好,那我們來上課吧。

好,那今天這堂課呢,我們要講coordinate system。

那上週啊,我們先講了subspace,然後呢,我們再講了basis,

然後我們說呢,這個basis的定義呢,就是一株independent的vector set,

它可以span出某一個subspace,可以span出某一個subspace的independent vector set呢,

它就叫做basis。那講這些東西,到底有什麼用呢?

現在呢,就要進入第四章的重點。知道什麼是basis以後呢,

basis可以被當作一個coordinate system來看待。

那什麼是coordinate system呢?

好,coordinate system它就是一種拿來描述vector的觀點,

coordinate system是拿來描述vector的一種方式。

那因為coordinate system是描述vector的方式,

所以同一個vector,如果你現在在不同的coordinate system下來看,

coordinate system我想中文應該就是翻成座標系啦,

所以同一個vector在不同的coordinate system下來看的話,

它的表示的方式,它寫出來的樣子會是不一樣。

或者是呢,換句話說,不同的vector,如果在不同的coordinate system下來看,

它可能會有一模一樣的表示方式,

但是因為是在不同的coordinate system下,

所以不同的coordinate system就算有同樣的表示的vector,

那它們代表的vector仍然不是一樣的。

這個聽起來很抽象,所以我們等一下就講一下具體的例子。

那這份投影片呢,在介紹完coordinate system以後,

會告訴你說怎麼從一個coordinate system換到另外一個coordinate system。

那這是課本第四之四的內容。

那什麼是coordinate system呢?

我們之前如果我們有一個二維的向量,

舉例來說這邊有一個二維的向量84,

那你很自然的就會知道說這個向量是什麼,我們不需要多做解釋。

但事實上84這個向量是怎麼來的呢?

