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我們先要定義一些名詞,那其實7.1是比較無聊的啦,它做的事情就是各種名詞的定義,那這些東西呢,你也許在以前高中的時候就已經聽過了。

第一個定義的東西呢,叫做none。none是什麼意思呢?none的意思其實就是一個vector v的長度,就是它的none。

那在我們課文裡面呢,我們用兩個括號,用兩個板子呢,把一個vector v括起來,代表它的none。

那如果沒有跟你說明的話,兩個板子加上一個vector,它等於這個vector裡面每一個element的平方和,等於這個vector裡面每一個element的平方和。

那接下來有了none以後呢,接下來要定義的就是長度,不是長度,none定義的是長度,接下來要定義的是距離。

那兩個vector之間的距離是什麼意思呢?有一個vector u,有一個vector v,它們之間的距離是什麼意思呢?

它們之間的距離就是把這兩個vector進行相減,然後呢,計算它們的none就結束了。

那我們幾下就舉一個例子啦,假設你有一個vector v,那v的none是什麼呢?

v的none就是把它的裡面每一個element的平方和再開根號,所以你就把1平方加2平方加3平方再開根號,就變成根號4。

那有另外一個vector u,它是2-30,那這個vector u它跟vector v之間的距離有多少呢?你就先把v跟u相減,變成-153。

然後呢,再把相減的結果取它的none,就得到v跟u之間的距離,就是這麼簡單。

這邊講的是none跟distance,那接下來呢,要講另外一個東西呢,叫做osagno。

那osagno這個字眼要怎麼念呢?很多人其實不知道它是怎麼發音的,所以我就找了一下YouTube上教你發音的影片啦。

我們來看看它是怎麼發音的。

聽起來有點怪怪的,不知道對不對,所以我又查了另外一個。

念起來就像osagno,就是台灣國語,你殺了一個東西。

好,那什麼是osagno呢?在講osagno之前呢,你要講一個東西叫做dark product,那什麼是dark product呢?

這個dark product呢,你在高中的時候學過了啦,就假設你有一個vector u,有一個vector v,u跟v之間的dark product,就是把u跟v的每一個element相乘。

就是說,u跟v的dark product,就是u1乘v1加上u2乘v2,一直加到un乘vn,就結束了。

好,那什麼是osagno呢?今天如果兩個vector u跟v,它們的inner product是0,那它們就是osagno。

那這可能會讓你聯想到說,這不就是垂直嗎?這不就是垂直嗎?沒錯,其實osagno就是二維跟三維空間中的垂直,只是在高維空間中垂直這件事,因為在高維空間中你就很難想像說什麼叫做垂直、什麼叫做角度。

所以在高維空間中的垂直就叫做osagno。我知道說大家在國中高中的時候都有學到說,在二維三維空間裡面,兩個向量垂直,那它們的dark product就等於0。

那在高維空間中其實也是一樣,在高維空間中,兩個向量,它們如果dark product等於0,那我們說它們是osagno。

那zero vector對任何的vector都是osagno,因為這很直覺嘛,因為zero vector乘上任何的vector都等於0,所以zero vector對任何的vector都是osagno。

主持人說的好,那助教已經來了,我們就請助教來講一下作業室。

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Osagno在二維或三維空間中是垂直,在高維空間中的垂直,我們就叫osagno。

Osagno在二維空間中是垂直,在高維空間中的垂直,我們就叫osagno。

Osagno在二維空間中是垂直,在高維空間中的垂直,我們就叫osagno。

Osagno在二維空間中是垂直,在高維空間中的垂直,我們就叫osagno。

Osagno在二維空間中是垂直,在高維空間中的垂直,我們就叫osagno。

U和U的大破大 等於0,if and only ifU等於0。

U和U的大破大 等於0,if and only ifU等於0。

U和U的大破大 等於0,if and only ifU等於0。

U和U的大破大 等於0,if and only ifU等於0。

U和U的大破大 等於0,if and only ifU等於0。

U和U的大破大 等於0,if and only ifU等於0。

U和V的大破大 等於V和U的大破大,

那 u 跟 v 加 w 的大割打 等於 u 跟 v 的大割打加上 u 跟 w 的大割打

那 v 加上 w 跟 u 的大割打 等於 v 跟 u 的大割打加上 w 跟 u 的大割打

然後呢 把 u 乘上 c 倍 再跟 v 做大割打

等於 u 跟 v 做大割打乘上 c 倍 等於 u 跟 c 乘上 v 這個 vector 做大割打

好 那假設你把一個 vector u 把它乘上一個 scalar c 把它變成 c 倍

然後去計算它的 non

那這件事情等於你把 u 的 non 乘上 c 的絕對值

然後呢 今天如果你把某一個 vector u 乘上 a 做一個 transform

得到一個新的 vector a 乘上 u 是一個新的 vector

而把這個 vector 跟 v 做大割打以後 會變成什麼東西呢?

