這節課我們要講的是Determinant,就是行列式,這個是你高中學過的東西,但是在大學現行代數會把你高中學過的東西擴展到更高維的空間去。

主持人說:"給剛才才進來的同學講一下說,下週五期中考,考試的範圍是第一章到第四章。其實我們已經把第四章教完了,一二四章都已經講完了,現在唯一沒有講的就是第三章。

考試的地點是有排座位的,你的座位不見得在這間教室裏面,你的座位會公告在SEBA上面,你就透過SEBA確認一下自己的座位在哪裏。

今天這份投影片的內容來自於課本的第三章,還有NIT OCW的教材,我把Reference列在這邊給大家參考。

我們今天要講的是Determinant。Determinant是什麼呢?Determinant是給你一個matrix會對應到一個數值,這個數值就叫做Determinant。

其實當我們摸Determinant,我們只考慮方形的matrix,每一個方形的matrix都會對應到一個數值,這個數值透露出了一些它的資訊,這個數值叫做Determinant。

舉例來說,你可以從一個matrix的Determinant判斷說它是不是invertible的,而一個matrix的Determinant必須要不為0,它才是invertible的。

今天我們要講的包括Determinant怎麼算的,它的定義是什麼,它怎麼算出來的,還有Determinant的特性,最後講一個Cramer's rule。

Cramer's rule我記得高中是有講過的,它叫做克拉瑪公式,對不對?

我們先來講一下Determinant的formulation,在高中的時候你學過行列式,你學過Determinant,在高中的時候你會算二乘以二的矩陣的Determinant,你也會算三乘以三的矩陣的Determinant。

這邊就是勾起一下大家的回憶,二乘以二的矩陣Determinant怎麼算呢?高中的時候你都學過說,你就是把斜對角線AD,就從左上到右下斜對角線的element相乘,再扣掉從右上到左下的斜對角線相乘,你就把AD減掉BC,你就得到A這個矩陣的Determinant。

那三乘以三的Matrix的Determinant呢?三乘以三的Matrix的Determinant,高中你也是學過的,你就按照高中的時候教給你的東西,你把斜對角線A1、A5、A9相乘,再加上A2、A6、A7,再加上A3、A4、A8,然後再減掉A3、A5、A7,然後再減掉A2、A4、A9,再減掉A1、A6、A8,

你就得到A的Determinant。高中的時候你就把這個公式記起來,那這個其實也還蠻好記的,感覺它非常的對稱,感覺就是很make sense,感覺就是如果你要從一個Matrix裡面算一個值出來的話,感覺就是要這麼算。

但是如果是四乘以四的Matrix呢?四乘以四的Matrix,你可能會很直覺地覺得說,是不是就是這樣子算,把這個四個相乘,然後再把它相乘,然後再把這個跟它相乘,把這個跟它相乘,然後再減掉這個,然後再減掉這個,然後再減掉這個,然後再減掉這個。

你可能不知道我在說什麼,不過你可以很直覺地知道說,就是把右邊這個二乘以二跟三乘以三的矩陣得到的結論再推廣,好像就可以到四乘以四。

但是實際上,四乘以四的Determinant不是這樣算的,只有這樣子,所以是更高階的Determinant,到底是怎麼算的呢?我們就先來講一下Determinant的公式長什麼樣子,看了就會嚇一大跳,因為它其實還頗為複雜的。

那怎麼算Determinant呢?這個Determinant的算法叫做Professor expansion,在講Professor expansion之前,我們要先定義一個notation,就假設有一個matrix A,它是一個n by n的matrix,那matrix A下標ij代表什麼?

matrix A下標ij代表說,我們把A的第i個row跟第j個column拿掉,就叫做A下標ij。

我們之前有說,如果是aij,是代表A裡面的一個element,A的第i個row,第j個column的一個element,那A下標ij是指把A這個matrix拿掉第i個row,拿掉第j個column,得到一個新的matrix,這叫做A下標ij。

所以今天假設A是一個n by n的矩陣,大A下標ij就是一個n-1 by n-1的矩陣,n-1 by n-1的矩陣。

所以今天我們定義了一個新的notation,叫做大A下標ij。有了這個新的notation以後,要怎麼算一個matrix的n by n的matrix的determinant呢?就套用下面這個公式。

就是你把matrix A的第一個row拿出來,假設你有一個matrix A,它是一個n by n的matrix,你要算它的determinant,怎麼做呢?

