我們繼續來講determinant,上週我們就是講了determinant這個東西怎麼計算,所以你要記一下這個coeffector expansion這個公式,這樣給你一個determinant,給你一個matrix,你就可以計算出它的determinant。

接下來我們要看的是determinant的一些性質,那我們上週最後結束在這一頁投影片,告訴大家說determinant這個數字,determinant就是給你一個matrix,你可以算出一個數字,這個數字叫做determinant。

這個determinant代表的是什麼意思呢?這個determinant可以視為是高維空間中的一個體積。那我們先用你高中時候就學過的二乘以二的matrix跟三乘以三的matrix來舉例。

你現在有一個二乘以二的matrix,那你其實直接套公式,你可以算出它的determinant。那其實高中的時候,你就有學過說,其實我們現在把這個二乘以二的matrix的兩個row拿出來,把這兩個row就當作平行四邊形的兩個邊。

那用這兩個row形成的平行四邊形的兩個邊所形成的這個平行四邊形,它的面積就是determinant的絕對值。

這邊要取一個絕對值,因為determinant可能有正有負,但是面積一定是正的,所以determinant取絕對值會變成兩個row所形成的平行四邊形的面積。

那證明呢?證明就不講,我隨便google一下就發現說,高中的教材是有講過這個東西的。

那三乘以三的matrix的determinant呢?你就把三乘以三的matrix的三個row拿出來,這三個row就變成一個立方體的三個邊,

就是A1、A2、A3是一個邊,A4、A5、A6是一個邊,然後A7、A8、A9是第三個邊。這三個邊所形成的立方體,它的體積就是這個三乘以三的matrix的determinant。

好,那determinant有這三個性質,那in general而言,剛才講的只是二乘以二、三乘以三的matrix,

in general而言,不管你今天的n是多少,不管你今天要考慮的matrix size是多少,determinant有下面這三個性質。

第一個性質是identity matrix,它的determinant就是1,這是第一個性質。

第二個性質是,如果你把兩個row做交換,你只會改變它的正負號,你不會改變它的絕對值。

你只會改變正負號,不會改變絕對值。

第三個是,determinant它對每一個row而言是linear的,這邊linear我們加了一個雙引號,因為它跟我們之前講的linear不太一樣,等一下會再解釋說,這邊所謂的linear是什麼意思。

那如果是二維空間中的面積或者是三維空間中的體積,等一下都會跟大家講一下說,這個二維空間中的面積、三維空間中的體積是滿足上面講的這三個property的。

那其實這些property,如果是體積或面積,它們是滿足這些property的,所以我們其實可以說determinant,因為它滿足這些property,所以它可以看作是像是高維空間中的一個體積一樣。

那事實上,你知道determinant它的這個式子cofactor expansion如此的複雜,那如此複雜的東西到底是怎麼來的呢?

你甚至可以想成,其實是由這些property推出來的,就是我們先定了這些property,先定說我們想要有一個數值,這個數值有以下這三個property,然後再根據這三個property,其實你可以推出determinant,這樣了解嗎?

就determinant這個式子這麼複雜,不知道怎麼來的,但是如果你定義說有一個數值,你希望對一個matrix找到一個數值,這個數值滿足下面這三個property,你可以推出determinant cofactor expansion的式子。

那我其實把一個相關的說明放在appendix裡面,那這個跟這個課程內容比較沒有關係,所以我們就不細講,你還是可以直接背一下cofactor expansion的公式。

好,那你可能問說,那這三個property怎麼證明呢?那你可以倒因為果,就直接說根據cofactor expansion的式子,然後去進行一番計算,這三個property就是成立的。

好,那我們先來看第一個property,就是identity matrix的determinant一定等於1,那如果你是要從這三個property推出determinant的式子,那你就可以把這個property當作是定義,我們就定義identity matrix的determinant等於1。

那你也可以反過來說,就是你直接拿cofactor expansion的式子去檢查每一個identity的matrix,就會發現說它的這個算出來的determinant一定要等於1。好,比例來說,我們這邊有一個2乘以2的identity matrix,那它的determinant等於1。

那這個2乘以2的identity matrix,如果你拿它來做一個,如果你要把那個row拿出來當作是平行四邊形的兩個邊的話,那你會得到一個正方形,那這個正方形的面積是1。

