis的。

所以所有的generation set,所有可以generate m圍空間的vector set,它的成員的數目一定要至少有m個成員,一定要大於等於m個成員才可以。

所以我們之前說過說,因為我們這個世界是三圍的空間,所以發現說神器或者是神之卡至少都有三樣。

三張神之卡就是歐貝利斯克的巨神兵、歐西里斯的天空龍和太陽神的異神龍。

這個你們也知道,但是我們年紀其實差不多。你們發現說很多東西都是三樣,死神的聖物也是三樣。死神的聖物就是一個披風、一個石頭和一個接骨木魔杖,所以都是三樣。

小說裡面通常都是三個主角,哈利波特就是三個主角,一個男的、一個女的、一個沒有用的。其實你會發現說奇幻小說往往都是遵循這個定律的。

有時候波西傑克森,大家應該都沒有看過波西傑克森吧?有啊,波西傑克森也是三個主角,一個男的、一個女的、一個是洋男,那個也是沒有用的。

所以這就是為什麼我們活在三維的世界裡面,你只要有三個vector,就可以generate整個世界。

這就是為什麼孔子就說三人行必有我師,因為只要三個人做linear combination,就可以成為所有的人,裡面其中有一個人就是你的老師。

所以今天如果是四維空間的生物,他們都說四人行必有我師了。麻將四人行就多了一個人這樣子,麻將是四維空間的遊戲。

所以我們今天又知道另外一件事情是說,我們知道說在一個subspace裡面,最大的independent set就是你的basis。

所以今天M維的空間,它的basis是M的element,M維空間的dimension是M。

所以你在M維空間裡面找不出超過M的independent vector,你在M維空間裡面拿出M的vector出來,你在M維空間裡面拿出超過M的vector出來,它都一定是dependent的。

所以你在我們這個三維的空間裡面,你找出四個東西,其中一個通常就會溶掉,好像在獵人裡面有四個主角,雷歐力就是多餘的。

或者是說,在偉大的航道上有一個四皇,然後後來白鬍子就死掉了,因為不需要白鬍子,因為是多餘的這樣子。

所以我們知道說,如果你組一個隊有四個成員,其中一個就是不需要的,這個是線性代數告訴我們的事情。

好,那就是為我們這堂課下一個結論了。這堂課的結論是說,如果你把basis想成一個雕像,你把一個basis想成一個雕塑,那你知道雕塑是怎麼做的嗎?

雕塑有兩種做法,就是用雕或者是塑的方法可以產生一個雕塑。所謂雕的方法就是拿掉多餘的東西來產生你要的東西,

而塑的方法就是把你要的東西堆疊起來,把材料堆疊起來產生你要的東西。

所以今天假設這個大衛像就是一個basis,那如果你要做一個大衛像的話有兩個方法。

一個是你找一塊石頭來開始雕它,第二個做法是你把一堆石頭拿來把它疊起來,變成一個雕像。

那今天這個大衛像就是basis,那generation set就是一個大理石,那你把generation set進行雕塑它就會產生大衛像,每一個generation set裡面都有一個basis。

而你的詞圖就是independent vector,你把很多independent vector堆疊起來,最終會變成basis,那這個就是今天這堂課要告訴大家的事情。

好,那我們就在這邊休息十分鐘。

剩下這份投影片的內容,想要告訴大家的是,

如果給你一個vector set,怎麼檢查它是不是某一個subspace的basis?

有同學問到一些有關作業小考的問題,我們這個配分是這個樣子,70%是期中期末考,剩下30%就是作業,作業就是六次裡面選五次最高分的當作你的成績,希望你作業都是30分。

但是還是有期中期末考,期中期末考是四番統一命題就是了。

那你要,你如果要準備期中期末考的話,也許你還是需要看一下課本後面的習題的。

那我也沒有辦法保證說期中期末考不會出一些給你一個metric,叫你算出reduce或h2form這種題目就是了。

好,那我們現在已經知道了basis的定義,如果問你一個vector set,它是不是某一個subspace的basis,你可以用定義來檢查說這個vector set B它是不是一個basis,我們之前都是這樣做的。

那在很多時候,這件事情並沒有那麼難,但是你今天會遇到一個問題是這個樣子,假設現在題目是這樣出的,它說我有某一個subspace。

你要找出這一個subspace的basis不難,但是如果今天這個問題是直接給你一個vector set C,問你說它是不是某一個subspace的basis的時候,你會卡在什麼地方呢?