84這個向量它可以看作是八倍的第一個standard vector

跟四倍的第二個standard vector做linear interpolation的結果。

你把八倍的E1加四倍的E2就等於84。

所以這一個二維的vector,84的意思其實是

第一個element代表了我們現在要用八倍的E1,

第二個element代表我們現在要用四倍的E2,

然後用八倍的E1、四倍的E2組合起來就得到84這個vector。

所以一個二維的向量,它的兩個維度,

它的兩個element所代表的數字其實就是E1跟E2

拿來做combination產生這個vector時候的weight。

所以今天我們其實是用E1跟E2兩個standard vector

來描述一個二維的向量。

而這個E1、E2它們組成的vector set

其實就是一個coordinate system,其實就是一個座標系。

那由standard vector所組成的座標系

叫做直角座標系或者叫做Dcard座標系。

那這個其實是大家都耳熟能詳的。

當我們一般沒有告訴你說座標系是什麼的時候,

我們指的就是直角座標系。

那其實座標系這個概念,coordinate system這個概念,

我們在這門課裡面其實是一直,已經就一直使用了,

我們一直假設我們是在直角座標系上,

只是之前都沒有明確的說出來而已。

那事實上你不一定要使用直角座標系,

你完全可以使用其他的座標系。

那你假設我們現在有另外一個新的座標系,

在這個新的座標系上面,我們的座標系裡面的成員

現在是B1、B2。

剛才是E1、E2,現在換成B1、B2。

那B1是1E,B2是-1E。

那現在同一個vector,同樣是藍色這個vector,

它在新的coordinate system下看起來,它就變得不一樣了。

因為這個藍色的vector,你會發現它是6倍的B1減掉2倍的B2。

這個你用心算就可以算出來,6倍的B1減掉2倍的B2,

6倍的B1減掉2倍的B2,你就得到這個藍色的vector。

好,那既然用6倍的B1減2倍的B2可以得到藍色的這個vector,

我們現在把B1、B2劃出來,6倍的B1減2倍的B2,就得到藍色的vector。

所以在這個新的座標系上,這個藍色的vector它並不是84,

它應該是被寫成6-2。

因為在這個座標系裡面,你有兩個vector B1、B2,

那你用6倍的B1減掉2倍的B2,會等於現在藍色的這個vector。

你用6倍的B1減2倍的B2,會等於現在藍色的這個vector。

那這個藍色的這個vector,在用B1和B2當作你的coordinate system的情況下,

你就會把它寫成6-2。

所以今天在直角座標系上,藍色的這個vector是84,

但是在一個新的coordinate system下,它不是84,它是6-2。

所以如果你從這個standard vector所構成的直角座標系來看,

這個vector是84,如果你在另外一個座標系上,看起來它就變成6-2。

這就跟我們這張開頭裡面所講的一樣,假設藍色的vector是水,

如果從魚的觀點來看的話,水就是家。

如果從人的觀點來看,水就是可以喝的東西。

同樣都是水,但是從不同的生物的角度來看,它就是不一樣的。

如果你想知道這是什麼的話,這其實是繪繪。

其實用繪繪來舉例其實不是很適合,因為繪繪其實也不是人類,它是個模組。

然後同樣的vector的representation,在不同的座標系上,它可能是不同的vector。

舉例來說,在直角座標系上,假設你有一個vector,你說它叫做2-3,

那它就是兩倍的e1加上三倍的e2。

那如果你把它在空間中畫出來的話,它就在這個位置,兩倍的e1加三倍的e2。

假設你有另外一個直角座標系,它裡面的成員是b1跟b2,

那今天我告訴你說,在這個座標系上,我們有一個向量也叫做2-3,

但是這一個2-3跟這一個2-3,它們就是不同的2-3。

它們是不同的,它們都是2-3,但是它們就不是同一個2-3。

這個真的是非常的神奇。

所以在溝通的時候,你要講清楚說,現在我們有一個vector,它是2-3,

但它到底是在哪一個座標系上看到的2-3呢?

在直角座標系上看到的2-3是這樣。

但是如果在另外一個座標系上,當你說2-3的時候,你指的是一個兩倍的b1加三倍的b2合起來的vector。

那它在直角座標系上其實是4-2.5,但在這個座標系上看到的是2-3。

這就好像是說,舉例來說,直角座標系是魚,另外一個座標系是猴子,

對魚來說,牠的所謂的家是在水裡面,對猴子來說,所謂的家是在樹上。

這個是福祿猴,我相信已經沒有人記得牠是什麼了。

你們記得牠是什麼?

那並不是所有的vector set都可以拿來當作coordinate system來用。

一個vector set B,它可以被當作coordinate system來用,如果它滿足下面兩個條件。

哪兩個條件呢?第一個條件是,這個vector set,如果它要能夠當作n為空間的一個座標系的話,

如果一個vector set B,它可以拿來當作rn這個空間的座標系的coordinate system的話,那它要滿足下面兩個條件。

第一個條件是,這個vector set必須要span rn,也就是rn裡面的每一個向量都可以用這個vector set做linear combination以後得到。

這件事情非常自然,非常自然你應該要有這個條件,因為假設有一個vector set,它沒有辦法span整個rn,

那你就可以在rn裡面找到一個成員,無法用vector set裡面的成員做linear combination以後得到。

如果今天你的vector set沒有辦法span整個rn,你就有可能在rn裡面找到一個vector,

它無法由你的coordinate system裡面的vector做linear combination得到,那這個vector它就沒有representation了,那這是我們不能接受的。

每一個vector都,如果你要定義一個座標系的話,有了這個座標系以後,每一個vector應該都可以用這個座標系來表示,不能用某些vector,不能用這個座標系來表示。

所以第一個條件必須要被滿足。第二個條件是什麼呢?第二個條件是,這個vector set它必須是independent的。

我們在下一頁會更詳細的解釋,為什麼這個vector set必須是independent呢?

因為如果這個vector set不是independent的話,一個vector在這個coordinate system下,一個vector在這個座標系下,

它就會有不止一個表示式,它的表示式就不是unique的,那它的表示式如果不是unique的話,這不是我們要的。

我們希望當我們有一個座標系的時候,每一個vector它用這個座標系來表示的時候,都只有唯一一種表示法,那如果多個表示法的話,就會錯亂了。

所以我們希望這個vector set B它必須是independent的。那為什麼independent就一定有唯一的表示式呢?