好,那如果你有一個3乘以3的identity matrix,它的determinant也等於1,那你可以把這個3乘以3的identity matrix的三個row,又視為是一個立方體的三個邊,那這個時候呢,你會得到一個正立方體,那這個正立方體的體積也是1。

好,所以determinant的第一個property是identity matrix的determinant等於1。好,第二個property是,如果你要把兩個row進行交換的話,那你只會改變你的正負號,而不會改變你的算出來的絕對值。

那如果從cofactor expansion的,那你可以把這個就當作是定義,那如果你說你不把它當作是定義,你想要從cofactor expansion的公式推出這個東西的話,其實是稍微有一點點麻煩的,那這個證明呢,寫在課本第三章最末尾的地方。

我們上課就不細講了,有興趣的話呢,你再自己看一下那個證明。好,那我們這邊呢,就只是說,我們就舉個例子,假設有一個identity matrix,那它的determinant,我們剛才已經定義說identity matrix的determinant呢,就是1。

好,那現在呢,如果我們把這個identity matrix的兩個row做互換的話,那我們會得到-1,那你直接套determinant的公式,你就可以算出說呢,這個matrix它的determinant是,下面這個matrix呢,它的determinant是-1。

那如果你從面積的觀點來講的話,這件事情非常的合理,因為如果你只是把一個平行四邊形的兩個row,它們的順序做調換,在matrix中的順序做調換,那你得到的仍然是同一個平行四邊形啊,所以它們的面積應該是一樣的,所以取絕對值以後,你得到的value,取絕對值以後,你得到的數值應該是一樣的。

好,那這邊這是一個3乘以3的matrix,3乘以3的identity matrix,它的determinant等於1,如果我們只是把其中的某兩個row做調換,那你會從1變到-1,如果我們把某兩個row做調換,我們把上面這個matrix的這兩個row再做調換,做調換得到下面這個matrix,那本來是-1,那它的determinant就會變成1。

所以你把一個determinant的matrix,它的row做調換,那你會把原來的determinant的值乘上-1,你會改變determinant的符號,但你不會改變它的絕對值。

好,那從這個第二個property,你就可以推出說,假設你有一個matrix,它的兩個row是一模一樣的,那它的determinant就一定會是0。

那這件事情,就算沒有告訴你這一個property,如果你知道說determinant代表的就是體積的話,你其實可以輕易知道說,如果有兩個row是一樣的,那它們的determinant一定會是0。

為什麼呢?因為今天如果比如說有一個平行四邊形,它的兩個row是一模一樣的,那這個平行四邊形就變成一條線了,它就根本就不是一個平行四邊形了。

或是假設你有一個立方體,這個立方體的其中兩邊居然是重合的,那這個立方體它就不是一個立方體了,它就變成一個面了,所以它的體積就變成0。

所以如果從體積的觀點來看,如果我們把determinant視為一個體積的話,那如果有兩個row它是一樣的,那這個determinant的值就會變成0。

或者是說,假設第二個property成立的話,你也可以從第二個property推出這件事情。

怎麼從第二個property推出這件事情呢?今天我們知道說,把某一個matrix A,它的某兩個row進行調換變成A'。

那假設原來matrix A的determinant是k,A換了determinant就會變成-k。

但是我們又知道說,現在假設A有兩個row是一樣的,那我們現在調換的就是那兩個row,假設A的第一個row跟第二個row一樣。

但我們現在做交換的就是第一個row跟第二個row,假設A的第一個row跟第二個row本來就是一樣的,我們交換的又是第一個row跟第二個row,那意味著什麼?意味著A'等於A。

那既然A'等於A,那A的determinant應該就要等於A'的determinant。

既然A的determinant等於A'的determinant,你要讓k等於-k,唯一的可能性就是k等於0。

所以我們現在就學到說,如果今天有一個matrix,它的兩個row是一模一樣的,那算完determinant以後,那這個matrix的determinant的值會是0。

好,那這是第二個property,你把row做交換,只會改變正符號。好,接下來我們看第三個property,那第三個property其實可以拆成兩個部分,3-A和3-B,我們先來看3-A。

那3-A說的事情是,假設我們把一個matrix的row乘上某一個值t,會等於把t提到determinant的外面,算原來那個matrix的determinant。

也就是說,你把某一個matrix的某一個row乘上t倍,那這個新的matrix,它的determinant會是原來的matrix的t倍。

好,那你要證明這個東西,其實也很簡單,你可以套用convector expansion的公式,就可以直接證明這件事情。

好,那我這邊從面積的觀點來告訴大家說,這件事情是非常合理的,為什麼?

