那現在我們在這份投影片裡面呢,我們就要進一步來看待一個function。同個function,在不同的coordinate system下面看起來,它也是不一樣的。

好,那所以今天這份投影片要講的事情就是,我們要在某一個coordinate system下面去描述一個function。那這個是對應到課本的4.5。

那為什麼我們要在不同的coordinate system下去描述同一個function,這麼做有什麼好處呢?假設我們在原來的直角坐標系上有一個function,它是一個直角坐標系上的vector representation當作input,它是一個直角坐標系上的vector representation當作output。

那假設這個function很複雜,這個時候你可以轉換用新的坐標系來看待它,舉例來說,就是說在新的坐標系上,你的input可能是比較簡單的,它是同一個vector,但是在直角坐標系上看到是一個樣子,然後在新的坐標系上看到是另外一個樣子。

然後現在output在原來的坐標系上跟新的坐標系上看起來也不一樣,因為input output都變了,所以這個function就變了,然後希望它是變得比較簡單的,這就是做這個coordinate system的妙用,本來你可能有一個比較複雜的function,在原來的直角坐標系上看起來是比較難算出它是什麼樣子的。

但是現在假設你在新的坐標系上來看待它,它可能就會變得比較簡單,變得比較能夠interpret,變得比較容易處理,那這個就是做坐標系轉換的好處。

我們上週講,我們這個禮拜三的時候講到什麼呢?我們講到說,我們現在有了coordinate system這樣的概念,我們就可以用不同的觀點來看待同一個function。

然後接下來我們要講的是說,當我們用不同的觀點來看待這個世界的時候,我們之前講說,從不同的觀點來看待這個世界,那個vector看起來就不一樣了,那現在我們要講說,從不同的觀點來看待這個世界的時候,function看起來就不一樣了。

好,那從不同的觀點來看待一個function有什麼樣的好處呢?假設你現在在原來的直角坐標系上,你有一個比較複雜的function,你可能覺得很難分析它,那你現在就轉到另外一個新的坐標系上。

那因為轉到一個新的坐標系上,所以這個function的input output看起來都會不一樣,那希望當我們有這個新的input output的時候,這一個function看起來會是比較簡單的。

好,那以下就是舉一個例子,假設我們現在有一個linear的transform,這個transform叫做T,這個transform做的事情是什麼呢?這個transform做的事情是,假設現在在空間中有一條直線,在二維的空間中有一條直線,這條直線會通過原點。

那這個T它的工作就是對這一條直線做reflection,也就是說假設你現在的輸入是x1 x2,通過這個T以後就是對以L這條直線為軸做reflection,就是以L這條直線為軸做reflection。

所以你input如果是x1 x2,那通過這個linear transform以後,output就變成T of x1 x2,就是落在這一個位置,這是我們現在要考慮的一個linear的transform T。

那現在假如叫你把這個T寫出來的話,假設叫你寫出這個T長什麼樣子的話,你會發現說是有一點困難的,按照我們之前學過的事情,我們知道說,假設我們想知道這個T背後的matrix它長什麼樣子,我們就是把center vector當作這個linear function的輸入,我們就可以知道它背後的這個matrix,它的每一個color長什麼樣子。

在這份投影片裡面,我們用括號T來代表T這個linear transform,它背後所對應的那一個matrix。

那如果我們想要知道那個matrix長什麼樣子,如果我們想要知道那個matrix的第一個color長什麼樣子,我們就把E1帶到T裡面,看它的輸出是什麼,它就是現在我們要找的matrix的第一個color。

那如果把E2帶進去,得到T of E2,那就是我們要找的那個matrix的第二個color。

但是現在問題是說,把E1帶進去,而E1在這個圖上長這個樣子,那做完reflection以後大概就長這個樣子,它的座標到底是什麼,你沒有那麼好算。

如果把E2帶進去,而E2長這樣,它做完reflection以後大概是長這樣,但它實際上的座標是什麼,你也不太好算。

如果你可以算出T of E1,T of E2,那你就可以知道這個reflection的transformation,它的equation長什麼樣子,它背後對應的matrix長什麼樣子。

那現在問題就是,這個沒有那麼好算,那怎麼辦呢?