我們在下一頁會提供一個證明,但我相信這對大家來說應該都不困難,應該可以輕易的做出類似的證明,或輕易的理解這件事情。

好,那現在呢,一個coordinate system,一個vector set它要被當作coordinate system的條件有下面兩個。

那如果你再仔細想想的話,這下面兩個條件合起來告訴我們B是什麼呢?告訴我們B是Rn的basis。

我們說一個subspace,Rn是一個subspace,n維的向量所集合而成的n維的空間是一個subspace。一個subspace它的basis的條件是,這個vector set必須要span這個subspace,還有這個vector set必須是independent。

那這個coordinate system,這個B呢,如果它可以被當作coordinate system來用的話,它確實滿足了Rn的basis這兩個條件,它可以span Rn,它是independent的。

所以一個subspace它的coordinate system,你就有一個vector set要可以被當作coordinate system,它的條件是什麼?它的條件就是它必須要是這個subspace的basis。

所以一個vector set能夠當作Rn的coordinate system,它的條件是它是Rn的basis。

所以我們講了這麼多basis,就是要告訴你這件事情,你知道什麼是basis以後,你就會知道說basis可以被當作是它所span出來的subspace的coordinate system來用。

好,那這邊是想要告訴你說,為什麼一個vector set是independent的,它的representation就會是unique的。好,那我們假設我們有一個independent的vector set,U1到Uk,然後我們現在要證明的事情就是說,

假設我們用U1到Uk做linear combination,我們有vector U1到Uk,我們有這個coefficient A1到Ak,我們把U1到Uk用A1到Ak做linear combination以後可以得到V。

那這個可以得到V的這個coefficient,V1到Vk,它是unique的,你不可能有兩組不同的A1到Ak。好,怎麼說呢?你可以用反證法。

你先假設說有兩組不同的coefficient,一組是A1到Ak,把A1到Ak跟U1跟Uk做linear combination以後得到V。那你又有另外一組coefficient,B1到Bk,你用B1到Bk對U1到Uk做linear combination以後得到V。

那這個時候呢,假設A1跟B1這兩組coefficient它們是不一樣的,這個時候你會造成矛盾,怎麼造成矛盾呢?

如果我們現在把上面上下兩個式子進行相減,V減V就是0,我們把它放到右邊,那把A1U1、A2U2到AkUk減掉B1U1、B2U2到BkUk,你得到的結果就是A1減B1乘上U1,加A2減B2乘上U2,加到Ak減Bk乘上Uk。

那我們前面已經有講過說U1到Uk它是independent vector set,根據independent vector set的定義,independent vector set如果要做linear combination產生zero vector,唯一的可能是這些coefficient都為0,這個是independent的定義。

這些coefficient都是0,那這些coefficient都是0告訴我們什麼事呢?這些coefficient都是0告訴我們說A1等於B1,A2等於B2到Ak等於Bk,所以A1到Ak這組coefficient跟B1到Bk這組coefficient它們其實是一模一樣的,那就跟你一開始的假設是矛盾的,所以你就固得正。

那現在假設我們有一個Rn這個subspace的basis,我們這邊寫作B,B裡面有n個成員U1到Un,那因為現在我們的subspace是Rn,那我們在前一堂課已經講過說Rn的basis的數目一定是n,所以我們這邊會告訴你說basis裡面就有n個成員U1、U2。

我們現在把這個basis拿來當作coordinate system來用,我們把這個basis拿來當作coordinate system來用是什麼意思呢?