今天兩個 vector 的大割打 你可以寫成把前面那個 vector 做 transpose

再對後面那個 vector 相乘

所以 a 乘上 u 跟 v 做大割打 等於 a 乘上 u 的 transpose 乘上 v

然後我們知道說 兩個 matrix 相乘取 transpose

你可以把 transpose 乘進去 然後交換順序

你可以把 transpose 乘進去 然後交換順序

a 乘上 u 的 transpose 可以寫成 u 的 transpose 乘上 a 的 transpose 再乘上 v

那 u 的 transpose 乘上括號裡面 a 的 transpose 乘上 v 這個東西呢

你可以再把它轉回大割打的樣子

所以你可以把 u 的 transpose 乘上括號裡面 a 的 transpose v 這個東西

轉回大割打的樣子 也就是 u 跟 a 的 transpose v 的大割打

那就是這樣子 這個都很直覺 就不需要證明

那這邊呢 就是舉一個例子

那你可以用我們剛才所學到的種種的大割打的特性

把上面這個式子寫成下面這個樣子

把 2u 加 3v 的 norm 的平方 寫成 4 倍的 u 的 norm 的平方

加上 12 倍的 u 跟 v 的大割打 加上 9 倍的 v 的 norm 的平方

那這個東西怎麼進行拆解呢?