你把它的第一個row拿出來,第一個row就是A1-1,A1-2,一直到A1-n,一直到A1-n,A1-n。

你把A的第一個row拿出來,把第一個row裡面的每一個element乘上一個叫做cofactor的東西,等一下會講說cofactor是什麼。

cofactor也是一個數值,等一下會講cofactor是什麼。

每一個matrix裡面的entry都對到一個cofactor,A1-1有對到一個cofactor叫C1-1,A1-2也對到一個cofactor叫C1-2,A1-n也對到一個cofactor叫C1-n。

把第一個row裡面的每一個成員、每一個數值都乘上它對應的cofactor,全部加起來,就是determinant,你一定聽得一頭霧水。

所以它的定義其實是還頗為複雜的,接下來有人就會問說,為什麼是選第一個row呢?為什麼不能選其他row呢?

可以選其他row,算出來的結果是一樣的,就這樣。

有人說為什麼是選row呢?能不能夠選column呢?可以選column,選column算出來的結果也是一樣的,這件事情就是頗為神奇。

所以你不一定是A1-1乘以C1-1加到A1-n乘以C1-n,你可以Ai-1乘Ci-1加到Ai-n乘Ci-n,你還可以用column來算,你取第j一個column,你把A1-j乘C1-j加A2-j乘C2-j,一直加到An-j乘Cn-j,也是可以的。

所以你今天在做這個cofactor expansion的時候,你不一定要選第一個row,每一個row都可以選,算出來都是一樣的。每一個column你都可以選,算出來都是一樣的。

那接下來的問題就是,cofactor這個到底是什麼東西呢?cofactor的式子寫作這個樣子,cofactor第i一個row第j一個column的cofactor Cij,它就是-1的i加j次方乘上Aij的determinant。

我們剛才講過,Aij是什麼?Aij就是把第i一個row第j一個column拿掉的matrix,就是你本來有一個A,然後你把第i一個row第j一個column拿掉,你把第i一個row,這個我想要寫的是i,它變成這樣子。

沒關係,我這個想要寫的是i,然後第j一個column把它拿掉,這個東西就變成Aij。

好,那Aij是一個比較小的matrix,它是一個n-100,n-1的matrix。假設你知道n-100,n-1的matrix,它的determinant怎麼算,你算出它的determinant,再乘上-1的i加j次方,就是Cij。

那你可能會問說,那你現在是要教,不是要教我們怎麼算determinant嗎?但我不會算Aij的determinant。

沒關係,因為只要矩陣小到3乘以3以下,它的determinant你就會算了。

所以你就是把一個本來最大的matrix,n乘以n的矩陣,然後你把它拿掉第i一個row第j一個column,變Aij,如果它n-1還是很大,你還是不會算的話。

那沒關係,你再套用同樣的公式,你可以算Aij的determinant,就一直層層地算下去,直到那個matrix小到Aij是你知道它的determinant公式長什麼樣子,就結束了。

講到這邊,有沒有同學有問題要問的呢?

好,這樣講你可能覺得非常抽象,所以我們就拿2乘以2的matrix跟3乘以3的matrix來舉例說,2乘以2的matrix,雖然你在高中的時候學過另外一個式子,但是用cofactor expansion算出來是一樣的。

好,那2乘以2的matrix怎麼算呢?我們要先假設一個1乘以1的matrix,它的determinant你是知道的,而1乘以1的matrix,它的determinant是什麼呢?它的determinant就是自己結束。

一個1乘以1的matrix,它裡面只有一個element而已,那它就是determinant的數字,這是定義,我們先定義1乘以1的matrix,它的determinant就長這樣。

然後套用cofactor expansion的式子,你就可以推出2乘以2的matrix,它的determinant應該長什麼樣子。

2乘以2的matrix,它有abcd四個value,那我們高中的時候你已經學過它的公式了,就是ad-ad-bc,但我們現在不要套用高中的時候你學過的公式,我們用cofactor expansion來算。

用cofactor expansion來算,看起來像什麼樣子呢?你先挑第一個row出來。

根據cofactor expansion,你把第一個row,第一個column的值,也就是a,要乘上c1 1,你把第一個row,第二個column的值,也就是b,要乘上c1 2。

那c1 2長什麼樣子呢?c1 1跟c1 2長什麼樣子呢?這個cofactor的公式寫在右上角,你就套用這個公式,所以c1 1就是-1的1加1次方,你現在i代1,j代1,這邊就是代1代1代1代1,所以c1 1就是-1的1加1次方,跟determinant a1 1。

什麼是a1 1呢?a1 1就是把a的第一個row跟第一個column拿掉,我們知道a等於abcd,我們把abcd寫出來,a等於abcd,然後把他的第一個row跟第一個column拿掉,a1 1就是把第一個row跟第一個column拿掉,那剩下什麼呢?剩下d。

所以呢,c1 1就是-1的1加1次方,跟d這個1乘以1的metric的determinant。我們又知道說,這一項就是d,這一項就是d,所以結束,你算得出c1 1長什麼樣子。

