我們都知道它是什麼,但是它有一些性質,是我們必須要講完orthogonal以後,尤其是講完orthogonal的matrix以後,才能夠講的性質。

那一個對稱的矩陣有什麼樣的性質呢?在講完eigenvalue以後,其實它有一個特別的性質是,它的eigenvalue一定都是正的,它沒有虛根,它不是容數,它沒有虛根。

那怎麼證一個symmetric的matrix,它的eigenvalue一定都是實數呢?一定都是real number呢?

我們先舉一個特例,這個特例是說,假設我們先考慮一個二乘以二的matrix,我們只考慮一個二乘以二的symmetric的matrix。

二乘以二的一個symmetric的matrix,二乘以二的symmetric的matrix,我們可以把它這個不失一般性的把它寫成A C B B這樣,就是對角性的地方是A跟C,不是對角性的地方就都放B,然後它是一個對稱的矩陣。

好,那我們現在要來找這個對稱矩陣的eigenvalue,我們怎麼找eigenvalue呢?我們就列出那個characteristic的polynomial,也就是你把對角性的地方都減t,對角性的地方減t,再算它的determinant。

你把這個matrix A,對角性的地方減t,對角性的地方減t,再算它的determinant,這個時候你會得到什麼結果呢?這個時候你要算determinant的話,你就把A減t乘C減t,然後再減掉B平方,A減t乘C減t,再減掉B平方。

所以今天這個對稱矩陣呢,它的characteristic polynomial列出來是這個樣子。

好,那它是一個一元二次的方程式,一元二次的方程式你要找它的一元二次的多項式,一元二次的多項式你要找它的根,你可以直接套公式解,對不對?這個是我們國中的時候就學過的東西。

那你要怎麼知道一個一元二次的多項式,它的根是不是都是實數呢?只要它的B平方減4ac大於等於零,它的根就都是實數。

好,那我們來check一下現在這個一元二次多項式,它的B平方減4ac是多少?它的B指的是這一項,這邊notation有點abuse,這個是B平方減4ac,就是把這個負A加C取它的平方,B平方減掉四倍的AC減B平方。

那這個式子整理一下以後你會發現說它是A減C平方加4B平方,一定大於等於零。所以這告訴我們說,一個二乘以二的對稱矩陣,它都只有十根,它的eigenvalue通通都是實數,因為它的characteristic polynomial只有十根。

好,這個是二乘以二的矩陣。那如果是一個in general的case,怎麼討論這個問題呢?如果是一個in general的case的話,這個時候你要用到實系數多項式須根共二這樣子的性質。

那這個部分其實算是超出範圍,它寫在課本的appendix裡面。今天一個實系數的多項式,因為今天我們的matrix裡面的值都是實數,所以我們的characteristic polynomial它是一個實系數的多項式,它的須根會共二。

什麼叫做須根會共二呢?假設我們有一個須根叫做lambda,lambda是一個虛數,那這個時候lambda bar,如果今天lambda是一個eigenvalue的話,那lambda bar也會是一個eigenvalue。

這個bar是什麼,大家知道我的意思嗎?如果你今天有一個lambda,它等於a加bi,就是它是一個負數,假設你今天你的實系數多項式,你的characteristic polynomial有lambda等於a加bi這個解。

也就是說你的matrix有a加bi這個eigenvalue,那它就一定會有lambda bar,lambda bar就是a減bi這樣子的eigenvalue。

好,那接下來要說明的就是,如果一個矩陣它是對稱的,那它的lambda就不可能會有虛數的部分,它就一定必須是實數。

那怎麼說呢?這邊用的是,這邊這個怎麼說呢?這個我們可以用,我們可以這麼說明,就是我們先假設說今天有一個matrix a,它是對稱的。

那這個matrix a,假設它現在同時有lambda也有lambda bar這兩個共二的eigenvalue,因為其實無論是哪一個matrix,它的eigenvalue都一定會是共二的。

然後在這個情況下,我們就可以說a乘上b等於lambda b,a乘上w等於lambda bar w,你找到某一個b跟a相乘以後等於lambda b,你找到某一個w跟a相乘以後等於lambda bar w。

然後接下來你可以把這個w的transpose乘上a乘上b,然後這個東西會有兩個,這個東西當然你就可以很trivial的寫成w的transpose乘上lambda乘上b等於lambda乘上w的transpose乘上b。

但是這一項你其實可以給它另外一個解讀,怎麼另外一個解讀呢?

