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在講我So-called matrix之前呢,我們要講一個特性,這個特性叫做non-preserving。

non-preserving的意思是說,假設我們有一個linear operator,或是linear function,它有non-preserving的特性代表什麼呢?

代表對所有的u,這邊要強調一下是所有的輸入,不是只有單一一兩個輸入而已,不是單一一兩個特例而已,

是對所有的u,所有的輸入,你把所有的u呢,通通丟到這個operator裡面,得出來的輸出,它的長度會等於輸入的長度。

所以這個是一個很簡單的特性,就是說如果今天有一個linear operator,一個function,它輸入的向量的長度永遠等於輸出的向量的長度。

你把一個向量丟進去,輸出來以後不見得是同一個向量,但它的長度永遠保持不變,這個叫做non-preserving。

什麼樣的function是non-preserving的呢?舉例來說,旋轉,旋轉大家知道就代表一個vector進行旋轉,旋轉這件事情是linear的。

旋轉雖然可能很複雜,但是它是linear的,它符合linear的種種特性。

那旋轉這樣子的function,它是不是一個non-preserving的linear operator呢?

覺得是的同學舉手一下,手放下,覺得不是的同學舉手一下。

你可能會覺得說,很直覺覺得應該是,但既然這樣問了應該有問題,這可能是記中心,但其實這不是記中心,它是non-preserving的function。

所以它是non-preserving的function,因為旋轉就是把一個vector,比如說把它左轉15度,右轉15度,它不會改變那個vector的長度,所以它是non-preserving的。

那這邊有另外一個問題,假設我們現在有一個linear的operator,它做的事情是reflection,做的事情是insert。

舉例來說,在二維的平面中,你有一條直線,然後你有一個operator,它做的事情就是對這條直線做鏡射,這邊有一個直線L,然後你有一個vector,它做的事情,你有一個linear operator,它做的事情就是對L做鏡射。

這樣子的一個operator,你覺得它是non-preserving的還是沒有non-preserving的呢?你覺得它是non-preserving的同學舉手一下。手放開,你覺得它不是non-preserving的同學舉手一下。你覺得不是,為什麼呢?

如果沒有通過原點的話,如果沒有通過原點的話,它可能甚至不是linear的。

如果它沒有通過原點的話,如果今天這一條直線沒有通過原點的話,那這一個operator,它甚至不會是linear的。

那我們只好加上改變一下這個問題,我們只好假設說它是有通過原點的。我們來重新問這個問題吧。這樣可以嗎?

你覺得它是non-preserving的同學舉手一下。你覺得它不是non-preserving的同學舉手一下。它是non-preserving的function。

這邊就是把這些linear的operator,它的standard matrix把它列出來,把它背後的對應的matrix把它列出來。那你會發現說這些matrix其實是有一個共同的特性的,什麼叫共同的特性呢?

就是它的column彼此間是orthogonal,而且它的column的長度都是1。比如說旋轉這件事,旋轉這件事的matrix可以寫成cosθ,負sinθ,sinθ,cosθ。

那如果你計算這兩個column,你會發現說它們做double product是0,所以這兩個column是orthogonal。而這兩個column它們的長度是1,這兩個column它的長度是1。

這兩個column的長度是1,為什麼呢?因為cosθ加sinθ,或者是負sinθ加cosθ等於1。

所以今天一個non-preserving function,它背後所對應的matrix,它的特性就是它的column彼此之間是orthogonal,然後每一個column的長度都是1。

那如果對reflection這件事情來說也是一樣的,舉例來說,1001這個vector,它做的事情應該是對x軸做reflection,因為如果你把xy乘進去,得出來的結果是x-y,你把xy乘進去,得出來的結果應該是x-y。

好,那這個x-y這個東西,這個對y軸做reflection這件事情,它是non-preserving的,那它的這個matrix的兩個column是orthogonal的,然後它這兩個column的長度都是1。

好,那這邊呢,這個例子是說,假設有一個linear的operator,它做的事情是什麼?它做的事情是projection,它做的事情是orthogonal的projection,就是你在空間中有一個subspace,然後你把這個vectorproject到這個subspace,那它也是一個linear的operator。