那c1 2呢?一樣套用右上角這個式子,-1的i加j次方,-1的1加2次方,跟aij,現在我們要找的aij是a12,我們知道a等於一個2x2的metric,2x2的metric。

a12是什麼?a12的意思就是說,拿掉第一個row跟第二個column,剩下的值就是c,所以我們這邊要算,c這個110的metric,他的determinant就等於c,然後前面的-1的1加2次方,1加2是3,-1的3次方等於-1,所以這邊算出來就是-c。

所以算出來跟你高中的時候得到的貝德公式是一模一樣的,就這樣子。

所以220的metric,你知道要怎麼算。

接下來看一下330的metric,假設用convector expansion,你算一個330的metric,你會怎麼算呢?你就先隨便選一個row,那我剛才講過說,你不一定要選第一個row,你可以選任何一個row,算出來的結果會是一樣的。

你選任何一個column,算出來的結果也會是一樣的。

假設我們現在選的是第二個row,假設我們選第二個row,那我們選第二個row的話,我們就把第二個row的metric裡面,第二個row的element a21、a22、a23拿出來,然後把它們通通乘上convector c21、c22、c23,你就得到a的determinant。

那我們知道a21就是4,a22就是5,a23就是6,接下來你要把c21、c22、c23求出來,c21是什麼,就套一個公式,c22是什麼,套一個公式,c23是什麼,套一個公式。

然後因為你要算c21的時候,你要求a21的determinant,a21的determinant你會求嗎?a21的determinant就是把a的第2個row跟第1個column拿掉,變成一個220的metric,220的metric它determinant,你有記那個公式,所以你是能夠求出來的。

接下來,a22把原來a的第2個row跟第2個column拿掉,剩下220的metric,它的determinant你也是求得出來的,a23把第2個row跟第3個column拿掉,剩下2個2x2的metric,它的determinant你也是求得出來的,所以套用convector expansion的公式,你也可以求得出3x3的metric。

接下來就是以此類推,以此類推,更高維的4x4、5x5、1000x1000,就是用同樣的方法來算。

舉例來說,這邊有一個nxn的metric,我們希望知道n是999的時候,它的determinant有多大,那你就可以套用一下convector expansion。

這個metric它是一個特別的metric,它是一個tri-diagonal的metric,我們有講過tri-diagonal的metric是只有在斜對角線的地方有值,那tri-diagonal的metric就是說不只在斜對角線的地方有值,它是在斜對角線的旁邊也都有值,它有三排一,就tri-diagonal的metric只有一排有值,那tri-diagonal的metric它是三排都有值。

現在假設n等於999的話,算一下它的determinant是多少。不知道為什麼,電機系的博士班資格考還蠻常出這一題的,這一題出現在考古題裡面很多次,然後看那一年是幾年,n就是多少,2016年,n就是2016,隔年n就是2017這樣子。

那這個要怎麼算呢?如果你會convector expansion的概念的話,其實這一題是有辦法算的,我們知道說A2長這個樣子,A3長這個樣子,A4長這個樣子,以此類推。

那A2跟A3的determinant,其實你都算得出來,你可以直接就手算。那A4的determinant長什麼樣子呢?你就可以用convector expansion的概念,先把A4的convector expansion式子寫出來,你就會知道說A4的determinant其實是可以進行化解的。

我們知道說A4的determinant等於它的第一個row的第一個column的element A1 1乘以C1 1,等於A1 2乘以C1 2,等於加上A1 3乘以C1 3,加上A1 4乘以C1 4,A4的determinant可以寫成這樣。

那假設我們把第一個row拿出來做expansion的話,那你會發現說,因為在這個row裡面,它其實只有兩個element是不為0的,就算是拓展到A1000也是一樣,今天在第一個row裡面,只有兩個element會是不為0的。

所以事實上只有兩個element我們是需要考慮的,那些matrix裡面element是0的那些項我們根本就不用考慮它,所以A1 3這一項我們是不考慮它的,A1 4這一項我們也是不考慮它的,我們只需要考慮兩項。

其實今天不管A有多大,A這個matrix不管它是4乘4的還是1000乘1000的,事實上我們都只需要考慮兩項而已。好,那接下來的問題是,這兩項分別算出來應該是長什麼樣子呢?

我們先來看一下C1 1長什麼樣子,我們知道說C1 1就是-1的i加j次方也就是1加e次方乘以A1 1的determinant,所謂A1 1的意思就是把第一個row跟第一個column拿掉。

那你會發現說,現在我們把A4這個matrix的第一個row跟第一個column拿掉,它就變成什麼?它就變成A3,對不對?那A3的determinant你是會算的。

所以我們發現說,如果我們現在考慮的不是A4而是An的話,那其實你的C1 1是什麼?你的C1 1就是An-1的determinant,今天不管是n代多少,你只要拿掉它的第一個row跟第一個column,它都會變成An-1,對不對?