因為假設你現在把一個matrix的兩個row視為一個平行四邊形的兩邊,然後你把這個matrix的某一個row延長k倍,比如說在這個例子裡面,我們把matrix的某一個row延長兩倍,這個時候這個平行四邊形的面積就變成原來的兩倍。

所以你把一個matrix的某一個row乘上t倍,那這一個新的matrix的determinant就是原來的matrix的determinant的t倍。

好,那所以今天呢,假設有人問你一個問題說,有一個matrix2a,它會等於matrixa的determinant的多少倍呢?

假設這個matrix是t by t的一個matrix的話,假設這個matrix是n by n的一個matrix,我們現在把這個matrix乘上兩倍,那它的determinant會變成原來的多少倍呢?

舉例來說,假設今天n等於3的話,那我們A是一個3乘以3的matrix,然後把A乘上兩倍,那它的determinant會變成原來A的determinant的多少倍呢?給大家五秒鐘的時間想一下。

好,我現在把matrixA乘上兩倍,你覺得determinant會變成原來的兩倍的同學舉手一下,你覺得會變成原來的四倍的同學舉手一下,你覺得會變成原來的八倍的同學舉手一下,你覺得會變成十六倍的同學舉手一下,沒有人覺得會變成十六倍。

沒錯,確實是八倍,這邊應該是2的三次方,那我猜有些同學你覺得是兩倍是因為你被上面這個matrix誤導,上面是一個2乘以2的matrix,那現在我們的這個A是一個3乘以3的matrix,假設A是一個3乘以3的matrix。

既然A是一個3乘以3的matrix,那你現在在每一個row你都乘兩倍,那有三個row,所以你乘了三個兩倍,所以其實今天把A這個matrix乘上兩倍變成2A,它的determinant是原來A的determinant的2的三次方倍。

所以in general而言,現在把一個n乘以n的matrix乘上兩倍,那它的determinant是原來的2的n次方倍。

所以這個跟一般的linear是不太一樣的,我們說一般的linear是input乘2,output就要乘2,但是determinant,如果你把determinant這個operation視為一個function的話,這個function其實不是一個線性的function。

因為你把input乘兩倍,output會變成原來的2的n次方倍,所以這個determinant,這個operation,它其實不是線性的。

好,那假設今天在一個matrix A裡面,它的某一個row是0的話,那它的determinant會算出來是多少呢?

那你可以從這三次A這個property很直覺地知道說,假設有某一個row是0,那它的determinant算出來就一定會是0。

為什麼?因為你可以把0row視為是把t設為0,如果你今天把這個t的值設為0,這個t的值設為0,那你就可以製造出一個0的row。

那如果我們今天把t代0,那determinant會變成0,所以我們知道說一個matrix裡面有0的row的話,它的determinant就會是0。

或者是你也可以從另外一個角度來看,舉例來說,你可以從體積的角度來看,如果你今天你的平行四邊形的某一個邊是0,長度是0,那它的面積就是0。

如果你的立方體的某一個邊是0,它的體積就會是0,所以今天如果你有一個row是0,那你算出來的determinant就會是0。

或者是你也可以從cofactor expansion的角度來看,如果從cofactor expansion的角度來看,我們不是說我們可以選擇任何row去做cofactor的expansion。

那如果你選擇那個0的row,因為0的row它所有的係數都是0,那你帶入那個cofactor的expansion,你算出來的determinant自然會是0。

好,那這個是linear的前半部,那接下來我們講linear的後半部。這個後半部這個三之b它的性質是怎麼樣呢?

它的性質是說,假設我們現在有一個matrix,這個matrix是A加A'B加B'CD,那我們現在可以把這個matrix拆成兩個matrix的determinant。

我們可以把它拆成A加A'B加B'CD的determinant等於ABCD的determinant加上A'B'CD的determinant,那這件事情你可以直接從面積的觀點來想。

如果我們從面積的觀點來想是怎麼樣呢?我們本來有這個A加A'B加B'可以看作是AB這個向量加上A'B'這個向量,這個綠色箭頭是A'B'這個向量,那AB加上A'B'等於A加A'B加B'。