今天假如我們考慮一個special的case,假設我們這一條L這一條直線,它並不是任意一條直線,它是一條水平線。

如果L這一條直線是一條水平線的話,這個問題突然之間就變得非常簡單了,假設L是一條水平線的話,

那這一個linear的transform,我們現在把L是水平線的linear的transform,L是水平線這個特別的例子,它的linear transform寫成T'.

這個T'長什麼樣子呢?事實上你even可以不用紙筆,就是坐在那邊想一想,你就可以想得出來。

因為假設我們現在把x1 x2帶到這個T'裡面,它的output會是什麼呢?它的output顯然就是x1-x2,對水平的這一條線,對x軸做reflection。

那第一,x軸不變,那y軸呢,y軸的值就乘上一個負號,所以把x1 x2輸入T',你的輸出就是x1-x2。

那你要找出T'長什麼樣子,T'背後所對應的metric長什麼樣子,其實也非常的容易,怎麼樣的非常容易呢?你就把e1跟e2分別都帶進去。

當你把e1帶到T'裡面的時候,你會發現你的輸出仍然是e1,所以T'的第一個color就是e1。

當我們把e2帶到T'裡面的時候,你會發現它的輸出就是負的e2,把e2帶進去,做完reflection以後,它的輸出就是負的e2。

那把負的e2當作T'的第二個color,那你就可以找出T'長什麼樣子。

所以在這個special的case裡面,我們是可以找出T',就假設在一個reflection的linear transform,in general而言,你要寫出它的linear transform的metric不太容易。

但是如果我們知道說這條直線是一個非常特別的直線,它就是一條水平線的話,你要找出它的linear transform的metric,就是非常容易的。

那所以呢,假設我們回到我們原來考慮的問題,L是任意一條直線,我們其實可以藉由座標轉換的方式,從一個新的coordinate system上去看待這個問題。

我們可以找一個新的coordinate system,在這個新的coordinate system上面,L它就是一條水平線。

那我們如果用新的coordinate system來看待這個T的話,T就會變成一個比較簡單的linear transform。

好,那我們想要把L當作一條水平線,如果我們想要把L當作是XO,把L當作是一條水平線,那我們要從什麼樣的coordinate system去看待它呢?

那這個結果,其實這個對大家來說應該非常的直覺,就是我們假設把跟L平行的這個vector b1當作是這個coordinate system的其中一個軸,把跟L垂直的b2當作是另外一個軸。

在這個新的coordinate system下面,這個新的coordinate system它是一個頭歪一邊的coordinate system,它是一個落枕的coordinate system,落枕的時候頭會歪一邊,所以這個是落枕的coordinate system。

從這個coordinate system上看起來的話,對L這條直線做reflection這件事情,其實就是對水平線做reflection。

好,所以現在我們有一個,這邊就跟大家說明一下,如果你把b1代到T裡面,它會得到b1,如果你把b2代到T裡面,把b2對L做reflection,它顯然會得到這個負的b2,這個是非常直覺的。

好,那這邊我們有一個新的notation,這個新的notation叫做T括號b,我們之前已經學過一個notation叫做V括號b,V括號b是什麼意思呢?

V括號b的意思就是,我們在b這個coordinate system下去看待V長得什麼樣子。那T括號b是什麼意思?T括號b一樣就是,我們從b這個coordinate system下去看,看T長什麼樣子。

那什麼叫做從b的這個coordinate system下去看T長什麼樣子呢?它的意思就是,假設你現在的這個linear transform,它的input跟output都用b coordinate system來表示,都用一個新的coordinate system來表示,用b這個coordinate system來表示,那這個linear transformation長什麼樣子。

那在今天這個問題裡面,到底T和b長什麼樣子呢?其實非常的直覺,你幾乎就是一秒就可以算出來了,因為在新的coordinate system下面,T所做的事情就是對水平線做reflection。

所以在新的coordinate system下面,我們知道T就是100-1,我們剛才講過說對水平線做reflection,那個transformation的metric就是100-1。

所以今天在b這個coordinate system下,T這個linear transform,它所做的事情就是100-1。那我們可以從另外一個觀點來看待這件事情。

b1在構成這個coordinate system的basis下面,第一個vector b1,如果在新的coordinate system下,它看起來就是1-1,b2在新的coordinate system下,它看起來就是1-2。

那上次我們有講過說,在新的coordinate system下面,每一個構成這個coordinate system的basis裡面的vector,它都是在新的coordinate system下,它看起來就是standard vector。

所以b1在新的coordinate system下,看起來是1-1,b2在新的coordinate system下,看起來是1-2。所以我們說我們想要知道一個metric長什麼樣子,我們就是把standard vector帶到這個metric裡面。

就把這個standard vector帶到這個function裡面,它的輸出就是我們要找的這個function的column。所以現在假設我們想要知道Tb長什麼樣子,那怎麼做呢?