你不會卡在這個vector set是不是independent,你要檢查一個vector set是不是independent,非常容易,你可能一秒就可以看出來說C這個vector set它是independent。

那你會卡在什麼地方呢?你會卡在你不知道C能不能夠generate V,對你來說要找出V的basis,其實你是找得出一組的,我們就找一下這個system of linear equation,它的parametric representation,你就可以找出V的subspace。

Linear equation就可以找出V的basis,但是如果給你一個vector set,問你說這個vector set到底能不能夠generate V,你就有點困惑,你就有點不知道說這個vector set C它到底能不能夠generate V。

所以check一個vector set到底能不能夠generate一個subspace,有時候你會有困難,所以怎麼辦呢?現在有另外一個更常用的做法,其實更常用的做法是這樣。

假設我們已經知道一個subspace V它的dimension就是K,那你如何知道一個subspace V它的dimension就是K呢?找這個subspace的basis,你找出它的basis以後你就知道它的dimension是多少,那你要找一個subspace的basis往往不難。

接下來,如果有一個vector set,它有K一個vector,它的K跟subspace的dimension是一樣的,它只要滿足下面兩個條件的其中一個,它就會是basis。

如果一個有K一個vector的vector set S,它只要是independent的,它就是basis,它只要是subspace的generation set,它就是basis,你就不用檢查它是不是independent。

所以說本來我們要檢查某一個vector set S是不是某一個subspace V的basis的時候,你要檢查兩個條件,一個是independent,一個是generation。但是現在假設你已經知道這個subspace的dimension就是K,然後你現在要考慮的這個vector set,它的element的數目,它的成員的數目就是K一個vector,這個時候你就不需要independent跟generation都檢查了。

你只要檢查其中一者,另外一者就必定會成立。你只要檢查其中一個條件成立,那S就一定是一個basis。

好,那所以這邊我們就是舉一個例子來告訴你說這整件事是怎麼操作的。我們剛才說,如果給你這樣一個問題,給你一個subspace,然後問你說某一個vector set C,它到底是不是這個subspace V的basis的時候,你會卡在說你並不知道這個C能不能夠generate出V。

那怎麼辦呢?你就先找一下V的basis出來,就先找一組V的basis出來,那你可以用parametric representation找出V的basis。

那V的basis會有幾個element呢?如果你把它的parametric representation列出來的話,你會發現說V的basis有兩個element,也就是V的dimension等於2。

如果我們現在知道說V的dimension等於2,而C它正好也有兩個vector,而C同時又是independent的,那這個時候C又會是V的一個basis。

所以以前我們要確定說某一個vector set是不是某一個subspace的basis的時候,我們要檢查independent跟generation兩個條件,而檢查generation這件事情往往會有困難。

但現在你發現說你只要能夠知道V的dimension的大小,確認一下你現在要考慮的那個vector set的數目是不是跟V的dimension一樣,接下來只要檢查independent,檢查independent是比較容易的,只要檢查independent,你就可以知道說你現在考慮的這個vector set是不是V這個subspace的basis。

好,那我們接下來要證明的就是說,假設有一個subspace,它的dimension是K,那現在你又有一個vector set S,它的成員的數目正好也是K,那這個時候只要S是independent的,那S就是一個basis。

或者是只要S是V的generation set,那你不用檢查它是不是independent,其實它就一定會是independent,你不用檢查它是不是independent,它一定就會是一個basis。

這個怎麼證明呢?這個只需要用想的就可以了,不需要證明,只要想一下就會知道說這件事情應該是對的,因為根據extension的theory,我們知道說每一個independent的vector set,它要嘛就是個basis,要嘛就是增加了額外的vector以後會變成一個basis。

那現在我們已經知道說V的dimension就是K,我們又知道說S有K個成員,而我們知道說在一個dimension是K的subspace裡面,你找不出超過K個independent的vector。