那今天呢,如果我們要計算這一個row跟這一個vector跟這個vector所形成的平行四邊形的話,其實我們可以把它拆成兩部分,我們可以把它拆成AB跟CD所形成的平行四邊形,我們可以把它拆成A'B'跟CD所形成的平行四邊形。

那把這一塊平行四邊形加上這一塊平行四邊形,會等於左邊這個虛線的範圍內的平行四邊形。

所以我們說,而這個藍色的區域的平行四邊形就是這一塊,然後綠色的這個區域的平行四邊形就是這一塊,它們兩個相加會是紅色的這一塊。

所以我們今天學到linear的下半部是,我們可以把A加A'B加B'拆放在兩個matrix裡面。那這邊要特別注意的事情是,這個式子是成立的,但是如果我們寫另外一個式子它是不成立的。

所以determinant A和det A加上det B並不等於det A加B。

我們說determinant它是對rho而言是線性的,它是一種很特別的線性關係,determinant本身並不是一個線性的方式。

所以今天你把A加B做determinant,並不等於A做determinant,B做determinant。但是如果今天只有某一個rho,只考慮某一個rho,那它是線性的。

如果你考慮整個matrix,它不是線性的。這樣大家可以了解這個意思嗎?你可以了解上面這個式子跟下面這個式子其實是不一樣的意思嗎?上面這個式子跟下面這個式子的意思並不一樣。

如果你要把這個matrix加上這個matrix,下面應該會變成2C2D才對。但是今天並不是把這兩個matrix相加等於它,它們只是某一個rho相加而已。

講到這邊,大家有沒有問題要問的呢?這樣大家可以了解嗎?如果你對上面這個式子有懷疑,你就自己隨便舉個例子,你就會發現說這個determinant A加determinant B並不等於determinant A加B,但是下面這個式子是成立的。

大家要注意一下,就是上面這個寫法,上面這個式子跟下面這個式子它們的意思並不是一樣的,它們的意思是不一樣的。

講到這邊,大家有問題要問的嗎?ok嗎?

從剛才講的這個特殊的linear的特性,你可以知道說,假設我們把某一個rho i乘上k倍,再加到第j個rho,不會改變它的determinant。

我們說在elementary row operation裡面,有一個operation是把某一個rho i乘上k倍加到第j個rho,你會發現說這個operation並不會改變你的determinant。

這件事情怎麼證明呢?我們今天就證一個2乘以2的matrix就好,我們把這個matrix的第一個rho乘上-k倍加到第二個rho,我們把第一個rho乘上k倍減掉第二個rho,那你會發現說跟原來的matrix的determinant是一樣的。

那怎麼做呢?我們就用一下我們剛才學到的determinant的性質。那跟我們剛才學到的determinant的性質,你可以把c跟-ka還有d跟-kb拆到兩個matrix裡面。

所以abc-kad-kb就變成abcd跟ab-ka-kb,然後接下來你會發現說,這邊我們把某一個rho都乘上了-k,把某一個rho都乘上-k。

把某一個rho乘上-k以後,你是可以把-k提出來的,按照determinant的特性,你可以把-k提出來。

所以我們現在把-k提出來,變成上面這項等於determinant abcd減掉k倍的determinant abab。

那determinant abab它的值是多少呢?值是多少呢?那我們剛才說如果有兩個rho是一模一樣的,那它的determinant就會是0。

所以determinant abab它的determinant是0,所以可以消掉。所以我們知道說,如果我們今天把某一個rho乘上-k倍,加到另外一個rho或減到另外一個rho上去,那我們得到的determinant跟原來是一樣。

所以如果我們回想一下elementary的rho operation,我們知道elementary的rho operation總共有三種。

第一個是交換rho,如果交換rho的話determinant是乘上-1,第二個是某一個rho乘上-k倍,那如果determinant的話會乘上-k倍,第三個是把某一個rho乘上-k倍減掉另外一個rho,那對determinant來說它是不變的。

好,那講完determinant的三個特性之後呢,那我們可以來看一下,假設有一個matrix,它是一個upper triangular的matrix,所謂upper triangular的matrix意思是說呢,它只有在對角線以上有值,對角線以下的部分呢,通通都是zero matrix。

那我們知道說算determinant這件事情,in general而言,給你隨便一個matrix,要算determinant,你要做cofactor expansion是有點麻煩的,但是假設有一個matrix,它是一個upper triangular的matrix,那你要算出它的determinant就容易多了。

那怎麼做呢?你可以把每一個對角線上的值,通通用elementary的rho operation把它消掉,這樣大家知道我的意思嗎?