我寫黑板可能比較快一點

這邊呢 是 2u 加 3v 的 norm 的平方

那以後你看到 norm 的平方就可以把它拆成大割打

所以 2u 加 3v 的 norm 的平方就是 2u 加 3v 跟 2u 加 3v 的這兩個 vector 的大割打

然後大割打是可以展開的

也就是說你可以把它變成 2u 跟 2u 加 3v 的廣大割打

加上 3v 還有 2u 加 3v 的大割打

然後你可以再把它層開

把 2u 跟 2u 層在一起

變成 2u 跟 2u 的大割打

加上 2u 跟 3v 的大割打

再加上 3v 跟 2u 的大割打

加上 3v 跟 3v 的大割打

然後你再把大割打弄回去

大割打可以再變回 norm 對不對

大割打可以再變回 norm

所以 2u 跟 2u 的大割打是什麼呢

就是 2u 的 norm 的平方

然後呢 3v 跟 3v 的大割打是什麼呢

就是 3v 的 norm 的平方

那剩下這個東西是什麼呢

剩下這個東西呢

就是這個東西呢

就是 12 倍的 v 跟 u 的大割打

那其實呢就是這個樣子

好那這個東西你如果想的話

你就可以把它再變成說

這個 2u 的 norm 的平方

就是這個 4 倍的 u 的 norm 的平方

這個東西呢就是 9 倍的 v 的 norm 的平方

那就是這樣

好那接下來呢要講一個定理啦

這個叫做 Keplerian Theorem

有聽過這個定理的同學舉手一下

沒有聽過這個定理的同學舉手一下

然後手放下

其實你是聽過的

你只是不知道它的英文而已

這個是畢氏定理啊

這是他國小就學過的東西

這就是畢氏定理

你只是不知道它的英文是什麼而已

有人問說為什麼這個翻成畢氏定理是嗎

這音聽起來好像不太像是

這個就是畢達哥拉斯的意思

但是好像音又發起來不太像

我一直不知道為什麼

也許是用別的語

這個好像應該是念 Paphagorean 吧

但是也許在別的語言念起來

比較像畢達哥拉斯

也許英文念起來不像就是了

好那這個

所以這個就是你國小國中學過的東西啊

就如果 U 跟 V 它們是 Ossogonal 的話

那 U 跟 V 的弄平方等於 U 的弄平方加 V 的弄平方

如果把它換成你以前小時候學過東西的話

就是如果 U 跟 V 是垂直的

那兩邊之和的長度會等於另外兩邊的和

就是這樣子

所以就是說今天你有一個 U

然後你有一個 V

然後假設它們是 Ossogonal 的

如果是在二維平面上

你就可以說它是垂直的

但在高維平面上就很難想像那個是什麼

不過 Ossogonal 就是這個垂直的概念

然後呢

你有一個 Vector U 跟 V

U 加上 V

好

那這個弄是什麼呢

弄就是它的長度

所以我們知道兩邊

一個直角三角形兩邊長度的平方和

會等於第三邊的長度的平方

那這個東西怎麼證明呢

那這個就是就很簡單了

這個 U 加 V 的弄的平方

按照我們剛才在前一頁投影片教過你的這種展開的方式

你可以把 U 加 V 的弄的平方

就轉成 U 的弄的平方

加上兩倍的 U 跟 V 的大發達

再加上 V 的弄的平方

那轉換的方式就跟我們在黑板上寫的一樣

你就把它展開就好

所以 U 加 V 的弄的平方展開以後呢

你就得到 U 的弄的平方加 V 的弄的平方

加上兩倍的 U 跟 V 的大發達

那因為 U 跟 V 是 Ossogonal 的

所以它們的大發達是 0

那所以呢這個 U 加 V 的弄的平方

因為這項等於 0

這樣等於你要把它拿掉

所以等於 U 的弄的平方加 V 的弄的平方

就這樣子

所以這個證明呢是還頗單純的

那這邊有另外一個定理是說

如果一個平行四邊形

它的兩個對角線是 Ossogonal 的話

那這一個平行四邊形呢

它一定是一個菱形

它一定是一個菱形

什麼意思呢

這個所謂的菱形的意思

所謂的菱形的意思就是

它的兩個邊的長度是一樣的

這邊也許我們畫個圖來說明比較容易

就你有一個向量它叫做 V

哎呦

欸等一下

我想想看

嗯

喔好沒有問題

好你有一個

假設今天你有一個平行四邊形呢

它的兩邊呢分別就是 U 跟 V

它兩邊呢分別就是 U 跟 V

那今天假設有一個人告訴你說呢

這一個平行四邊形呢

它的兩個對角線是 Ossogonal 的

它的這一個對角線跟這一個對角線

它是 Ossogonal 的

那它就會

當然它就一定是一個菱形

所謂菱形的定義是說呢

U 跟 V 的長度是一樣的

也許我在旁邊呢

還是把弄寫上去

U 跟 V 的長度呢是一樣的

如果今天呢

你的兩個對角線呢

它是 Ossogonal 的

它是垂直的話

那 U 跟 V 的長度是一樣的

好那這怎麼證呢

首先你就要把這兩個對角線呢

它的式子寫出來

把這兩個對角線的式子寫出來

那這兩個對角線的式子長什麼樣子呢

事實上這一邊

這一個邊

這一個對角線

它就是 U 加 V

那這一個對角線

它其實就是 U 減 V

然後你把

然後今天呢

我們說 U 加 V 跟 U 減 V

它是 Ossogonal 的

U 加 V 跟 U 減 V 它是 Ossogonal 的

也就是 U 加 V dot U 減 V 等於 0

然後你把 U 加 V dot U 減 V 展開以後

你會發現它等於

U 的弄平方減 V 的弄平方

因為 V dot U 跟 U dot V 可以消掉

所以剩下 U 的弄平方減 V 的弄平方

那這一下等於 0