就是你把A4拿掉第一個row跟第一個column,它就變成A3,你把A3再拿掉第一個row跟第一個column,它就變成A2,以此類推,不管n是多少這件事情顯然都是屬於立體的。

那再來第二件事情是C1 2是多少呢?C1 2是-1的1加2四方,然後它的determinant就是把原來A4的,我想說把這個能不能把它擦掉呢?我們換個顏色好了,換個顏色。

我們把它的第一個row跟第二個column拿掉,我們把第一個row跟第二個column拿掉,只剩下這個部分跟這個部分。

把它寫到右邊,它長得是這個樣子,它不是我們在考慮的tri-diagonal的matrix,但是沒關係,我們再把這一個matrix再做cofactor的expansion,再做一次cofactor的expansion。

也就是我們把這個matrix的第一個row的三個element A1 1、A1 2跟A1 3拿出來,再各自乘上它們的cofactor C1 1、C1 2跟C1 3。

那你一樣會發現說,不管今天我們考慮的這個matrix有多大,其實仍然只會有兩項是不為0的,其他項一定都為0,其他項一定都是不用考慮的,其中只有兩項不為0。

那在這不為0的兩項裡面,其中一項會等於An-2,假設你現在考慮的是An,其中一項一定會是An-2,我們現在考慮的是A4,那其中一項一定是A2的determinant。

那另外一項呢,另外一項一定會為0,就是如果我們現在把A1 2乘上C1 2,那C1 2怎麼來呢?你要得到C1 2的話,你要把第一個row跟第二個column拿掉。

你把第一個row跟第二個column拿掉,剩下0 0跟1 1。那你會發現說0 0 1 1這個matrix它的determinant一定是0。其實我們之後會講到說,如果一個matrix它只要它的row或者它的column為0,它就一定是0。

那其實這個東西也不需要證明,你直接想著就知道,因為按照cofactor expansion的式子,我們說我們不一定要選第一個row,我們可以選任何row,我們不一定要選row,我們可以選任何column。

如果你今天在做expansion的時候,你選一個row或選一個column,它全部都是0。那做完cofactor expansion以後,一定算出來都是0,對不對?你說的A都是0,雖然做cofactor expansion也一定都是0。

所以今天這個matrix裡面,它只要有某一個row是0,或是某一個column是0,它的determinant就一定是0。所以今天A1 2 C1 2這一項,它的第一個row一定是0。

它要算determinant的那個matrix,它第一個row一定是0。所以C1 2一定是0。所以你最後只會剩下A2的determinant這一項。所以我們今天就知道說,A4的determinant會等於A3的determinant減掉A2的determinant。

那其實這件事情並不是一個巧合或特例。你可以輕易地,我們就不再細講了,可以輕易地自己證明說,An的determinant等於An-1的determinant減掉An-2的determinant。

有了這個式子,你就可以推出N是任何值的時候,你的determinant應該有多大。因為你可以算出A1的determinant是1,你可以算出A2的determinant是0,這個都套套公式就可以解了。

A2的determinant減掉A1的determinant,0-1,所以是-1。A4的determinant,就是A3的determinant減掉A2的determinant,-1-0,所以是-1。A5的determinant,就是A4的determinant減掉A3的determinant,-1--1,所以是0。

A6的determinant,就是A5的determinant減掉A4的determinant,0--1,等於1。A7的determinant,就是A6的determinant減掉A5的determinant,1-0,所以是1。A8的determinant,就是A7的determinant減掉A6的determinant,1-1,等於0。

然後你就會發現接下來就重複了,這串數字是重複的,就是它是1-1-1-0-1-1-0,然後看到1-0以後就不斷重複了,接下來就繼續出現-1-1-0-0-1-0,就會一直重複下去。

所以你就可以推出,n等於2018或任何其他數字的時候,這個tri-diagonal matrix的determinant是多少。

我們再很快地跟大家提示一下,下一堂課我們要講的事情是,determinant這個東西的式子如此地複雜,它到底代表了什麼樣的意思。

其實determinant這個東西可以視為是高維空間中的體積,如果是2x2的determinant,它所代表的就是,你把rho當作一個平行四邊形的兩邊,你的面積。

如果是一個3x3的determinant,就是把它的三個rho當作是一個立方體的三個邊,算出來的體積。那如果是4x4的metric determinant,你就可以想像說是在高維的空間中,我們有一個超立方體,然後這個超立方體的超體積,其實就是determinant。

我們今天就先上到這邊,助教已經來了,我們就請助教講一下作業3。

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