你就把b這個coordinate system下的standard vector帶到這個function裡面,跟這個function做相乘,你就可以知道這個function它的每一個column長什麼樣子。

那在b這個coordinate system下,它的第一個standard vector其實就是b1,它的第二個standard vector其實就是b2。

好,那我們就來看一下,如果我們知道說如果把T乘上b1,就會等於b1它自己。那現在如果我們在b這個coordinate system下看這個問題的話,它就變成說b1先把它轉到b這個coordinate system下。

那我們知道說把b1轉到這個新的coordinate system下,它就是1萬。好,那把它轉到這個新的coordinate system下面,再去把它乘上T,在這個新的coordinate system下看起來的樣子就是Tb。

那你會得到把原來的輸出b1在新的coordinate system下看待的樣子,這邊也是1萬。所以我們現在知道說Tb乘上1萬會等於1萬,所以Tb的第一個column就是1萬。

好,那同樣的道理,我們知道說T乘上b2會等於-b2。那我們現在知道說,那有了這個式子以後,我們把它的輸入和輸出都轉到b這個coordinate system下去看待,我們把這個輸入跟輸出都轉到b這個coordinate system下去看待。

所以我們知道說b2在b這個coordinate system下它是1萬,那-b2在b這個coordinate system下看起來它是-1萬。

所以我們就知道說Tb乘上1萬等於-1萬,所以Tb的第二個column就會是-1萬,所以我們就知道Tb長什麼樣子。

好,那這樣講也許你仍然覺得有點混亂,那我們再重整一下我們剛才做的事情是什麼。我們有一個原來的coordinate system,就是我們的直角坐標型,我們有一個新的coordinate system,它的兩個軸是b1、b2。

那現在我們知道說,在原來的coordinate system下,輸入v,我們有一個function叫做T,輸入v,我們會得到T of v。那這個function做的事情是對一條general的直線L做reflection。

那我們現在可以把v跟T of v都把它放到新的coordinate system下去看待,所以v在新的coordinate system下就是v下標b。

那T呢,T of v,也就是說把v帶進這個function後的輸出T of v,在新的coordinate system下,它看起來是T of v括號下標b。

因為我們有特別選過了這個coordinate system b1、b2,它會使得說現在這個function在新的coordinate system上,它做的事情就是對水平線做reflection。

那我們可以知道說,對水平線做reflection,它的linear transform的matrix長什麼樣子,它是100-1。那這個matrix叫做beta matrix of T,beta matrix of T就把T放在b這個coordinate system下看待的樣子。

b matrix of T就把T這個linear transform放在b這個coordinate system下看待的樣子。所以我們現在呢,我們可以輕易地把在b這個coordinate system下面,T這個linear transform的樣子把它寫出來。

那當我們把Tb寫出來以後,其實我們就可以再回頭去根據Tb把T反推出來。我們寫出Tb以後,我們就可以回頭過去把T反推出來。

好,怎麼做呢?你看一下,我們現在的整個流程圖是這個樣子的。我們有v,它乘上T以後會變成Tb。我們可以把v跟Tb都轉到b這個空間去。

當我們把v跟Tb都轉到b這個空間去,那它們中間的關係就變成T下標b。那現在T下標b寫得出來,我們其實就可以根據T下標b反推原來的T是長什麼樣子。

好,那怎麼反推呢?我們知道說v跟vb之間的關係是b inverse,對不對?我們上次有說過說,從大家所熟知的世界進入到魔法世界,你是要經過九又四分之三月臺的。

所以你是要乘以一個inverse乘以一個b inverse,所以v乘上b inverse會得到T下標b。那從魔法世界回到現實世界是反過來的,你只要直接乘上b就好了。

你只要把T of v下標b乘上b就會變成T of v。那我們又知道說,我們本來是走這一條路,從v到T of v,但我們現在覺得這一條路很難走,所以你就可以繞一下。