我們就是說,今天隨便給我們在Rn空間中的一個vector B,我們去找出一組coefficient,我們用這組coefficient對U1到Un做linear combination,會得到B。我們有一個向量B,然後我們算出說什麼樣的C1乘上U1加什麼樣的C2乘上U2加上什麼樣的Cn乘上Un,它會等於B。

然後你再把這組coefficient C1、C2到Cn拿出來,你把這個basis或者是coordinate system裡面的成員做linear combination得到B,那你再把做linear combination的時候所用的那個coefficient C1到Cn把它拿出來,它就是一個vector。

而這個vector是在B這個coordinate system下,看V的時候,它的representation。如果是英文的話,叫做B-coordinate vector of V,這個對大家來說也許是稍微有點複雜這樣子。

如果你有一個coordinate system,我們這邊寫做B,你把它裡面的成員做linear combination以後得到V,那linear combination的coefficient,linear combination的weight,就是這個V在B這個coordinate system下的representation。

這邊是寫做C1、C2到Cn。這個在B的coordinate system下的representation,我們寫做V,然後再加一個中花號,然後再加一個下標B,代表說用B的coordinate system看V的時候的樣子。

這邊大家有問題要問了嗎?沒有嗎?我知道說V中花號B這個對大家來說應該是一個比較陌生的符號,所以我們再解釋一下。

V中花號B到底是什麼呢?中花號裡面的V是一個vector,這個vector是在standard vector所形成的coordinate system,也就是在直角座標系下面看到的V。

一個vector,你其實在沒有指定座標系之前,你根本就無法描述它。一個vector沒有指定座標系之前,它就是一個vector,你就無法描述它。

所以中花號裡面的這個V,你預設它是用直角座標系來描述的一個vector。這個vector在直角座標系下描述的時候,它是V。如果加上中花號B以後,它仍然是一個vector,只是它現在換作是在B這個coordinate system,在B這個座標系上描述的一個新的vector。

我們叫做V中花號B。

直角座標系我們這邊用一個ε來表示,就standard vector所形成的座標系,叫做直角座標系,又叫做笛卡爾座標系。

如果我們今天把一個vector V在直角座標系的觀點來看待,它就是原來的V自己。

我們現在有一個座標系,這個座標系是B,這個座標系它會是一個三維空間的杯子,它裡面的vector都一定是independent的,這三個vector一定可以span出三維的空間。

在這一個新的座標系下,我們有一個vector叫做36-2。這個36-2的vector在直角座標系上看起來是什麼樣子呢?你要找出36-2這個vector在直角座標系上面的樣子是很簡單的。

你就把3乘上第一個vector,加上6乘上第二個vector,加-2乘上第三個vector。

經過一番運算就是36-2在直角座標系上看起來的樣子。

所以它們其實是同一個vector,但在直角座標系跟B上面看起來是不一樣的。

那這邊再舉另外一個非常簡單的例子,有一個C這個座標系,它有三個vector,然後在這個C這個座標系上我們有36-2這個vector。

那這個36-2這個vector在直角座標系上看起來是什麼樣子呢?你就把3乘上第一個vector,6乘上第二個vector,-2乘上第三個vector,把它們全部都加起來,你得到一個新的vector叫做13-27。

所以同樣是36-2這個vector,在B這個coordinate system跟這個C這個coordinate system下看起來它們就是不一樣的。

那in general而言,假設你有一個coordinate system B,它裡面就是一堆vector,那你可以把這些vector集合起來,你可以把這些vector當作某一個matrix的column來看待。

所以一個coordinate system B你可以把它用一個matrix B來表示。

那in general而言,假設我們給你一個vector,假設我們給你一個vector在B這個coordinate system下的representation,

如果你要把B找出來的話,你要做的事情就是,假設這個B下面看到的vector,它的n個dimension的value分別是C1、C2到Cn,

那你就把C1、C2到Cn對U1、U2到UN做linear combination,得到的結果就是在直角坐標系上面看到的vector。

你現在你知道某一個vector在B這個坐標系上,它看到的樣子是C1、C2到Cn,你要把它還原成直角坐標系的樣子,怎麼做呢?