那這個linear的operator,它會是non-preserving的嗎?好,你覺得它適合同學舉手一下,你覺得它不適合同學舉手一下,好,手放下。

它確實不是non-preserving的,因為假設你有一個subspace,它長這個樣子,然後呢,你現在有一個vector,你把這個vectorproject到這個subspace上面,它的長度顯然是會變的,所以它不是non-preserving的。

當然如果今天這個vector本來就落在這個subspace上面,它的長度是不會變的,但是non-preserving是說,對所有的vector的長度都不會變,所以如果只有一兩個特例是不算的。

好,那如果我們今天把projection的metric寫出來,你會發現說,它就沒有剛才我們講的那個特性,它的column彼此之間不見得是orthogonal的,然後它的column的長度也不見得是1。

那另外其實,如果一個linear operator,它的eigenvalue不等於正負1的話,其實它就沒有辦法是non-preserving的。

假設你今天找到一個metric,找到一個linear operator,它背後所對應的metric,它的eigenvalue有不是1或者是不是負1的eigenvalue的話,它其實就沒有辦法是non-preserving。

為什麼呢?因為你可以這樣想,如果今天有不等於正負1的eigenvalue,會發生什麼事呢?

好,那如果我們今天把一個vector v帶到u裡面,那它會等於λv,就假設今天有一個vector v,它的對應的eigenvalue就是λ,假設v是λ的eigenvector。

所以把u帶到這個function裡面,你的輸出會是λv。那λv等於什麼呢?λv等於λ的絕對值乘上v的長度。

如果現在這個λ不等於正負1,它是其他的值,那它就會改變了v的長度,那你這樣輸出的長度跟輸出的長度就不一樣。

所以如果今天某一個matrix,它的eigenvalue有不是1或者是不是負1的,那它就不可能是non-preserving的了。

好,那剛才在講non-preserving的時候,我們發現說,如果一個non-preserving的linear operator,它背後對應的matrix都有一個特性,就是這個column堅守solenoid。

而且每一個column的長度都是1,每一個column的長度都是1,每一個column都是univector。

那這樣子的matrix,我們叫它orthogonal的matrix。

但這邊有一個神奇的地方,很多人常常搞錯的就是,orthogonal的matrix並不是說它的column是orthogonal的,而是它的column是orthonormal的。

這樣大家聽得懂嗎?我不知道為什麼不叫orthonormal的matrix,也許如果你知道這個答案的話可以,你知道這個例子的緣由是怎樣,你可以來告訴我。

但是反正在定義上,orthogonal的matrix是代表說它的column是orthonormal的,這樣大家聽得懂嗎?

orthogonal的vector set是說這個vector set裡面的vector是orthogonal的,orthonormal的vector set是說這個vector set裡面的vector是orthonormal的。

但是orthogonal的matrix,它是說它的column是orthonormal的,並沒有orthonormal的matrix。

希望你不要搞混,反正定義上就是這個樣子。orthonormal的matrix的column,orthogonal的matrix它的column是orthonormal的。

所以當我說一個matrix是orthogonal的時候,它的column不只是互相之間做doubler等於零,同時它的column的長度都是1,因為它是orthonormal的。

就這樣子,所以今天下面這個vector,不是vector,下面這個matrix它就是一個orthogonal的matrix,為什麼?第一個,它的兩個column之間彼此是orthogonal的,再來它的兩個column都是univector,它的長度都是1,兩個column的長度都是1,所以它是一個,滿足這兩個條件,所以它是一個orthogonal的matrix。

好,那接下來我們要講的事情是說,一個linear operator,如果它是non-preserving的,它背後所對應的function一定是這個orthogonal的matrix,等一下我們也會證反過來,反過來比較難證,正向比較容易證。

就是non-preserving保證推得orthogonal的matrix,non-preserving的function,它背後的matrix一定是orthogonal的,再來也會告訴你說,反過來說,orthogonal的matrix,它所形成的function一定是non-preserving的,所以這兩件事情是等價的,是弱且為弱的,所以non-preserving就等於orthogonal的matrix,它們是等價的,它們是equivalent的。

所以我們先證明從左邊到右邊,如果是一個function有non-preserving這樣的特性,那你就會發現說它背後所對應的matrix一定是orthogonal的,那怎麼說呢?我們先來檢查它的長度,我們先來檢查每一個column的長度,怎麼檢查每一個column的長度呢?