怎麼繞呢?你就這樣走,還是這樣走。這兩個結果就是你這樣子走,或這樣繞一圈走,它們是殊途同歸的。

所以這一條路,它們的輸入和輸出都是一樣,都是輸入v,輸出T of v。所以這兩條路,這兩個linear transformation是一模一樣的。所以我們知道說,下面這個linear transformation,T括號等於走上面這一條路。

走上面這一條路怎麼走的呢?你先乘以b inverse,把v先乘上b inverse,然後再乘上Tb,然後再乘上b,就會等於T的括號。

記得這個matrix相乘的時候,是從右邊乘過來的。所以你把b inverse乘上Tb,再乘上b,走這一條路徑,就會等於T的中括號。

所以本來如果你不知道T的括號是什麼,你就走,但是b inverse你知道,Tb你知道,b你知道,你就走這一條路徑,就可以把T求出來了。

我們假設現在知道的是T,你不知道Tb是什麼,那我們其實已經知道說T跟Tb之間的關係就是長這個樣子,所以你就可以在四者兩邊都乘上b inverse跟b。

b inverse可以跟b消掉,所以這個跟這個消掉,然後這個跟這個消掉,所以你就知道說Tb等於b inverse乘T乘b。

所以我們現在如果知道T或者是Tb的其中一個,然後我們又知道b的這個口等之間長什麼樣子,我們就可以在T跟Tb之間做一個轉換。

然後這邊有一個新的名詞要告訴大家,就是如果兩個matrix它們中間可以透過左邊乘一個invertible的matrix,右邊乘一個invertible的matrix得到的話,那我們就說這兩個matrix叫做similar的。

讓大家聽得懂我的意思,我再說一次,就是假設有某一個matrix叫做A好了,有另外一個matrix我們叫做A'。

然後你可以把A的左邊乘上一個invertible的matrix,舉例來說我們這邊乘上p,右邊乘上另外一個invertible的matrix,就乘上同一個matrix的inverse,也就是p inverse。

你把某一個matrix左邊乘上p,右邊乘上p inverse,那會得到一個新的matrixA'. 那這個A跟A'呢,我們說它們中間的關係叫做similar,這個叫做它們是相似的。

那這兩個相似的matrix,它們中間到底是有什麼樣的關係呢?直觀來想,它們中間的關係就是A是某一個linear transform,然後A'可以想成是它在另外一個新的世界下的transform。

它們是同一個transform,但是是在不同的coordinate system下面看待的結果。兩個similar的matrix,它們中間有這樣的關係,它們是同一個transform,但是在不同的coordinate system下面看待的結果。

接下來就是舉一些例子,假設我們有一條斜直線,這條斜直線的方程式是y等於1 2x,那我們現在要把對這條斜直線做reflection的linear transform,這個operator T把它的式子寫出來。

那這個T長什麼樣子呢?我們剛才其實已經看過一模一樣的例子,如果今天是在一般的直角坐標系上,你有點難看出T應該長什麼樣子,所以我們應該要在另外一個坐標系上來看。

那我們現在定另外一個新的坐標系,在這個新的坐標系上,B1等於2 1,那B1是落在這一條我們要考慮的直線上面,B2跟B1是垂直的,B1是2 1,那B2是負1 2。

那我們現在有一個新的coordinate system,我們在新的coordinate system上可以先看出T在這個新的coordinate system上長什麼樣子,接下來就可以反推T在原來的直角坐標系裡面長什麼樣子。

那如果你仍然覺得很陌生的話,你在自己做題目或是考試的時候,你就把這一個圖把它畫出來,你把這個T跟Tb之間的關係把它畫出來,你就會知道說今天T等於B inverse,左邊再乘上Tb,再左邊再乘上B就等於T。

那我們現在先把Tb給它寫出來,Tb長什麼樣子呢,Tb就是100-1,我們知道說對水平線做reflection就是100-1,在這個新的坐標系上,這個T這個乘縫它是對水平線做reflection,所以它是100-1。

那我們現在知道Tb長什麼樣子,接下來唯一要做的事情就是把B跟B inverse把它求出來,然後接下來你就會知道T長什麼樣子了。

那B跟B inverse都已經在右上角幫你寫出來了,所以接下來就只是一些比較繁瑣的運算而已,我們知道說把B乘上Tb乘上B inverse,那你就會得到你的T長這個樣子。

那有的同學可能會問說,為什麼不是訂成另外一個樣子的coordinate system呢,剛才的coordinate system是B等於21,然後B1等於21,然後B2等於-12,那我們為什麼一定要這麼訂呢,我們為什麼不能訂成說這個新的coordinate system,C1就是42,C2就是-0.51呢?