你把C1、C2到Cn乘上U1、U2到UN,你就得到直角坐標系上的表示,也就是V。那這個運算呢,你就可以把它簡化成是B這個matrix乘上V括號B這一個vector。

上面這個式子,把U1到UN做linear combination,就是把B這個matrix乘上V下標B這個vector,所以它是一個matrix vector的product。

所以我們知道說,假設我們在B的這個coordinate system下有一個vector長這樣子,我們把它乘上這個coordinate system所形成的matrix,那你就可以得到它在原來的直角坐標系上長什麼樣。

好,那接下來呢,是反過來,我們剛才是從別的坐標系轉成直角坐標系。

假設我們在直角坐標系上有一個vector,我們想換一個coordinate system,從另外一個coordinate system來看待這個vector,然後想知道說在另外一個coordinate system上面,看這個vector的時候,這個vector長什麼樣子。

好,那我們現在有一個vector1-44,我們有一個這個coordinate system,它裡面有三個vector。好,那現在如果我們要找出V下標B的話,也就是我們要找出說,如果我們現在要用這三個vector做linear combination得到V的話,到底這三個vector前面乘上的係數C1、C2、C3分別應該是多少。

那你只要把C1、C2、C3都解出來就沒事了,就結束了。

好,那怎麼解C1、C2到C3呢?C1倍的第二個vector加C2倍的第二個vector加C3倍的第三個vector,要等於這個vector B,然後把C1、C2、C3的解出來。

怎麼解呢?把這個coordinate system先用一個matrix來表示,那我們知道說,把這個matrix B乘上在B這個coordinate system下的representation,就會得到在直角座標系下的representation V。

那你要現在給,之前是給定VB跟B,要你求V,直接相乘就好,現在給定的是V跟B,但是沒有給你VB,那怎麼把VB求出來呢?

那就把這個式子左右兩邊都乘上B inverse,我不應該把它畫在右邊的,相量乘在左邊右邊是不一樣的,乘一個B inverse,就結束了。

所以今天呢,如果給你一個直角座標系上的表示,也就是V,然後你要把它轉成某一個coordinate system B下面的表示,那你就把V乘上B inverse,就把直角座標系上的表示轉成B這個coordinate system下的新的表示。

那這邊你可能會問的一個問題就是,B是不是invertible的呢?今天我們既然可以把這個式子左右都乘上B inverse,意味著B是invertible的,這個假設是否永遠都是成立的呢?

你仔細想想,它永遠都是成立的,對不對?因為B是一個independent的vector set,然後我們在講invertible的時候,我們有一個,我們列出了檢查一個matrix是不是invertible的種種的方式,記得不知道是有九條還是十條。

那這裡面就有一條說,如果今天你的這個matrix是一個n by n的matrix,當它的color是independent的時候,它就是invertible。

所以今天basis裡面的vector都是independent,coordinate system裡面的vector都是independent,你把這些independent的vector表示成一個matrix的時候,這個matrix是invertible的。

所以到這件事情你就不用擔心,它是invertible的。

這邊就是summarize一下我們到目前為止講過的東西,假設你的coordinate system這邊寫作B1到Bn,然後現在同樣的vector,在笛卡爾座標系上看起來是V,在直角座標系上看起來是V,在新的coordinate system加B上面看起來就是V8號B。

那怎麼在這兩個座標系之間進行轉換呢?你要注意其實這個vector永遠都是同一個vector,它只是說在兩個不同的座標系上,它就看起來有不同的樣子。

你要從右邊轉到左邊,你就乘上一個B,你要從左邊轉到右邊,你就乘上一個B inverse。

我相信也許離開了這個教室以後,你就會忘記說到底左邊到右邊是要乘B inverse還是乘B了。我覺得這個其實有點不那麼直觀,就是左右兩邊分別代表了不同的座標系,左邊是直角座標系,右邊是B所構成的座標系。