就是我們要用到a它是transpose的性質,就是a等於a的transpose這件事情,因為a等於a的transpose,所以這一項同時也等於w的transpose,a的transpose乘上b,因為a等於a的transpose。

然後接下來你就可以把這一項把它括號括起來,這一項等於w,我想想看,把這一項括號括起來,沒有問題嗎?

好,沒有問題,好,這一項等於什麼呢?這一項等於a乘以w的transpose再乘上b,a乘以w的transpose再乘上b,w乘以transpose乘以a乘上b,等於a乘上w的transpose再乘上b。

然後呢?a乘以w是多少?a乘以w是lambda bar乘上w,對,lambda bar乘上w的transpose再乘上b,等於lambda barw的transpose乘上b這樣。

好,那現在,因為這兩個式子是相等的,所以說這一項lambda barw的transpose乘上b跟lambda w的transpose乘上b,它們是相等的,它們是相等的。

如果它們是相等的,我們就能夠保證推得lambda等於lambda bar嗎?因為它們是相等的,然後w的transpose乘上b,當然是等於w的transpose乘上b,它們是一樣的東西,它們是一樣的東西。

它們是一樣的東西,那為了要讓它們相等的話,lambda就必須等於lambda bar。那如果lambda等於lambda bar,那就意味著說,現在lambda它自己已經是一個數值,它不等於一個數字,它是一個數字的話,lambda就不能等於lambda bar,但是如果只有這樣講的話,其實還是少了一些東西的,少了什麼呢?

因為有一個可能是,如果w的transpose乘上b等於0的話,而如果w的transpose乘上b等於0的話,那lambda就可以不等於lambda bar,對不對?

所以我們今天需要證明,在接下來需要說明的一件事情就是,w的transpose乘上b,它一定是不等於0的,一定是不等於0的。因為w的transpose乘上b一定不等於0,所以lambda必須要等於lambda bar。

好,那如何證明w的transpose乘上b不等於0呢?我們可以說,其實我們找得到一個w,它就是b的conjugate,就是b bar,就是b bar。

所謂b的conjugate的意思就是,把這個b這個vector裡面的每一個element都換成它的共二。不知道大家知道我的意思,就是假設你本來有一個vector是1加3i,然後1減2i,假設這個是b,那它的conjugate b bar就是1減3i,1加2i這樣。

好,那所以把b bar當作w這個式子是會成立的。

為什麼把b bar當作w這個式子會成立呢?因為我們可以把a乘上b等於lambda乘上b這個東西,左右兩邊都取它的conjugate。

那我們知道說,今天如果你把好幾個式子,今天這個你把左右兩邊都取conjugate,等於a的conjugate乘上b的conjugate等於lambda的conjugate乘上b的conjugate。

但是因為a是一個時數,所以a乘上b的conjugate等於lambda的conjugate乘上b的conjugate。所以我們知道說,今天w是可以等於b的conjugate。

那w等於b的conjugate以後又怎樣呢?w等於b的conjugate以後,我們就知道說,我們現在目標是要說明這件事,就是w的transpose乘上b是不等於0的,那現在w可以等於b的conjugate。

那b的conjugate跟transpose,跟b相乘,會發生什麼事呢?你會發現說,它一定是大於0的,它一定是大於0的。為什麼它一定是大於0的呢?

因為可以想想看,假設b是v1v2一直到vn,那v的conjugate是v1v2一直到vn的bar。

那算出來的結果呢?把它的alpha打算出來,把vbar的transpose乘上b,你算出來的就是v1的transpose乘上b,加上v2的transpose乘上v2。

那這一項是什麼?這一項是b的v1的長度,對不對?假設你今天你的v1是a加vi,而你的v1bar是a減vi,

那v1跟v1bar相乘,這個大家知道是多少嗎?就是a平方加b平方,對不對?這一項一定是真的,一定是真的。

所以這個東西是v1的長度,這個東西是v2的長度,然後因為今天v呢,它不能是zero vector,它不能是zero vector,所以這個vbar的transpose乘上b會大於1。

所以我們知道說,大家覺得乘後乘上b呢,是不可能等於零的,所以浪打等於浪打罷了。所以剛才講的東西,如果你覺得沒有辦法跟上的話,你就記得一件事情,

就是對稱的矩陣,它的根都是實數,它是沒有虛根的,就這樣。

好,那對稱的矩陣還有另外一個特色,我們之前有講說,我們可以每一個,假設一個矩陣呢,它有一堆eigenvalue,

那每一個eigenvalue呢,都有一個自己對應的eigenspace,那eigenspace裡面呢,如果你拿兩個vector出來,它們屬於不同的eigenspace,