你當然可以這麼訂,你完全可以這麼訂。事實上,如果你這麼訂,在新的coordinate system下面,如果你現在把B這個coordinate system換成C這個coordinate system,我們有一個新的coordinate system叫做C,所以這邊要成C inverse,這邊要成C,我們進入一個新的coordinate system。

主持人問道:"剛才是進入魔法世界,那你知道這種奇奇怪怪的世界其實是很多的,不知道大家有沒有聽過一個東西叫幽界,好像你們都沒有看過《尋者》系列,其實世界上是有很多這種不同的空間的,所以除了魔法世界跟現實世界重疊以外,其實幽界也是跟現實世界重疊的,然後幽界還有很多層,一層一層的下去,然後從來沒有人能夠到過第七層,為什麼呢?"

主持人問道:"那你就不要破梗好了,如果你自己想看的話。還是你想要知道?你想要知道是不是?其實這樣子啦,就是進入下一層幽界,你都會需要耗費比較大的物力這樣子,然後所以沒有人的物力足夠能夠到達第七層的幽界,傳說中只有絕對巫師可以到達第七層的幽界。

但是他真的是這麼寫的,就是只有救世主才有那樣子的法力,然後不知道為什麼主角的兒子,而不是女兒就有那樣子的法力,然後他就帶主角到第七層的幽界。

那第七層的幽界到底是什麼呢?其實就是現實世界這樣子。這聽起來好像很老梗,剛好我第一次看到的時候我是大吃一驚這樣子。就是整個幽界是一個循環的,就從第一層、第二層一直下去,越來越深,到第七層,其實大家都沒有去過的地方,其實就是現實世界。

主持人問我問題,我也沒有辦法回答。所以我們是說,奇奇怪怪的世界是非常多的,所以我們不一定要去B這個可能的世界,你完全可以去另外一個可能的世界,你完全可以去C這個世界,所以我們就把它通通換成C。

好,那我們進入C的這個世界以後,其實在C的這個世界,你看這個linear transform,它仍然是對水平線做reflection,所以在C的這個世界下,看現在T這個linear transform,它其實是不變的,它仍然是100-1。

但是你會發現說,現在我們把100-1前面是乘上C,後面是乘上C-1,跟本來是前面乘上B,後面乘上B-1好像是不一樣的,但是實際上會殊途同歸,你解出來的T會是同一個T,進去的方式不一樣,進去以後是一樣的,出來的方式也不一樣。

你會發現說,不管你是用B的coordinate system看,還是C的coordinate system看,它都是,這個T呢,算出來的這個T呢,其實都會是一樣的。

好,但是你可能會再問說,那我們的coordinate system的兩個basis裡面的兩個vector,一定要垂直嗎?

其實不需要,對不對?在講basis的時候從來沒有告訴你說,basis裡面的vector應該要是垂直的,我們只說它是independent,我們從來沒有說過它是垂直的。

很多同學學到後來都會忘了這件事,因為我們通常在給你一個coordinate system的時候,我們的basis裡面的每一個vector,通常我們比較習慣、比較常見的就是給你垂直的vector。

所以很多人學到後來都誤以為說,coordinate system裡面的每一個vector都一定要是垂直的,但其實不是,從來沒有告訴你說它一定要垂直,它們只要是independent就好了。

所以其實今天呢,我們還可以有一個新的coordinate system,我們說,它這個新的coordinate system,它的D1是4、2,它的D2不一定要跟4、2垂直,它可以完全是另外一個樣子,這樣也可以嗎?