那從B所構成的座標系要換到直角座標系是要乘上B的,然後從左邊要換到右邊,從一般的座標系要換到B所構成的座標系是要乘上B inverse的。

實在想不出一個比較好的計法。你可以想成,左邊是現實的世界,是我們麻瓜的世界,右邊就是魔法的世界。

但其實麻瓜的世界和魔法的世界是在同一個地方的,並不是說有另外一個空間是魔法的世界。你們都知道,麻瓜的世界和魔法的世界其實是在一起的,只是從魔法的角度和麻瓜的角度看到同一個東西是不一樣的。

比如說在魔法世界裡面的魔法庫,在現實世界你就覺得它只是一個舊的電話亭,或者是說霍格華茲在麻瓜的眼中就只是一個廢棄的古堡,但是在魔法世界的人看起來就是不一樣的。

那如果你要從麻瓜的世界到魔法的世界,是要乘上B inverse的,我實在不知道為什麼要乘上B inverse。那你可以想成,從麻瓜的世界到魔法的世界,你是要跨過九幼四分之三月臺。

這個其實實在是很牽強,這個是九幼四分之三月臺的牆,然後這個是推車,所以要乘上B inverse。實在是太牽強了,如果你想得到更好的計法的話,你再跟我講好了。

好,所以就是這樣子。假設你有一個basis,你有一個coordinate system是B1到Bn,那B1到Bn裡面的某一個成員Bi,他在這個coordinate system下看起來是什麼樣子呢?他其實就是Bi。

所以,今天coordinate system下的每一個成員B1到Bn,在自己的那個座標系,在B這個subvector set裡面的成員,在B這個座標系上看起來,就是E1、E2到En。

好,就這樣。那這個呢,講的就是座標系。那接下來呢,就是舉一些例子,告訴大家說呢,轉換座標系看起來像是什麼樣子,還有它有什麼樣的好處。

舉例來說,這邊有一個高中的時候,大家都學過的橢圓。這個橢圓的長邊是3,短邊是2。這個橢圓的方程式呢,你可以寫成x²除以3²加y²除以2²等於1。

好,那這個是我們在高中的時候就已經學過的橢圓的方程式。那如果一個橢圓是正的,那我們知道怎麼寫出它的方程式。

但是如果它是斜的,你把左邊這個橢圓轉45度變成右邊這個橢圓,要把它的方程式寫出來,可能就比較麻煩了。

但是現在我們可以用座標轉換的觀點來看待右邊這一個橢圓。

好,怎麼看待右邊這個橢圓呢?如果我們今天知道怎麼寫出一個正的橢圓的方程式,那如果把它旋轉以後,它的方程式你就不會寫了。

那怎麼辦?你現在創造一個新的座標系,你在新的座標系上去看這個橢圓,它就變成是正的。

就假設你今天有一個新的座標系,這個新的座標系裡面的成員就是B1到B2,這個新的座標系裡面的兩個軸就是B1和B2。

那你用B1和B2來看待這個橢圓的話,這個時候你就會發現說這個橢圓其實是正的,也就是你現在頭如果歪一邊這樣看,它就變成是正的。

好,那現在這個B1、B2你可以寫成二分之根號二、二分之根號二,它這個是B1,然後B2就負二分之根號二、二分之根號二。

那這邊在指定這個basis的時候,這邊在指定這個coordinate system的時候,我們會讓這個coordinate system裡面的每一個vector,它的長度都是1。

那其實一個coordinate system,它裡面的成員的長度不一定要是1,只是原來在這個直角座標系上,每一個成員的長度都是1,然後你有一個你知道橢圓的方程式怎麼寫。

如果今天在一個新的座標系上,這個新的座標系上,那些coordinate system裡面的成員的長度不是1的話,那一個橢圓的方程式的公式它就會改掉。

所以我們現在為了不要讓橢圓的那個方程式的公式改掉,所以我們的新的座標系,它的兩個軸、它的兩個component、它的兩個element,它的長度也都讓它變成是1。