就是我們現在可以把dn乘上某一個數值,然後你就可以把放在右上角這個值消掉,所以你可以把dn以上所有的數值都消掉。

所以你可以用elementary rho operation把對角線以上這個三角形的區域裡面的所有的數值都讓它變成0,你可以用某一個rho乘上k倍減掉另外一個rho的方式,去把對角線以上這個三角形的區域裡面的值通通都讓它為0,而不會改變determinant。

所以今天如果你要算u的determinant,等同於是把u的上半部對角線以上那個三角形裡面的值也都變成0以後再去算determinant。

那如果叫你算一個diagonal的matrix,也就是說只有對角線有值的matrix,它的determinant其實是非常好算的。一個對角線有值的matrix的determinant,它就是把所有的對角線的值全部乘起來,就是它的determinant。

就假設今天有一個diagonal matrix,它對角線的值就是d1、d2一直到dn,那它的determinant就是d1乘到dn。

好,那這件事情要怎麼證明呢?怎麼知道一個diagonal matrix它的determinant就是對角線的值相乘呢?

那一個簡單的做法就是直接套cofactor expansion的公式,那你會發現說你把對角線的值乘起來就是determinant。

另外一個理解的方法是,你可以想乘這個diagonal的matrix是怎麼來的呢?這個對角線的值是d1到dn的diagonal matrix是怎麼來的呢?

它是把一個identity matrix的第一個row乘上d1,第二個row乘上d2,一直到第二個row乘上dn。

你把第一個row乘上d1,第二個row乘上d2,一直到第二個row乘上dn,然後我們剛才講說,如果你根據這個determinant的linear的特性,

那它不是,就是再強調一下,它不是一般的linear,determinant這個,把determinant視為一個function的話,它並不是一個linear的function。

把determinant剛才講的第三個property把它拿出來,你會發現說,今天一個identity matrix,它等於是第一個row乘上d1,第二個row乘上d2,

第二個row乘上dn,等於會變成這個diagonal matrix。

那所以呢,我們現在可以把這個diagonal matrix裡面的d1到dn提出來,剩下identity matrix,那我們知道identity matrix的determinant是1,

所以diagonal的matrix它的determinant,就是對角線的值相乘,就是diagonal matrix的determinant。

好,所以今天假設有一個matrix,它是upper triangular的,或是同理lower triangular也是一樣,假設有一個matrix,它是只有對角線以上有值,對角線以下有值,那也可以輕易地算出它的determinant。

好,那接下來呢,要講一個很重要的事情就是,如果一個matrix呢,它是invertible的,那若且為若呢,它的determinant不等於0,也就是determinant不等於0這件事情,跟A是invertible這件事情是等價的。

那怎麼說呢,假設有一個matrix A,我們對它做elementary row operation,把它變成matrix R,那matrix A的determinant跟matrix R的determinant,它們中間有什麼樣的關係呢?

我們之前已經有講過說,三個elementary row operation和determinant之間有什麼樣的關係,如果你今天把兩個row交換,你只會改變正負號。

如果你今天乘上一個scale,你做scale 0這件事,那你只會把determinant乘上原來的k倍,如果你今天做add row這件事,把某一個row加給另外一個row,那你不會改變determinant。

所以今天在elementary row operation裡面,你只是反覆的做下面這三件事,所以今天determinant A跟determinant R之間的關係,會變成說你只要把determinant A乘上一堆的k,再乘上不知道是正號還是負號,你就可以得到determinant R。

比如說,在把A變成R的這個找這個reduce row h2o form的過程中,如果你有做exchange row,那determinant不變,如果你有做scale 0,那就乘上k倍,如果你今天有,當然說錯了,如果你今天是add row,那determinant不變,如果你今天有做scale 0,那就乘上k倍,如果你有exchange row的話,那就會轉換正負號。

那如果你今天exchange row的次數是偶數的話,就比如說你exchange row兩次,那就負負得正,那如果你今天exchange row三次,那你就要在determinant A前面乘上負號,那scale 0的話,就是乘上k倍。

所以我們知道說,A的determinant跟它的reduce row h2o form之間有圖上這樣子的關係。

好,那所以假設A是invertible的,那意味著A的reduce row h2o form是identity,那我們知道一個identity matrix,它的determinant等於1,所以我們就可以得證說,A的determinant是不等於0的,因為假設A的determinant等於0的話,那reduce row h2o form的determinant就不可能是等於1。

那為了要讓reduce row h2o form的determinant等於1,那matrix A的determinant就不可以為0。

好,那如果A它不是invertible的,如果A不是invertible的話,它的reduce row h2o form有什麼特性呢?