這樣子也是可以的。不過你唯一要注意的事情是說,假設現在你的coordinate system變成D1跟D2,它這個TR在新的coordinate system下看起來就不再是1,0,0,-1了,它看起來會是別的樣子。

好,那這邊是再舉另外一個例子,剛才舉的例子都是我們可以找得出TB,從TB去反推我們熟知的這個直角坐標系的T長什麼樣子。

那現在是反過來說,假設我們知道說,在直角坐標系上有一個乘縫叫做T,我們知道它長什麼樣子,那我們想要知道說,這一個直角坐標系在另外一個世界,在B的世界,在B的coordinate system下看起來應該長什麼樣子。

所以今天這個題目是這樣子的,我們知道在我們熟知的世界裡面有一個T它長這樣,我們想要知道它在B這個世界裡面看起來是什麼樣子的,那我們就先把T在我們的世界裡面長的樣子先把它畫出來。

T在我們的世界裡面長的樣子是,你就根據這個式子,你就可以一秒看出來它說它是3,0,1,1,1,0,-1,-1,3。好,那接下來我們就是要把T在B這個世界的樣子把它找出來。

那怎麼做呢?你就套一下我們這邊寫的這些式子,我們知道說T跟TB的關係,我們也可以知道TB跟T的關係,你就把T代進去,把B-1-1和B代進去,你知道B是什麼,B就是這樣子,B就是1,1,1,1,2,3,2,1,1,1,1,1,1,2,3,2,1,1,1。

那你又可以求出B-1-1,你就可以把TB把它求出來。所以遇到類似的問題,如果考的時候你自己做作業的時候一下子沒有辦法想清楚的話,你其實就是把右邊這個圖把它畫出來,你就可以知道在B這個世界和真實的世界,和直角坐標系的世界,這兩個T跟TB看起來是有什麼樣的關係的。

這邊是下一個例子,這個例子是說,假設現在我們知道說某一個T它代1,1,0進去會變成1,2,1,代1,0,1進去會變成3-1,代0,1,1進去會變成2,1,0,然後問你說T長什麼樣子。

那其實這個問題有一個非常簡單的解決方案,那特本的解決方案是一個捨本逐末的解決方案,它是為了要講coordinate system這個概念,所以用了一個很迂迴的解法,這個迂迴的解法它的概念是什麼呢?

這個迂迴的解法的概念是說,過去我們說把1,1代進去、1,2代進去、1,3代進去某一個function,我們可以得到這個function的column長什麼樣子。

但如果我們代進去的不是standard vector,那我們就無法知道這個function長什麼樣子,代進去的不是standard vector,沒有辦法直接從這個function的輸出得到這個function背後的metric長什麼樣子。

但是現在我們輸入的這些vector它並不是standard vector,但是我們能不能夠把這些輸入從另外一個角度,就是從另外一個coordinate system下看,就把它當作是1,1,1,2,1,3,就把它當作standard vector。

就如果你有一個新的basis,這個basis就是把這三個input當作成員,你的coordinate system就是把這三個input當作basis中的三個vector,當作新的coordinate system中的三個軸,那我們其實就可以輕易地知道說這一個metric,這個system它在新的coordinate system上它長的是什麼樣子。

那事實上你其實完全不需要用這麼迂迴的解法,為什麼呢?因為這一題有一個非常簡單的解法,就是說我們知道代入B1產生C1,代入B2產生C2,代入B3產生C3,也就是B1乘A等於C1,這邊寫一個等號,B1乘A等於C1,B2乘A等於C2,B3乘A等於C3。

然後你把B1、B2、B3合起來叫做一個metric B,所以A乘上B會等於C。

那我們現在的目標是要把A找出來,怎麼把A找出來呢?等號左右都乘B inverse就結束了,都乘B inverse就結束了,然後B跟B inverse可以消掉,所以A就等於C乘上B的inverse。

那B有沒有inverse呢?你就可以自己檢查一下,如果我們把B1、B2、B3這三個vector當作B的三個column,B1、B2、B3它是independent的,一個n-by-n的metric說它所有的column都是independent的,那它是invertible的,所以B是invertible的,所以你就解出A是多少,所以其實這題有一個非常簡單的solution。

接下來我們來看一下這個課本的講法,它是為了要講coordinate system,所以用了一個比較迂迴的講法。

好,那怎麼樣呢?我們知道說現在在我們所熟知的世界裡面,input B1、B2、B3分別會得到C1、C2、C3,我們想知道C長什麼樣子。

那現在我們定義一個新的世界,在這個新的世界裡面,B1、B2、B3它構成了一個coordinate system,那B1、B2、B3能不能構成一個coordinate system是可以的,我們說一個basis就可以構成一個coordinate system。