那它們一定是independent,屬於不同eigenspace的vector,它們一定是independent。

但如果今天我們考慮的matrix它是對稱的,那我們就可以進一步說,它們不只是independent的,它們還是orthogonal的。

好,怎麼說呢?這個證明就很簡單,假設現在有u跟v這兩個eigenvector,它們分別對應到兩個不同的eigenvalue,浪打跟μ,那浪打是不等於μ的。

那接下來呢,我們就可以說,u跟v一定是orthogonal的,對應到不同eigenvalue的eigenvector一定是orthogonal的。

怎麼說呢?我們就計算,我們就計算au跟v的double product,我們計算au跟v的double product。

那因為u呢,是一個eigenvector,所以u乘上a會等於浪打u,那等於浪打乘上u跟v的double product。

然後我們可以用另外一個角度來看待這件事情,這個時候你就需要用到a等於a的transpose,a是symmetric的性質。

好,那因為a是symmetric的,就是au dot v這件事,我們還是寫一下a吧,那au dot v這件事,可以寫成au的transpose乘上v,可以寫成u的transpose,a的transpose乘上v。

那a的transpose乘上v會等於多少呢?因為a的transpose等於a,a是對稱的,所以這個等於u的transpose乘上a乘上v。

然後a乘上v呢,我們就接到那個投影片上面,a乘上v等於,我發現這邊有一個寫錯的地方,難怪我剛才覺得好像怪怪的,這個應該是u才對吧,應該是u才對。

好,a乘上v等於mu乘上v,所以等於mu乘上u跟v的大法檔。那我們在一開始已經說了,這個λ跟μ它們是不相等的,λ跟μ是不相等的。

所以因為λ跟μ是不相等的,所以唯一的可能就是如果你要讓這兩個式子相等,而λ跟μ不相等,唯一的可能就是u跟v是orthogonal的,u跟v是orthogonal的。

好,就這樣子。所以今天如果一個矩陣是對稱的,它有一個特別的性質,就是它的不同的eigenvalue對應的eigenvector會是orthogonal的,而不只是independent的。

In general而言,對一般的矩陣而言,不同的eigenvalue對應到的eigenvector它是independent的,但是如果是一個對稱矩陣的話,它更進一步是orthogonal的。

好,那接下來呢,如果一個矩陣它是對稱的,它有一個神奇的特性,就是它一定可以寫成p的transpose乘上a乘上p等於d。

就是如果一個矩陣是對稱的,那你可以找到一個orthogonal的matrix p,把這個orthogonal matrix p乘上這個對稱的矩陣的左邊跟右邊,然後它會變成一個diagonal的matrix。

好,就如果a是對稱的,它神奇的特性就是你可以在它的左右兩邊乘上orthogonal的matrix,然後它會等於一個diagonal的matrix。

那這個證明,我們如果是從右到左,其實非常的簡單,而從右到左呢,根本就是trivial的,那等一下我們再講完這一頁投影片以後你就會知道為什麼是這樣。

那從左到右呢,是比較複雜的,那這個我們等一下再講,從左到右是比較複雜的,從右到左是非常單純的。

那神奇的地方就是,如果a是symmetric,它可以寫成這個樣子,而一個matrix如果可以寫成這個樣子,它一定是symmetric。

好,那這個P transpose AP等於D這個東西,到底有什麼樣的特殊的含義呢?