最大的independent的vector set,它的element的數目一定是K。今天S既然已經有K個element,你不可能再給它新的成員,你不可能再把S再擴增,變成更大的independent的vector set。

而我們說一個independent的vector set,它要嘛就是basis,要嘛就是擴大以後可以變成一個basis。今天既然無法再擴大了,那它就是一個basis了,所以就得證這樣子。

如果只要知道independent它就是一個basis,這件事情是從extension的theory來的。接下來我們再來看下面這個敘述,下面這個敘述就是從reduction的theory來的。

下面這個敘述是說,如果S是一個generation set,那S一定會是一個basis。那怎麼說呢?因為我們今天知道說一個basis它是最小的generation set。

那今天如果我們要generate一個dimension是K的subspace,那你至少會需要K個element。而今天S又正好是K個element,所以它已經是最小的generation set,你沒有辦法再更小了,所以S就是一個basis。

如果這邊你沒有辦法跟上的話也無所謂,反正你就是記得說,以前要先檢查一個vector set是不是basis的時候,你要檢查independent generation這兩個條件。

但是假設你知道這個vector set的dimension的話,你就變成只需要少檢查一個條件,你就只需要檢查一個條件就好了。

那這邊就是一個例子,如果你今天給了你一個subspace V,然後再給你一個vector set B,然後問你說B是不是V的basis,你怎麼做呢?

原來做法是說先檢查B是不是independent,檢查完以後再檢查說B能不能夠generate V,但是檢查B能不能generate V是比較困難的,所以你要先找出V的dimension。

好,我們現在已經先確定說B它是一個independent vector set,那怎麼知道它是independent vector set,當然你可以用想的,因為反正現在才三個vector而已,你就看一看是不是這三個vector是不是其中兩個可以generate這三個,發現說不行,所以它是independent。

那你也可以說,把B的三個vector當作是某一個matrix B的三個column,然後算它reduced row HL4,根據它reduced row HL4,你可以知道說這三個column是不是independent。

好,那接下來你要找出V的dimension,那怎麼找出V的dimension呢?你就看看V的system of linear equation裡面有多少個free variable,有三個free variable,那三個呢?一個是V2,一個是V4,還有一個根本就沒有列在這邊的是V3,有三個free variable。

三個free variable,你今天把它列成這個parametric的縫的時候,你一定會寫出說V1,V2,V3,V4會等於V2乘上某一個vector,它是誰就不重要了,V2乘上某一個vector,寫好一點,這V2,加上V3乘上某一個vector,V3乘上某一個vector。

然後再加上V4乘上某一個vector,所以這個vector set,這個subspace V的dimension就是3,這個V4,這個subspace它的dimension就是3,現在這個subspace的dimension是3,你現在要考慮的這個vector set B,它的element的數目,它的vector的數目正好也是3,那B就是V的一個basis,好,就這樣。

那這邊是舉另外一個例子,這個例子是說,現在我們有一個vector set V,這個vector set V是S這個vector set的subspace,你有一個vector set S,你把它做subspace以後得到V,那你想要知道說,B是不是它的一個basis,那你要怎麼做呢?

你如果要檢查B是不是independent的,這件事情非常的容易,但是你要檢查B能不能夠generate span S,這件事情就有點麻煩了,但沒關係,我們來check一下span S,我們來check一下V,也就是span S,它的dimension應該是多少。

這個V的dimension應該是多少呢?V的dimension就是你把S這一個vector set的四個vector當作matrix A的四個column,接下來就看說matrix A有幾個private column,你就知道說今天這個V這個subspace的basis有多大。

A有幾個private column呢?你就做一下reduce row HL4,你發現說A有三個private column,所以你今天知道說,用這三個vector,第一個、第二個、第三個,三個private column,用這三個vector把它做span以後,就會得到V。

這三個vector做span以後,等於A的column space,就等於S的span,就等於V。

那今天既然用三個vector,就可以span這個subspace V的話,那你就知道說,subspace V的dimension就是3。

那因為V的vector的數目也正好是三個,V又是一個independent vector,你要檢查V是independent vector,你也可以把B當作是一個matrix,算它reduce row HL4,發現它是independent,所以B就是V的一個basis。

好,這個就是你如何檢查一個vector set,是不是一個subspace的basis。