好,那今天在原來直角座標系上,我們有xy這個向量,那在同樣的向量,在新的座標系上,我們看到的表示式是x' y'。

xy跟x' y'之間有什麼樣的關係呢?如果我們知道這個xy跟x' y'之間的關係,我們就可以在新的座標系下描述這個橢圓。

因為這個橢圓,如果在新的座標系下,我們知道它是3平方分之x' 平方,加上2平方分之y' 平方等於1,這個是橢圓在新的座標系下的方程式。

那我們現在只要知道x' y' 和xy之間的關係,把這個式子裡面的x' 跟 y' 都換成x 跟 y,然後就結束了。

好,那xy跟x' y'之間有什麼樣的關係呢?我們之前已經講過說,從一般人的世界換到魔法世界,你是要乘上b inverse的,所以你把xy乘上b inverse,你就會得到x' y'。

那b inverse是什麼呢?你就把b取inverse,它長得是這個樣子,那這個你就要算一下,算一下一個matrix的inverse。那二乘二的matrix的inverse是有個方式,你就是可以記下來啦,你就可以記下來。

如果你沒有記下來也無所謂,就是用reduce or hlform,把matrix的inverse把它找出來。

好,所以我們現在知道了xy和x' y'之間的關係,所以我們就可以把x'用這個很複雜的2分之√2x加2分之√2y表示,

y'我們就可以把它用很複雜的2分之√2x加2分之√2y來表示,然後把它通通代進去,你就得到這個斜的橢圓的方程式了。

好,那這邊是另外一個例子,假設現在我們有一個雙曲線,這個雙曲線它也不是一個正的雙曲線,它是一個斜的雙曲線,這個斜的雙曲線它的方程式寫作下面這個樣子。

好,現在我們要問的是說,如果我們有一個新的coordinate system,在這個新的coordinate system上看起來的話,這一個雙曲線它是長什麼樣子?

這個新的coordinate system它的兩個vector,一個就是在x'的這個方向上,另外一個就是y'的這個方向上。

我們假設右邊這個紅色的箭頭跟原來我們所熟知的x座標,它中間的夾角是30度。

好,那這兩個vector它們所指的方向,其實就是現在我們所考慮的這個雙曲線的漸進線。

好,那我們很直覺的知道說,今天當我們從這個x' y'的這個新的座標系上來看待原來的這個雙曲線的時候,它就變成長的是這個樣子,它就變成了是一個正的雙曲線。

好,那我們怎麼把xy換成xyy'呢?那首先我們就是先得把我們的coordinate system把它寫出來。

我們的coordinate system裡面有兩個成員b1到b2,那它們的式子分別就寫成2分之√3 2分之1,它就指向這個方向,跟這個-1 2分之√3指向這個方向。

那其實一個coordinate system有很多的定法,我們說只要是一個basis,就是一個coordinate system。

雖然說我們在舉這些例子的時候,你會發現說,我們的coordinate system裡面的成員,我們都讓它長度一樣,我們都讓它是正交的,我們都讓它是垂直的。

但是事實上,你完全不需要這麼定,你完全可以定一些非常奇怪的coordinate system。

coordinate system裡面的這兩個vector,只要是independent的就行,它們不一定要長度一樣,它們也不一定要是互相垂直的。

好,那只是我們這邊在定的時候都是定成兩個vector是垂直的,然後它們長度是一樣的,那事實上你不一定要這麼做。

好,那現在V等於XY,V括號B等於X' Y' 那我們知道說,把V下標B乘上matrix B會等於V。

也就是說,我們知道XY乘上這個matrix會等於X' Y' 這樣我們就知道了XY跟X' Y'之間的關係。

好,我們現在知道XY跟X' Y'之間的關係,你就把equation裡面的X跟Y通通換掉,用X' 跟Y' 換掉,你就得到新的式子。

也就是說,在這個新的coordinate system下面,你看到的這個雙曲線,它的方程式其實是X' 乘上Y' 等於3。

好,那這個就是這一門課的結論了,那這個我們剛才已經講過了,所以這一頁我們就跳過,那其實還有一點點時間我們就講下一份投影片。