B1、B2、B3是R3的basis,這件事情是沒有問題的,為什麼?記不記得怎麼檢查一個vector set是不是basis呢?第一個是它都是independent,再來其實還有另外一個條件,不過這臺灣太直覺了,也許沒有出現在你的腦海裡,就是它有三個vector。

一個在R3的空間中,三個vector如果都是independent的,那它就是R3的basis,所以B1、B2、B3它是個basis,所以我們可以拿它來當作一個coordinate system。

我們現在把B1、B2、B3拿來當作一個coordinate system,在這個coordinate system下面,我們看到的B1、B2、B3就變成B1、B2、B3,對不對?

我們知道說coordinate system下的base裡面的每一個vector,在新的coordinate system下看起來都是standard vector。

好,那其實我們也可以把,有了新的coordinate system以後,我們就可以把C1、C2、C3也都轉到新的coordinate system下,所以它是B inverse C1、B inverse C2、B inverse C3。

那接下來呢,我們知道說在新的coordinate system下,輸入E1得到B inverse C1,輸入E2得到B inverse C2,輸入E3得到B inverse C3。

這意味著什麼?這意味著說這三個vector就是TB的三個column,所以TB它的三個column就是B inverse C1乘以B inverse C2乘上B inverse C3。

接下來呢,你可以把B inverse提出來得到B inverse C。

所以我們知道說呢,今天這一個TB啊,它在新的coordinate system下,在B的coordinate system下看起來就是B inverse C。

好,接下來呢,但我們真正要找的是在真實世界的T呢,長什麼樣子?

所以我們要把TB轉成它在真實世界的樣子。

那這個問題沒有很難,因為我們知道說T跟TB它們之間的關係可以寫成這樣的式子。

把B inverse乘上TB再乘上B inverse,把B inverse乘上TB再乘上B inverse,把B inverse乘上TB再乘上B。

我沒有寫錯,我本來想說這邊怎麼是B inverse,那這是因為它是反過來的,所以是B inverse,那如果是從B這個coordinate system進到我們所熟知的世界,就是乘上B。

從我們所熟知的世界進到B的coordinate system,是乘上B inverse,從B的coordinate system出來是乘上B,所以我們把B inverse乘上TB乘上B,會等於T。

然後我們現在知道TB長什麼樣子,它就是B inverse C,它就是B inverse C。

前後乘上B跟B inverse,B跟B inverse就可以消掉,所以得到C乘上B inverse,跟我們剛才那個非常直覺的解法,一開始講的很直覺的解法算出來的結果,列出來的式子是一模一樣。

好,那這個就是這一門課的結論,這一門課最重要的就是這張圖,這張圖上有一個地方我忘了改了,就這個A,我應該把它寫成T的括號,這樣比較一致。

好,所以這一個圖就是我們這一門課,這一堂這份投影片要告訴大家的事情,怎麼在原來的直角坐標系跟新的,你自己訂的一個coordinate system下面進行轉換。

那本來在直角坐標系上看起來比較複雜的function,比較複雜的選項,也許在新的坐標系上看起來會比較簡單,這就讓我想到Inception的全面啟動,大家知道嗎?

那全面啟動的故事是這個樣子的,就是李奧納多他接到一個任務,是要說服一個小孩去解散他的公司。

那在現實世界裡面,說服那個小孩解散公司是很困難的事情,在現實世界裡面,要說服小孩解散公司是一個非常複雜的transformation,你沒有辦法在現實世界做這件事情,因為你根本就,你上去說服他解散公司,他可能就把你打死這樣。

那怎麼辦呢?就是進到他的夢境裡面,這個B的coordinate system就是夢境的世界,所以你要成一個B inverse,成一個B inverse就是進入夢境的世界裡面。

在夢境的世界裡面,李奧納多就只是跟小孩父親臨死前說,I am disappointed,然後就死掉了,所以不知道後面要說什麼。李奧納多告訴他說,後面要講的句子是,I am disappointed that you are trying so hard to be me,然後小孩醒來以後就覺得他不要走父親走過的路,他就清醒以後就把公司解散了。

做到本來在現實世界中做不到的事情,在夢境中比較容易,這個就是coordinate system要告訴我們的事情。