我們知道說,A如果不是invertible的話,那它的reduce row h2o form就會有0的row,就會有完全是0的row。

那如果一個matrix有完全是0的row,那會發生什麼事呢?

我們剛才有講過說,如果一個matrix有完全是0的row,那它的determinant算出來就會是0。

那如果R的determinant算出來是0,那A的determinant就一定要是0,那算出來R的determinant才會是0。

好,所以我們今天學到一個很重要的事情,就是invertible這件事情又等於determinant,不等於0這件事。

那我們之前在講invertible的時候,已經告訴你說,有這麼多這麼多事情,都跟是不是invertible是equivalent。

那現在呢,我們又多收集到一條式子,這條式子就告訴我們說,假設我們想要檢查一個square的matrix A它是不是determinant,

你還有另外一件事情可以做,就是計算這個matrix的determinant是多少。

那如果determinant算出來不等於0的話,那這一個matrix它就是invertible。

那這個是determinant蠻常用的一個應用之一,就是拿來檢查一個matrix它是不是invertible。

好,所以今天呢,在課本裡面有這樣子的一個問題,假設我們有一個matrix A,這個matrix A的其中一個值呢,被重鑄掉了。

你本來要把它寫在紙上啦,後來那個紙呢,就被重鑄了一個洞,所以呢,今天這個3乘以3的matrix的某一個值呢,你不知道它是多少。

假設我們知道說這個matrix A是non-invertible,那我們這個值呢,c應該要填多少呢?假設這個matrix A它是不能invertible的,它是non-invertible的。

那這個matrix值c要填多少,才能夠讓這個matrix是non-invertible的呢?

那你這個時候呢,你就可以,當然是不是invertible的定理有很多啦,但是其他的那個東西拿來檢查,拿來幫助你算c的話,感覺不太容易。

那最容易的就是檢查matrix A的determinant是不是0。

我們之前有講過說,如果一個matrix是non-invertible的話,那它的determinant呢,就必須要等於0。

所以你今天呢,就算出matrix A的determinant,然後呢,再想辦法讓它的determinant變成0。

怎麼算matrix A的determinant呢?你就套一下matrix的公式,你就套一下公式。

那我們知道說,3乘以3的matrix,高中的時候你even是學過一個公式的,determinant A的公式呢,就是1乘0乘7,然後-1乘c乘2,然後2乘-1乘1,然後再減掉2乘0乘2,減掉-1乘-1乘7,再減掉1乘1乘c,減掉1乘1乘c。

然後再整理一下以後,你就算出-3c-9,那這樣-3c-9等於0,這樣這個matrix A呢,它的determinant等於0,那它就是non-invertible的。

那你就知道說,C呢,如果我們今天代-3的話,結果這個C呢,代-3的話,這個matrix就會是non-invertible的。

如果代其他的值,-3以外的值,比如說代-3.1,那它就會是invertible的。

那determinant呢,有更多的property,那這個呢,我們就只是快速的代過就不證明,那你其實可以在課板上找到這些東西的證明。

那matrix A乘以B的determinant等於matrix A的determinant乘上matrix B的determinant,這個東西蠻神奇的。A乘以B的determinant會等於A的determinant乘上B的determinant。

那要注意一下,像我們剛才有講說,A加B的determinant就不等於A的determinant加上B的determinant。

那這個東西你可以輕易的帶一個例子進去,就會知道說,藍色框框裡面的這個式子是不成立的。

但神奇的是呢,determinant A乘以B會等於determinant A乘於determinant B,在課本上呢,你可以在課本上找到相關的證明。

好,那藉由這個式子呢,藉由上面這個定理呢,我們其實又可以推出A inverse的determinant。為什麼?我們知道說,A inverse乘以A等於identity matrix。

那因為上面這個定理,所以我們知道說,A inverse的determinant乘上A的determinant會等於identity matrix的determinant。

那identity matrix的determinant等於1,所以今天呢,A inverse的determinant乘上A的determinant會等於1,所以A inverse的determinant會等於1除以A的determinant。