我們要知道說Q是不是orthogonal的matrix,我們只要verify兩件事,第一個就是Q的每一個column Qj,長度數字都是1,Q的任意兩個column Qi跟Qj是不是orthogonal的。

第一個,請我們先來看看長度,為什麼Q的每一個column的長度固定是1呢?因為如果我們今天把Q乘上standard vector ej,我們會得到它的第j個column,我們之前就有講過說Q乘上E1就等於Q1,Q乘上E2就等於Q2,Q乘上Ej就等於它的第j個column ej。

那現在按照non-preserving的性質,因為我們已經知道說我們現在考慮的linear operator它已經是non-preserving的,所以輸入的長度等於輸出的長度,輸入Ej我們會等於Qj,而Ej的長度固定是1,這個standard vector的長度是1,所以每一個column的長度也會是1,就這樣,按照non-preserving的性質。

截至現在,Q這個metric,它的每一個column的長度都得是1才行。

好,再來要證明說任意兩個vector間,任意把Q的兩個vector的column拿出來,它一定是orthogonal。

那怎麼證明這件事情呢?你就說,現在我們把任意兩個column Qi跟Qj拿出來,取它們的弄平方,你會發現它等於Qi的弄平方加Qj的弄平方。

如果這件事情成立,如果等號的最左邊等於等號的最右邊等號的最右邊,如果Q加J的弄平方會等於Q的弄平方加J的弄平方,那意味著什麼?

按照畢氏定理,這個按照畢氏定理,我們之前有講過了,按照畢氏定理,那這兩個vector就是orthogonal的。

好,那這件事情要怎麼證明呢?你就說,Qi跟Qj分別等於Q乘上Ei加上Q乘上Ej。

Q乘上Ei加Q乘上Ej都有Q,可以把Q提出來,Q乘上Ei加Ej,那今天Q乘上Ei加Ej的長度等於Ei加Ej的長度,這個就是non-preserving的特性,輸入的長度會等於輸出的長度,所以Ei加Ej的長度等於Q乘上Ei加Ej的長度。

而Ei加Ej的長度是多少呢?Ei加Ej的這個vector,你可以直接算出來說,它們的長度就固定是2,所以今天Ei加Ej這個vector的長度會等於Q的長度加上J的長度,Qi的長度加上Qj的長度。

因爲我們知道說,今天Qi的長度等於1,Qj的長度也等於1,Qi的長度跟Qj的長度都等於1,它們1加1會等於2,所以Qi加Qj的長度的平方等於Qi的長度的平方加上Qj的長度的平方,好,結束,就這樣。

所以現在我們證明的是說,假設一個linear operator是non-preserving的,它背後一定對應一個orthogonal的matrix,那接下來是反過來,反過來怎麼說一個orthogonal的matrix它一定是non-preserving的呢?

那這邊就順便證一下各式各樣的跟orthogonal的matrix有關的性質,那我現在在這邊列了五點,這五點都跟orthogonal是等價,它們都是equivalent。

就是假設Q是orthogonal的,那意味著Q乘以Q的transpose一定是identity matrix,意味著Q的inverse就是Q的transpose,那這是一個很好的事情,因爲inverse其實很難算,但是如果我們知道Q是orthogonal的,它的inverse就直接取transpose,就是它的inverse。

好,然後呢,今天Qu乘Qu的大發達,Qu跟Qv的大發達,會等於U跟V的大發達,對任何U跟V來說都是成立的,然後呢,我們剛才有講,然後呢,我們會說orthogonal就等於non-preserving。

那現在在投影片上出現的這五點,那等一下會證明說,它其實就是等價的,它其實就是equivalent的,它們就是一模一樣的東西。

好,那我們現在就來證明這件事,那這個並沒有特別的困難,那我們現在要做的整件事情是說,先證說如果Q是orthogonal的,那第二式就會成立。

然後第二式跟第三式其實是一模一樣的,不用再證明,然後呢,第二條成立,第四條保證推的第四條成立,然後第四條成立保證推的第五條成立,然後第五條成立我們剛才證明可以推的第一條成立,所以它們就構成一個循環,所以就會發現說現在投影片上寫的這五點,它們都是等價的。