那這個東西其實就是我們之前講過的對講話,我們之前講過的diagonalization。

好,因為我們知道說P是orthogonal的,orthogonal的matrix它的特色是什麼呢?它的特色就是P的transpose等於P的inverse。

我們上週講過說,如果P是一個orthogonal的matrix,你要求它的inverse非常簡單,因為它的transpose就等於它的inverse。

所以P的transpose乘上a乘上P,可以寫成P的inverse乘上a乘上P等於D。

所以我們把a左邊乘上P的inverse,右邊乘上P,它就可以變成一個diagonal matrix D。

接下來你可以把P挪到等式的右邊,也就是a等於P乘上D乘上P的inverse。

或者是因為P的inverse等於a的transpose,所以你也可以說a等於P乘上D乘上P的transpose。

那這意思是什麼?這意思是說,a它是可以被對角化的。

這個式子就是我們之前講過的對角化的式子,就是我們之前講過可以被對角化的式子。

所以其實意思就是說,a如果是一個對稱的矩陣,它一定可以被對角化。

我們之前有講過說,並不是所有的矩陣它都一定可以被對角化。

所以你隨便找一個matrix A,並不是所有的matrix A都可以把它變成P乘以D乘以P的inverse。

我們有講過說,如果你要確定一個matrix A能不能夠變成P乘以D乘以P的inverse,

你有種種check的方法,你有一些check的方法,

但是不是所有的矩陣都一定可以把它寫成P乘以D乘以P的inverse。

但是如果一個matrix A它是symmetric的,如果它是對稱的,

那你就一定可以把它寫成P乘以D乘以P的inverse。

所以一個對稱的矩陣,它就一定可以被對角化。

那這邊就是舉一個例子。

有一個對稱的矩陣A,我們現在要把它做對角化,

那它一定可以被對角化,怎麼做呢?

找出它的eigenvalue,現在它的eigenvalue是6跟1。

接下來你就找出每一個eigenvalue對應的eigenvector,

這個我想大家也都會,對應到6的eigenvector是-1 2,對應到1的eigenvector是2 1。

那A是一個對稱的矩陣,所以你會發現說-1 2跟2 1它們是orthogonal,

你把-1 2跟2 1做double dot,它們等於0。

所以這個eigenvalue λ1,它對應的eigenspace是由-1 2所長成的,

是由-1 2所span而成的。

然後λ2所對應的eigenspace E2,它是由-2 1span而成的。

然後接下來呢,你就可以說找出ε1跟ε2的orthogonal的basis,

那怎麼找出它的orthogonal的basis呢?

或是怎麼找出它的orthonormal的basis呢?

因為ε1跟ε2它裡面只有一個vector,

那個vector的長度現在不見得是1,

所以你要對它做一個normalization,把它變成長度是1。

所以現在就是把-1 2除以√5,把2 1除以√5,把它變成了長度是1。

那接下來呢,你就可以把P跟D找出來了,

D的對角線就是A的那兩個eigenvalue,

P的兩個column就是分別對應到這兩個eigenvalue的basis,就這樣子。

那這個跟之前我們講對角化的時候講的東西是一樣的。

那這邊呢,是另外一個例子啦,這邊是另外一個例子。

那假設這邊有另外一個3乘以3的matrix A,它也是對稱的,

那只要它是對稱的,我們就可以把它寫成A等於P乘以D乘以P的inverse。

那我們現在發現說A呢,它只有兩個eigenvalue,分別是2跟8,

它只有兩個eigenvalue,分別是2跟8,

代表說A對應的characteristic polynomial裡面有重根的情形。

那如果A不是一個對稱的矩陣,它只是一個一般的矩陣的話,

你發現說它是一個3乘以3的矩陣,但是只有兩個eigenvalue,

這個時候你就不知道它能不能夠被對角化。

因為有可能說你找不到三個eigenvector,

可以三個independent eigenvector,它可以拿來當作P的三個column。

但是如果今天是一個對稱的矩陣,你就不需要擔心這個問題,

你一定可以把A呢,做對角化。

所以你就實際做一下,這個λ1對應的eigenspace,

它的basis就是-1 1 0,-1 0 1。

那λ2它對應的eigenspace,它的basis就是1 1 1。

那今天你如果直接套用,

比如說你直接找出parametric的representation,

你找出來的basis,不見得是independent的。

誒,這邊有個奇怪的字誒,我想要講的是independent。

好,那今天你用一般的方法找出來的basis,

它雖然一定是independent的,但它不見得是orthogonal的,對不對?