所以這又間接告訴我們一件事就是,如果一個matrix要invertible,A inverse存在的話,那A的determinant一定要不為0,一定要不為0。

因為A的determinant不為0,那個1除以determinant A才會成立,這樣才算得出A inverse的determinant,這樣才有A inverse的determinant。

好,那如果今天要你求A平方的determinant怎麼算呢?我們知道說,A平方就是把A乘兩次,所以A平方的determinant就是determinant A乘上determinant A等於determinant A的平方。

還有另外一個有趣的性質就是,A的transpose的determinant居然是等於A的determinant的,這件事情也是蠻神奇的,一樣我們也不證這件事情,你可以記一個定理就是了,A的transpose的determinant等於A的determinant。

因為有這個定理,所以我們剛才說如果有一個row是0,那這個metric determinant就會是0,那它同樣可以apply到column上面,如果有一個column都是0,那這個metric determinant也是0。

那我剛才講過說,同樣的row,如果一個metric裡面有兩個一樣的row,那它的determinant就會是0,同樣的有兩個一樣的column,它的determinant也會是0。

好,那講到這邊,大家有沒有問題要問的呢?如果沒有的話,剩下最後一點點時間,我們就來講一下Cramer's law。

那在講Cramer's law之前,如果按照課本的講法,它是先證了Cramer's law,再根據Cramer's law找出metric A inverse的根據determinant定義出來的公式。

但我們這邊是反過來,先講A inverse的公式,那A inverse的公式你不需要Cramer's law也可以證明,你先證出A inverse的公式,那Cramer's law就是顯然成立了。

好,所以我們先來告訴你說,我們之前告訴你說要找A inverse,要怎麼做?你要做reduce row HLF,一般你在找M inverse的過程,你都是用reduce row HLF。

但是A inverse有一個現在比較少用的,你可以說是公式解的東西,是跟determinant有關的。事實上,A inverse它等於C的transpose除掉A的determinant。

這個式子是什麼意思呢?這個A的determinant它是一個scatter,那注意一下,因為這邊A inverse是存在的,所以A的determinant一定不等於0,所以1除以A的determinant這個第一項它是成立的,它不是沒有定義的。

好,那這個C這個matrix是什麼東西呢?C這個matrix就是我們剛才講cofactor extension的時候不是說每一個matrix的element都對應到一個cofactor嗎?

你把所有的cofactor收集起來,因為本來n乘以n的matrix你就有n乘以n個cofactor,你把這些cofactor收集起來排成一個matrix,這個matrix你把它做transpose放在這邊,所以這個C就是所有的cofactor所形成的matrix。

這個C的transpose它是有名字的,它叫educate of A,它叫做又或者是縮寫成adjA,那又叫做伴隨矩陣。

好,那我們可以舉一個例子,假設一個matrix A它是ABCD,那它的determinant我們就背一下determinant的公式是ad-bc,那它的這個cofactor所形成的matrix,它的educate長什麼樣子呢?

我們就可以來算一下,假設這個C長什麼樣子呢?我們就把ABCD它們的cofactor通通都找出來。

那cofactor的公式前面有講過了,在cofactor前面你會乘上一個正號或者是乘上一個負號,到底要乘正號還是乘負號取決於它的index,也就是i加j。

你會乘上一個負一的i加j四方。

所以呢,今天在這個位置它的index是1 1,所以這邊是乘1,所以是放一個正號,這邊是放一個正號,然後這邊是放一個負號,這邊是放一個負號。

那這個其實也很容易記啦,你就把正號或負號交替的擺就行。

然後呢,接下來A的cofactor,這邊就是放D,就放D的determinant。

只有一個element D所形成的matrix,它的determinant就是D,這邊放A,這邊放C,這邊放B。

好,就是這樣子。然後接下來呢,你再把C的transpose算出來,然後你把C的transpose除掉determinant,你就會得到A inverse。

這個是一個matrix的inverse的公式解。

如果是三乘以三的matrix也是一樣,這邊我們有一個三乘以三的matrix,要算它的inverse怎麼做呢?靠一下右上角這個公式,靠用一下這個educate的matrix所形成的這個公式。

那你先算出A的determinant,先算出前面這個常數項,A的determinant就怒算一發,就把它算出來。

好,那C呢,這個educate的這個matrix長什麼樣子呢?你先把正負號擺上去,先把cofactor的正負號擺上去,正號負號就是交替版。

然後接下來呢,再把這個比較小的matrix它的determinant算出來,舉例來說,如果我們要算這個位置,這邊的determinant,那就是把這個row跟這個column拿掉,然後把EFHI這個matrix的determinant把它算出來。