好,那我們就來看一下,為什麼Q是orthogonal的,可以保證推的Q乘以Q的transpose是identity的呢?那這個就直接從orthogonal的特性來看就好了。

這個直接從orthogonal的特性來看就非常的清楚了,把Q乘上Q的transpose,那我們把它的color列出來,Q就是Q1,Q2,一直到Qn。

好,Q的transpose是什麼呢?是Q1的transpose,Q2的transpose,一直到Qn的transpose,我這邊加一些橫線代表說它是平躺的,加一些直線代表說它是立起來的,這樣它就立起來了。

好,現在呢,我們實際上如果要計算一下Q乘以Q的transpose這個metric,它長什麼樣子呢?它的第一個rows,第一個color,就是Q1,Q2,我想一下,它,我這樣寫對嗎?

反過來比較好寫,對不對?我不應該把它寫成Q乘以Q的transpose,我應該把它寫成Q的transpose乘以Q,所以我們這邊的證明就把它改成Q的transpose乘以Q的identity。

可以說這個Q的,因為等一下如果我們可以證明說Q的transpose乘以Q是identity的,就假設我已經知道說Q的transpose對Q它是identity的,其實我們也自動得到說Q乘以Q的transpose也是identity的,這樣。

因為你可以對等號的左邊和右邊都去transpose,你對它也許transpose會變成一樣的東西嘛,所以這個樣子。

好,那我看看,那所以如果今天是Q的transpose乘以Q,所以如果是Q的transpose乘以Q,好,那如果是Q的transpose乘以Q的話,那就很簡單了。

如果是Q的transpose,Q1的transpose,Q2的transpose,一直到Qn的transpose,乘上Q1,Q2,到Qn。

好,然後所以呢,今天如果把它乘開的話,把它乘開的話,就會變成Q1的transpose乘上Q1,Q2的transpose乘上Q1,一直到Qn的transpose乘上Q1。

好,這邊是Q,這邊是Q1的transpose乘上Q2,這邊是Q2的transpose乘上Q2,一直到Qn的transpose乘上Qn,這樣。

好,然後呢,這邊,非對角線的部分,因為我們知道說Q是ossoleno的,所以非對角線的部分就是0,非對角線的部分就是0。

那這個matrix,它是ossoleno的,另外一個特性是說,它的每一個vector,它的每一個problem的長度都為1。

所以這一項啊,我們知道它是多少,它就是1,這一項呢,它也是1,到這一項呢,它也是1,所以它是identity的,所以它是identity的。

好啦,這邊呢,我猜大家可能會,我剛才好像想到一個小問題,就是Qt的乘以Q它的transpose真的是它嗎?不是,它根本是它自己,所以我們不能夠這麼說,不要這麼說,不要這麼說。

不過沒有關係,這件事情,這個問題非常容易解決,怎麼解決呢?

因為我們看看第三點,Q的transpose乘以Q的identity,所以Q的transpose就等於Q的inverse,對不對,這就是inverse的定義嘛。

如果某一個matrix乘上另外一個matrix會是identity,那它就是它的inverse,它就是它的inverse。

邊界Qt乘上Q會是identity,那意味著Qt就是它的inverse。那我們知道說,如果A是B的inverse,它把它乘在左邊跟乘在右邊都是identity的。

就是如果我們知道說Q的inverse乘上Q是identity matrix,那Q乘上Q的inverse也是identity matrix。

然後我們就知道說,這個T呢,我們就可以把它換成大T,把它直接換成大T,所以這個大T呢,Q的transpose在左邊跟右邊都仍然會是identity的。

這個部分大家有什麼問題嗎?OK嗎?好,所以我們現在學到一個有趣的事情就是說,假設一個matrix是orthogonal的,它的inverse很好算,就是它的transpose。

那再來呢,就是要證說,Qu dot Qv是多少?Qu dot Qv是多少呢?