代表說 U 的弄等於 V 的弄

U 的長度等於 V 的長度

好就這樣子

好那再來呢就是

大家都學過的這個三角不等式

我們知道說這個兩邊的三角形的兩邊的長度之和

一定大於等於第三邊

那這個呢就是三角不等式

也就是說呢

這個 U 的長度加 V 的長度

一定會大於等於 U 加 V 的長度

好那這個怎麼證呢

這個就是這樣就是

你就證一下說

U 加 V 的弄的平方先把它展開

你先把這個左邊的部分

這個 U 加 V 的弄的平方把它展開

它是 U 的弄的平方加上兩倍的 U dot V

加上 V 的弄的平方

好那這一項啊

因為 U 跟 V 的大發達一定會小於等於

U 跟 V 的大發達加絕對值

因為大發達有正有負

然後如果你加絕對值以後呢

你就會得到它的 upper bound

所以 U 加 V 的大發達取絕對值

會大於等於 U dot V

所以你得到了這一個式子

好那接下來呢就是用這個

柯西不等式啊

用柯西不等式你就知道說

U dot V 的絕對值呢

小於等於這個 U 的弄 dot V 的 U 的

這個應該不是這個

這個應該不能說是大發達

這個就是相乘

因為今天呢

這個 U 是一個 scalar

V C 是一個 scalar

所以這個 U 跟 V 的大發達的絕對值呢

小於等於 U 的 scalar 乘上 V 的 scalar

然後下面這一項呢

這個 U 的弄的平方加上兩倍的

U 的長度乘上 V 的長度加上 V 的弄的平方

可以再把它變成

U 的弄加上 V 的弄取平方

然後呢

你知道說 U 加 V 的弄的平方

小於等於 U 的弄加 V 的弄取平方

所以 U 加 V 的弄就小於等於 U 的弄加 V 的弄

那這邊唯一有需要思考一下的就是

那能不能證一下這個柯西不等式呢

能不能證一下柯西不等式呢

那我們其實可以來試著證一下

柯西不等式

你有問題嗎?

好,大家有問題要問嗎?

好,那我們其實可以試著證一下柯西不等式

找個板插

這個是單純柯西不等式嗎?

對,沒錯

好,那他們有一個很直覺的想法

他們在下面這裡

你可以這麼說

你可以說

我們現在呢

把 U 跟 V 都先弄來這一個

可是弄來這一個的意思是說

把它變成長度是 V 的 Vector

怎麼把它變成長度是 V 的 Vector 呢?

如果你把這個 U 呢

把它除掉它的弄

你把 U 除掉它的長度

它就會變成一個長度是 V 的 Vector

對不對,這個大家應該沒有問題吧

你如果對這個有問題

你就自己帶著把它想開

你就知道了

好,然後呢

我們把 V 呢

也對它的

這邊寫 V

也對它的長度呢

也除掉它的長度

那它也變成一個長度是一個 Vector

那如果我們今天把兩個長度是 V 的 Vector

做 Double Order

它的值呢

一定會小於等於 1 到負 1 間

越小於等於 1 到負 1 間

這件事情是非常的直覺的

假設你有兩個 Vector

一個是 U 的 Normalize 以後的結果

另外一個呢

是 V 的 Normalize 以後的

V 的 Normalize 以後的結果

那它們做 Double Order

一定會介於等於 1 到負 1 間

它們 Double Order 最大的可能呢

就是這兩個 Vector 呢

它們疊在一起的時候

是 1

那當是反向的時候

它是負 1

這個是直覺的想法

那假設這件事情成立

那就沒有問題了

因為假設這件事情成立

那你就可以說

U.V 取絕對值

除上 U 的長度乘以 V 的長度

就把這個東西做一下整理

它一定小於等於 1

就已經證明了克西不等式

就已經證明了這個部分

但是接下來我們要證的其實是

這件事情為什麼是成立的呢

這件事情為什麼成立的呢

當然如果你用

你可以用直覺想就是這樣

但是我們現在

假設你只能夠使用我們剛才上課有講過的

Double Order 的訊息的話

你怎麼證這件事呢

你怎麼證這件事呢

那我們現在呢

假設 U 為了等一下寫起來比較方便

這一項我們就叫它 W

這一項我們就叫它 Z

然後我們現在

假設 W 跟 Z

我們把它做相加

把它做相加

然後呢

接下來把它相加以後呢

再取它的 norm 的平方

把它相加以後

得到一個新的 vector

再取這個新的 vector 的 norm 的平方

那不管這個新的 vector 長怎麼樣

我們知道說 norm 的平方

一定是大於等於 0 的

一定是大於等於 0 的

接下來呢

你可以把這一項展開

這一項展開以後呢

它變成 W 的 norm 的平方

加上兩倍的 W 跟 Z 的大化檔

然後呢

不然我二行比較加個點

然後呢

加上 Z 的 norm 的平方

然後我們知道說

這一項其實等於 1

這一項其實等於 1

然後它們大於等於 0

可是這告訴我們什麼呢

這告訴我們說

我們可以把 1 挪到右邊去

1 挪到右邊去

1 挪到右邊去

所以我們這邊學到什麼呢

我們學到說

W 跟 Z 的大化檔

會大於等於負 1

會大於等於負 1

我們現在學到了這件事

學到這件事

那接下來呢

我們只要把正號改成負號

把正號改成負號

正號呢改成負號

那你就可以又學到

W 跟 Z 的大化檔

它是小於等於 1 的

就結束了這樣

你知道這件事情

你就知道這件事情

你就有了柯西夫等式

然後你就可以證

兩邊之和的長度

小於等於兩邊的長度和