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A-TIN的determinant,你把這個式子寫出來,它一定要可以拆解成這個樣子,也就是說它所有的根都必須要是實根,它不能夠有這個characteristic polynomial,不能夠有虛根,它不是一個容數它才能夠做,它才有機會可以做diagonalization。

可是就算是它沒有虛根,也不代表它一定能夠被對角化,你還需要滿足下面第二個條件,你必須要檢查說每一個eigenvalue它所對應的dimension都要等於它的multiplicity。

如果你每一個eigenvalue它所對應的eigenspace的dimension小於multiplicity的話,那這一個矩陣也沒有辦法被對角化,所以這個是對角化的條件,其實我們上週已經講過了,這個只是做一下很快的複習。

那一個矩陣能夠被對角化,它的條件是什麼呢?它的條件是這個矩陣的eigenvector可以形成一個Rn的basis。同理,這邊只是換句話說,所謂eigenvector可以形成Rn的basis的意思就是說,這個矩陣你可以找出n個eigenvector,而這n個eigenvector彼此之間是independent的,是獨立的。

好,那這等同於什麼呢?這等同於這個matrix的characteristic的polynomial,它沒有十根,它一定可以拆解成t減λ1的n1次方乘到t減λk的nk次方,它沒有不能夠被拆解的部分,它都是十根,它是沒有虛根的。

好,那每一個eigenvalue,λ1到λk它都對應到一個eigenspace,每一個eigenspace都有一個dimension,d1到dk,那今天一個矩陣要能夠被對角化的條件就是,每一個eigenvalue對應到的eigenspace要等於characteristic polynomial裡面的multiplicity,也就是說這邊的d1要等於n1,dk要等於n2,dk要等於nke。

好,那我們之前都是對某一個矩陣做對角化,那其實我們也可以對一個linear的operator,linear的transformation,或者是linear的function做對角化這件事情,因為我們知道說每一個linear的function背後都對應到一個矩陣,所以把一個linear function做對角化的意思其實就是把linear function背後所對應的矩陣做對角化,

那這件事情其實是沒有什麼特別神奇的地方,那這邊就舉幾個例子給大家看一下,現在你有一個linear的operator長這個樣子,那你要把它做對角化是什麼意思呢?你就把這個linear operator它背後所對應的standard matrix拿出來,它背後所對應的standard matrix長這個樣子。

好,那接下來你要列出這一個standard matrix A的characteristic polynomial,那就把對角線的地方都減t,然後計算它的determinant,那這個我們已經講過非常非常多次了。

那A的determinant怎麼算呢?你可能就套一下3乘以3的matrix它的determinant的公式,那經過一番整理之後,寫出來的樣子是-t加1平方t減2,是-t加1平方t減2。

所以算出來,這一個例子的這個矩陣的eigenvalue是-1跟2,那-1其實是從根,它的multiplicity是2,是-1跟2。

那其實你可以檢查一下你的計算的結果算得對不對,但是你要用這個檢查之前,記得要把從根也考慮進去,要把從根也考慮進去。

如果把從根也考慮進去的話,這一個矩陣的eigenvalue是-1跟-2,那我們有說一個矩陣的trace,大家還記得是什麼嗎?trace就是對角線的直的和,它的trace等於eigenvalue的和,那eigenvalue的和現在是0,你把-1加-1加2,記得從根也要算進去,不然你算出來的答案就不對了。

-1加-1加2等於0,那對角線8加-7加1,我本來以為是,我本來想說怎麼答案好像不對,那是因為這個紅色的線蓋住了負號的地方,雖然我覺得算起來不對,其實這是一個-1,這是一個-1,有一個負號,它只被紅色的線蓋住了。

8加負7加負1等於0,負1加負1加2等於0,所以這個eigenvalue的和會等於它的trace,這個之後我們有時間再證這件事情。

然後eigenvalue相乘會等於這個矩陣的determinant,不是characteristic polynomial,是矩陣的determinant,對,負1乘以負1乘以2是多少呢?是2,那就可以來檢查一下這個矩陣的determinant是不是2呢,這個矩陣的determinant是不是2呢,那怎麼算這個矩陣的determinant是多少呢?

其實你就把8乘負7乘負1,然後呢,我看一下,8乘負7乘負1是負56,正56,我一直沒有看到那個負1,真的太慘了,我不應該畫這個紅色線這麼一個負號,正56,正好加上去。

然後負6乘3乘0,不要管它,9乘0乘3,不要管它,然後0乘負7乘3,不要管它,然後8乘3乘0,不要管它,9乘負6乘負1,記得它是負1,它是54,然後要減掉,所以減54。

所以得到的答案是,正好是2跟3個item value相乘的值是一樣的,所以你就可以檢查一下,發現你算的應該是對的。

好,那我們就是檢查了一下item value算的對不對,好,那假設,那接下來呢,你就是要找那個item value對應的item vector,接下來你就看看說,item value等於負1的時候,它對應的item vector是什麼呢,那你就經過一番計算,那怎麼找item vector,我們前面已經講過了。

那經過一番計算以後呢,對應到item value負1的item space,它的basis有兩個element,對應到item value是2的item space,它的basis就是一個element,那你可以找到3個independent的item vector,所以這個矩陣是可以被對角化的。

因為你可以找到3個independent的item vector,不同的item value,它對應的item vector一定是independent的,這個我們上次已經給大家證明過了,所以今天B2裡面唯一的這個item vector,它一定跟這兩個item vector是independent的,那因為B1是一個basis,所以這兩個vector也是independent的。