Qu dot Qv可以寫成Qu的transpose乘上Qv,可以寫成Q的transpose乘上Q,再乘上V。

Q的transpose乘上Q是什麼呢?Q的transpose乘上Q就是identity,所以等於U的transpose乘上V,等於U dot V。

所以這件事就是這麼簡單。

所以這個叫做Q呢,它是preserve dot product,也就是說,經過Q做一個轉換以後做dot product,跟原來的U跟V做dot product其實是一樣的。

那有了這件事情以後,其實你就足以去證這個Qu的長度一定會等於U的長度,為什麼呢?因為我們已經知道說,你把Qv跟Qu做dot product等於V跟U做dot product。

現在把V換成U,所以Qu跟Qu做dot product等於U跟U做dot product。Qu跟Qu做dot product,這個東西就是Qu的none的平方,這個東西就是U的none的平方。

所以我們就知道說,Qu的長度等於U的長度,所以我們就證了non-preserving。

然後呢,剛才說,如果non-preserving就一定是solo node,所以就圓滿了一個循環,所以我們知道說,現在投影片上講的這幾點,通通都是一樣的事情,都是等價的事情。

好,那我們就在這邊休息十分鐘,下課的時候再回來。

好,那接下來呢,它有更多的特性,首先,這個orthogonal的matrix,它的determinant一定是正負一,一定是正負一。

然後再來啊,這個兩個orthogonal的matrix,就假設P跟Q都是orthogonal的matrix,兩個orthogonal的matrix相乘仍然是orthogonal的matrix。

然後呢,這個Q inverse是orthogonal的matrix,Qt也一定是orthogonal的matrix,從第三點正到第四點是trivial的,因為我們剛才講過說,Q inverse就等於Qt。

如果Q是orthogonal的話,Q inverse就等於Qt,那接下來就是要證明前面這三點。

好,那在證明這前面這三點之前,我們先用直覺來想一下,其實你用直覺來想就知道說,這三點應該是對的,為什麼?

為什麼Q是orthogonal的,Q inverse一定是orthogonal的呢?就直覺來想就是對的,為什麼?

因為我們說orthogonal等價於non-preserving,如果今天把某一個vector輸進去,轉出來輸入跟輸出的長度是一樣的,那inverse做的事情就是要把輸出轉回原來的輸入,對不對?

inverse做的事情就反過來嘛,把輸出轉回原來的輸入。既然輸入跟輸出長度是一樣的,non-preserving,那輸入跟輸出,輸出跟輸入它也是non-preserving的,反正輸入跟輸出長度一定是一樣的。

所以不管是Q還是Q inverse,都是non-preserving的,所以這個直覺上講就是對的。

那為什麼兩個non-preserving的metric相乘以後仍然是non-preserving的呢?就直覺來想也是對的,所謂metric相乘是什麼意思?

metric相乘就是把它們對應的linear的operator串在一起。

就是你把P跟Q相乘的意思是說,你把一個vector先通過Q這個function,再通過P這個function得到輸出,就是P跟Q相乘的意思。

今天既然P跟Q各自是non-preserving的,那你今天把一個東西輸給Q,Q得到一個中間產物,再丟給P,P得到最終的輸出,但是P跟Q都不會改變輸入輸出的長度,那意味著P跟Q加起來,把它們compose起來,它仍然是non-preserving,所以這顯然是對的。

那為什麼Q的determinant一定是正負一呢?你想想看,這個determinant的物理意義是什麼?determinant的物理意義是高微空間中的體積,它是一個超體積,高微空間中的體積。

如果你今天有一個orthogonal的matrix,如果它是二乘二的matrix,二乘二的matrix,它的兩個column的長度都是1,然後它們又各自是垂直的,那這一個二乘二的matrix,兩個column所形成的四邊形顯然長度就是1,對不對?

那如果是立方體,你有一個三乘以三的orthogonal的matrix,它的三個column是orthogonal的,那意味著說這三個column在三維空間中是垂直的,比如說像這樣子、這樣子、這樣,它們是垂直的,然後它們的長度又都是1,所以算出來那個正立方體的體積就是1。

所以就直覺來想,Q的determinant,一個orthogonal matrix determinant一定是正負1,所以直覺來想,這些事情都是對的。

那如果要證明的話,怎麼證呢?證Q的determinant,用的特性就是Q跟Q的transpose相乘,等於identity matrix這件事。我們知道說這個identity matrix的determinant就等於1,這個沒有什麼,你自己套一下determinant的式子就算出來。

那Q跟Qtranspose的determinant會等於Q的determinant乘上Q的transpose的determinant,按照determinant的特性,你可以把相乘的東西拆開。