所以你就可以算出這個matrix C,然後你就可以算出A inverse的長什麼樣子。

那這個在實用上呢,這個方法的實用性很低,為什麼?因為想說這個很麻煩,這個絕對比你做reduce或H2O form還要麻煩,因為算A的determinant本身就已經很麻煩了。

算cofactor的時候,你又要算一大堆的determinant,所以3乘以3的matrix你還勉強可以這麼做啦,你會發現說我們在作業2裡面助教的程式其實就是這麼寫的。

但如果是4乘以4的matrix,這樣做就很麻煩了,所以你發現說在實作上,如果你要算matrix的inverse還是reduce H2O form呢,是比較有效率的。

比如考試的時候隨便拿一個matrix出來說叫你算inverse,也許你可以做reduce H2O form,那你也可以背一下這個式子。

但如果要問你那個matrix太大,是4乘以4,你就不要套這個式子了。

那這個要怎麼證明呢?我們就秒證,怎麼秒證呢?就只要這個式子成立,只要A乘以C的transpose,會等於A的determinant乘上identity matrix,就結束了。

假設這個式子成立,你把這個式子兩邊都乘上A inverse,就可以得到右上角的那個公式。

那怎麼證它呢?這個太容易了,式子列出來,看看左右兩邊是不是相等的。

你把matrix A寫出來,你把C的transpose寫出來,這個determinant A乘上identity matrix,意思是說這個matrix在diagonal的地方有值,它的值都是A的determinant。

我們先來看diagonal的部分對不對?diagonal的部分是對的,為什麼?因為我們把,舉例來說,把matrix A的第一個row乘上matrix C的第一個column,我們就會得到diagonal matrix的第一個值。

而這個row乘上這個column,這個row乘上這個column,會等於A的determinant嗎?會等於A的determinant,為什麼?這個就是determinant的定義,這個就是cofactor expansion的式子,不是嗎?

你把A11乘上C11,一直加到A1n,乘上C1n,這就是determinant的公式,就是cofactor expansion的公式,所以今天對角線的部分都是成立的。

比較難想的是,不是對角線的部分,為什麼是0呢?不是對角線的部分,為什麼是0呢?

這邊我們就試著很快地下課了,我們就很快地講過去,看看你能不能夠體悟。假設我們有一個matrix,我們今天把它的第二個row跟matrix C它的第一個column相乘,第二個row跟第一個column相乘,這個顯然不是cofactor expansion的定義。

那我們怎麼把它變成cofactor expansion的定義呢?我們怎麼把它變成cofactor expansion的定義呢?

假設第一個row跟第二個row它們是相等的,假設第一個row跟第二個row是相等的,那你把這個四條,這個row乘上這個column,就會變成是現在這個matrix的determinant。

但是這個matrix因為它有兩個row是相等的,所以它的determinant就會是0。

好,那講到這個部分你沒有辦法聽得很懂也沒有關係,因為這個算是超出考試範圍的東西,它其實是不太可能會考這個東西的。

好,那有了matrix A的inverse的公式以後,你就可以知道premise rule是什麼意思呢?就是其實我們之前說AX等於B,如果A是invertible的話,我們可以寫做X等於A inverse乘以B。

我們現在可以進一步把A inverse用這個東西把它帶進去,然後你就可以知道說X等於這個樣子,等於determinant A分之一C的transpose乘上B。

接下來你可以把X的每一項分別求出來,你就會發現說X的每一項它都有一個determinant A分之一,然後它的分子的地方就是C的transpose乘上B。

C的transpose乘上B的值可以視為是有一個特別的matrix叫做B1,這個特別的matrix它就是把原來matrix A的第一個column換成我們的B,再取determinant,就會是C transpose的第一個row乘上B的值。

你可以自己回去check一下說這件事情是否成立。那premise rule使用性比較低,因為你知道premise rule它的目的是什麼,就是解一個system of linear equation。

但是你在真正解system of linear equation的時候,你其實是算reduced form,你並不會帶premise rule,因為它還要求determinant,它是比較麻煩的,它是一個比較麻煩的事情,你根本不會用這個東西,所以它的使用性就比較低。

所以我們就很快地。