所以你把這三個vector,把B1、B2,總共三個vector放在一起,它是一個independent vector set,它是三個independent vector,它可以變成R3的basis。

所以今天這個我們考慮的linear operator T,它是可以被對角化的。這邊是另外一個例子,那另外一個例子顯然是要舉一個不能夠被對角化的例子,你今天得到這個矩陣的standard vector,長這個樣子。

然後把這個standard vector對角線都減t,再取determinant,然後經過一番運算以後,你只得到這一個linear operator,它的characteristic polynomial是負t平方乘以t加2。

然後你就把eigenvalue找出來,eigenvalue是零負2,那當然可以用我們剛才講的方法去檢查一下,你的eigenvalue做出來對不對,就eigenvalue相乘等於determinant,eigenvalue相加等於matrix的trace,你可以用這個方法來檢查一下你的結果對不對,不過記得要把重根的狀況考慮進去。

如果是重根的話,n個重根你就要把那個eigenvalue重複n次。

接下來,你就可以找出每一個eigenvalue背後所對應的eigenspace長什麼樣子。舉例來說,我們先找eigenvalue是零的時候,它背後所對應的eigenspace長什麼樣子。

我之所以在這邊停了一下,是因為我以為這個式子有寫錯,因為我本來以為我應該要寫的是,今天eigenvalue是零的null space,

就是a減零倍的i3的eigenvalue,eigenvalue等於零的eigenspace,就是a減零i3的null space,就是a減零i3的null space,所謂的null space就是這一個matrix等於零的狀況。

所以我本來以為我應該寫a減零i3等於零,但是為什麼這邊寫a減零i3等於a,因為a減零i3本來就等於a。我這邊其實只是要把那個運算過程寫出來而已。

所以我們現在這個題目其實就是找matrix A的null space,我們要找matrix A的null space。那怎麼找matrix A的null space,應該就不用講,就做個reduce row echelon form,找一下matrix A的null space。

那這個matrix A的null space,這個是matrix A的reduce row echelon form,那你從它的reduce row echelon form就會知道說,你從它的reduce row echelon form,你就可以找出matrix A的null space,它的dimension是多少。

那從這個reduce row echelon form,你可以看出說,這個matrix A它因為rank是2,那它的nullity就是1,因為它的nullity是1,代表它的null space的dimension等於1,那因為它的null space的dimension等於1,小於multiplicity。

所以這一個matrix它就是不能夠被對角化的,你也不需要再花時間去check T等於-2這個eigenvalue,它的eigenspace長什麼樣子,因為eigenvalue等於0的這個case,它已經找不到足夠的eigenvector,就這個case一定要找到兩個eigenvector,最後湊出來才有辦法被對角化,那現在既然已經找不到足夠的eigenvector,那這個執政就沒有被對角化的機會了。

那對角化這件事情有什麼重要的地方呢?那我們上週其實講了一個開頭,這個是對應到課本的5.4,那把一個linear operator做對角化,它的重要之處是說,之前我們有講過coordinate system,我們說我們可以從不同的coordinate system來看待同一個linear operator,

那對角化這件事情就是讓我們用有系統的方法來找出那一個coordinate system,可以讓一個linear operator看起來更加的簡單,也就是說本來的linear operator它是T,我們可以在另外一個space去看待這個linear operator,它就變成T下標B。

假設我們在B這個coordinate system去看這個linear operator,它就變成T下標B,那我們希望這個T下標B它是很簡單的,那過去我們需要妥善的思考一下,這一個coordinate system B長什麼樣子,但現在有了對角化的概念,你就可以輕易的找出這一個coordinate system。

怎麼說呢,因為我們知道說,假設今天你的linear operator背後所對應到的矩陣A,它是可以被對角化的,它可以被拆解成P乘以D乘以P inverse,它是可以被對角化的。

那我們現在只要把P當作是我們的basis,還記得P是什麼嗎,P就是matrix A的independent eigenvalue所組合起來的矩陣,只要把A能夠被對角化拆解成P乘以D乘以P inverse,我們把P拿出來當作我們的coordinate system。

那根據這個coordinate system,看到的linear operator T,它就會是D,那D是一個只有對角線有值的矩陣,它是一個diagonal的matrix,所以你就可以把原來的A用比較簡單的方法,用D來看待它,這個就是對角化的妙用。

那這邊我們就是再舉一個例子,我們知道說現在有某一個linear operator T,然後它是可以被對角化的,你可以找到它的eigenvalue是負1跟2,它的eigenvalue負1跟2分別對應到兩個eigenvector跟一個eigenvector。

eigenvalue負1它的eigenspace是有兩個成員的,eigenvalue2它的eigenspace的basis是一個vector,所以這三個vector合起來可以看作是一個coordinate system。

如果你用這個coordinate system來看待你現在的operator T,它在這個coordinate system,在這個eigenvector所形成的coordinate system裡面,看到的樣子就是這個樣子。

你把這三個vector排起來,變成一個coordinate system,那這三個vector分別對應的eigenvalue是負1、負1、2,所以今天你把這一個matrix在這個新的coordinate system下看起來,它就是一個diagonal的matrix,它的對角線就是負1、負1跟2,就是這個樣子。

所以今天對角化這件事情就是可以讓我們有一個簡單的方法,把一個可以被對角化的矩陣變成一個比較簡單的,在另外一個coordinate system上看起來是比較簡單的。