所以我們知道說Q的transpose的determinant等於Q的determinant,這件事情不需要是orthogonal matrix來成立,對任何matrix來說,它的transpose的determinant都等於它自己的determinant,transpose過後的determinant都等於transpose前的determinant。

所以Q的transpose的determinant可以直接換成Q的determinant,所以Q的determinant的平方等於1,Q的determinant的平方等於1,所以determinant Q等於正負1,就這樣。

好,那P跟Q,它怎麼證它是orthogonal的呢?你要check一個matrix是不是orthogonal的,你可以用它,看它有沒有orthogonal的那些性質。

那最常被用到的,就是直接看說P跟Q的這個matrix,P跟Q相乘以後的這個matrix,它的transpose,有沒有等於這個matrix的inverse,這個matrix的inverse有沒有等於它的transpose,如果有的話,它就是orthogonal。

好,那現在如何證這件事呢?也很簡單,就是P跟Q,我們把它取個transpose,會等於Q的transpose乘P的transpose,Q的transpose乘P的transpose等於Q的inverse乘P的inverse,Q的inverse乘P的inverse等於P乘上Q的inverse。

所以我們知道PQ的transpose等於PQ的inverse,所以PQ這個matrix是orthogonal的,就這樣。

好,那最後呢,假設要證Qinverse是orthogonal的,那你的證法就是,你能不能夠證說Q的inverse這個matrix的inverse會等於Q的inverse這個matrix的transpose呢?如果你可以證明這件事情的話,那就結束了。

那如何證明這件事情呢?證明這件事情是很直覺的,Q的inverse的inverse是什麼?Q的兩次inverse就是它自己,它自己就是Q。

那Q的inverse的transpose是什麼呢?我們已經知道說Q的inverse就等於Q的transpose,在前一頁的證明裡面我們已經知道說,這個inverse-1,你可以直接把它寫成T,直接把它寫成T。

那把Qtranspose兩次會發生什麼事呢?transpose兩次就是TT,TT就是掉眼淚的意思,transpose兩次以後就等於什麼事都沒有發生,什麼事都沒有發生,所以也是等於Q。

所以我們現在就證出說,今天把Qinverse做inverse,跟Qinverse做transpose是一樣的,所以Qinverse也是一個orthogonal的matrix,這跟我們直覺想起來,剛才你開始講的時候直覺怎麼想這件事,這種直覺想起來都是一樣的。

那我覺得最神奇的地方反而是,Q是orthogonal的,Q的transpose居然也會是orthogonal的。雖然這個理由很簡單,就是因為Q的transpose等於Q的inverse,我們剛才在前一頁同學已經講過了,但這件事情還蠻不直覺的。

那我們就舉一個例子告訴你說這件事情確實是這樣,現在我一個matrix A,它是orthogonal的matrix,也就是說它的三個colon的長度都是1,然後彼此之間都是orthogonal的。

神奇的是,它的transpose居然也是orthogonal的,也就是說,你考慮A的row,它的長度居然也會是1,row之間的dafada居然也會是0。就colon之間的dafada是0,長度都是1,居然會導致row它的dafada為0,而且長度也是1,這很神奇。

我們只限制了colon,但不知道為什麼row也會有同樣的性質就是了。

好,那這個接下來就是比較trivial的部分,就是說orthogonal的matrix就對應到orthogonal的operator,那我們剛才講說orthogonal的matrix有一些特性,比如說dafada preserving這樣的特性,當然orthogonal的operator它背後是orthogonal的matrix,所以它也有這些特性。

假設有一個linear的operator T,有一個function T,我們說它是一個orthogonal的operator,意思是說,如果你把U帶到T裡面,V帶到T裡面,再做dafada,等於U跟V直接做dafada,就這樣。

那non-preserving的特性也是一樣的,假設你把U帶到T裡面,它的長度等於原來輸入的U的長度。

所以我們剛才講過說orthogonal的matrix,它有dafada preserving的特性,有non-preserving的特性,那orthogonal的matrix對應到orthogonal的operator,也都有dafada的特性,也都有non-preserving的特性。

那剛才我們講的其他事情也都成立,如果T跟U是orthogonal的operator,那T跟U做compose,或者是T的inverse,它們也都是orthogonal的operator。

那接下來就是舉一個例子來跟大家,就是舉一個例子來利用這個orthogonal的matrix的種種特性,那今天這個問題是這樣,假設給我們一個operator T,

這個operator T,它輸入這一個vector,1除以√2,0,1除以√2,輸出是0,1,0,那要問我們的是,T長什麼樣?

那因為現在只給你這條式子,所以你沒有辦法知道T它真正的樣子是什麼,如果沒有給你額外的限制的話。

現在我們有一個額外的限制,這個額外的限制是什麼呢?這個額外的限制是,T是一個orthogonal的operator,

所以我們希望藉由結合orthogonal的matrix的種種特性,加上T這個function,我們對它知道的唯一的線索,就是輸入這個vector,輸出這個vector,這兩件事合起來,想辦法找出說T應該是什麼樣子。

那T應該是什麼樣子呢?首先因為這個operator,它是一個orthogonal的operator,所以它有non-preserving的特性,

我們可以先檢查一下non-preserving的特性,是否在這個case裡面,在我們給的唯一的線索裡面,是成立的。

我現在輸入1除以√2 0 1除以√2 這樣子的vector,這個vector的長度是多少呢?這個vector的長度是1,它的長度是1。那輸出是010這個vector,這個vector的長度是多少呢?它的長度也是1。

所以non-preserving的特性是存在的。如果這邊non-preserving的特性不成立的話,就代表說這個題目是怎樣出錯了這樣子。

因為告訴你說T是orthogonal的operator,所以一定有non-preserving的特性,如果沒有就代表說這個題目出錯了。

好,那現在我們知道說A乘上某一個vector v,v寫在左邊,會等於010,也就是等於E2。

這意味著什麼?這意味著說,我們要找的這個linear operator,假設它背後對應的metric就是A,我們知道說A乘上v等於E2,意味著說v等於A的transpose乘上E2。

那這意味著什麼?這意味著說A的inverse,它的第二個column一定就是v,一定就是v,因為Ainverse乘上E2會等於v,所以我們知道說Ainverse的第二個column一定就是v。

好,那這邊,一般而言,假設你只知道A的inverse是沒有什麼用的,對不對?因為你知道A的inverse,你又不知道A長什麼樣子。

但是因為這不是一個一般的operator,它是一個orthogonal的operator,orthogonal operator它神奇的地方就是A的inverse會等於A的transpose,A的inverse會等於A的transpose。

所以我們其實只要找出A的inverse,再做transpose以後,我們就知道A是什麼,而transpose這件事情非常簡單,所以我們找出A的inverse就等同於已經找出A了。

好,那接下來呢,我們就是要把剩下的兩個column把它填進去,我們現在只填了第二個column,根據我們有的線索,只填得出第二個column。

接下來我們要把第一個column跟第三個column把它填進去,怎麼把第一個column跟第三個column填進去呢?

因為現在Ainverse也會是orthogonal,依照我們剛才講的orthogonal的特性,A是orthogonal的,那A的inverse它同時也會是orthogonal的。

所以我們現在就是要想辦法找出兩個vector,這兩個vector跟現在V這個vector,做搭發打以後為零,那怎麼找這兩個vector呢?

你可以想像說,假設這個vector是三維空間中的一條直線,那其實把這條直線當作法向量,它對應的這個平面上面的vector就會跟,我們假設它叫做V,假設V,然後這個vector呢,我們假設叫做V。

然後它有一個對應的平面,它是某一個平面的法向量,那在這個平面上,任何的兩個vector,如果它們已經是orthogonal的,你就可以拿來把它放到這個matrix裡面。

所以這邊的解呢,其實是不只一個的,所以A呢,依照題目給我們的線索,其實沒有辦法完全知道這個orthogonal operator背後對應的standard matrix A長什麼樣子,有很多個可能,但是我們可以縮小我們的範圍。

或者是你可以說,假設今天V呢,它形成了一個subspace,我們就叫做大V,那落在大V的perp裡面的vector,我們就可以拿來放在這兩個column裡面,但是這兩個column必須是orthogonal的,所以你要找的是大V的perp裡面的兩個orthogonal的vector。

而且它們又要長度,又要是unit,又要是e的vector,把它拿出來用。

所以我們知道A inverse長什麼樣子,那我們就知道A長什麼樣子,然後就結束了,就結束了。