你找出來的basis,它一定是independent的,但它不見得是orthogonal的。

那怎麼辦呢?你就用我們上週講過的Grant Smith的normalization,

把一個independent但不見得是orthogonal的basis,把它轉成orthogonal的basis。

那就把那個公式套一套,你就把這個basis轉成一個orthonormal的basis。

好,那接下來呢,你也把這個1 1 1這個basis,也把它轉成一個orthonormal的basis。

那接下來你再把這兩個basis拼起來,它就是P。

然後D就是2,因為它的basis有兩個vector,所以2要重複兩遍,然後再加上8,然後就結束了。

好,所以今天呢,如果我們要有一個matrix A,它是symmetric,

假設我們要把它寫成P的transpose乘上A乘上P等於D的形式,

或者是把它寫成A等於P乘以D乘以P的transpose,

那要怎麼做呢?你就先把matrix A,它所有的eigenvalue通通都找出來,

然後找出每一個eigenvalue所對應的eigenspace,

假設A有K一個eigenvalue,讓打1到讓打K,

你就找出它對應的K一個eigenspace,ε1到εK,

然後每一個eigenspace,你要找出它的orthonormal的basis,

你要找出它orthonormal的basis,找一般的basis還不行,

你要找的是orthonormal的basis,因為P是一個orthogonal的matrix,

所以你今天你的這個B的basis要是orthonormal的,

那把這個B的orthonormal basis拼起來才會變成orthogonal的matrix P。

所以今天找出一般的basis還不夠,你要用Brandt-Smith的algorithm找出orthonormal的basis,

來把這些orthonormal的basis全部拼起來就可以得到P。

好,那這件事情有什麼重要的地方呢?

我們之前講對角化的時候,我們說今天假設你有一個matrix A,

它可以被對角化成P乘以D乘以P乘以O,

那意味著說我們有一個好方法,我們有一個好的coordinate system,

我們在這個好的coordinate system下看A這個matrix,

看A這個matrix,它是一個diagonal的matrix。

就有一個coordinate system,這coordinate system的basis,

就是現在投影片上的P這個matrix的color,

那它這個,你用這個coordinate system來看待A這個matrix,

你會發現說它是diagonal的matrix,它是一個簡單的matrix。

那今天如果A它是symmetric的,

那進一步你就可以再說,A既然是symmetric的,

那P就會是一個orthonormal的matrix,

P就會是一個orthonormal的matrix,

P它會是一個orthonormal的basis。

那這意味著什麼?

這意味著說我們找得到一個coordinate system,

這個coordinate system它的basis是orthonormal的,

它的basis是orthonormal的。

我們找得到一個coordinate system,

定義這個coordinate system的那組vector,

是一個orthonormal的vector set。

那如果定義這個coordinate system,

它的那個vector set是一個orthonormal的vector set,

那有什麼好處呢?

至少你現在要把一個在原來的,

這個我們所熟悉的空間裡面的vector v,

換成這個coordinate system下面的v的時候,

你在運算上是會比較方便的。

因為你記不記得,如果我們今天要把一個vector v,

把它在,這邊我是寫成u,

假設我們要把一個vector u,

看出說它在一個coordinate system下,

這個coordinate system它的basis是v1,v2到vk,

而且v1,v2到vk是orthogonal的。

那我們要怎麼找出它的係數呢?

我們就把u跟v1做double dot,

u跟v2做double dot,u跟vk做double dot,

你就可以找出它的係數。

所以今天,假設你的coordinate system,

它定義這個coordinate system vector set,

是orthonormal的話,

那你就可以比較輕易的,

在不同的這個coordinate system下做進行轉換。

那這個呢,就是這個symmetric matrix它的一個特色。

好,那剛才講說一個symmetric matrix,

它可以寫成pd乘以p2乘以pos,

那這件事情,給symmetric matrix一個特色,

就是它可以做spectral decomposition。

好,那怎麼說呢?

就是因為現在pr,它是一個orthogonal的vector,

或是你可以說,p裡面的這個u的vector,

它形成一個orthonormal的basis,

然後你有一個matrix D,

這個matrix D它的value是,

它的diagonal是ln1到lnn,

這些ln是a的eigenvector,

是a的eigenvalue。

那接下來呢,你就可以把pd,

p的transpose,寫成p,

乘上ln1,e1,ln1,e2,ln1,en,

乘到p的transpose。

好,接下來呢,

你就可以把p乘進去,

所以ln1p乘上e1,ln2p乘上e2,

到lnnp乘上en,乘上p的transpose。

好,這個p乘上e1,會等於u1,

這個p乘上e2,會等於u2,

p乘上en,會等於un。

這個我們大家都很清楚,

你把p乘上一個standard vector,

會得到p裡面的某一個color。

好,那前面這個,

然後那接下來呢,

我們把後面呢,

我們有這個p的transpose,

然後我們把p的transpose乘進來。

那p的transpose呢,

它的每一個row就是u1的transpose,

一直到un的transpose。

那前面這個部分呢,

是ln1u1,ln2u2,到lnnun。

那你把這一個vector跟這一個vector,

其實不是vector,

你把這一個matrix跟這一個matrix做相乘,

那你得到什麼樣的結果呢?

你得到ln1乘上u1跟u1的transpose,

ln2乘上u2跟u2的transpose,

一直加到lnn乘上un乘上un的transpose。

那所以呢,

那這個u1乘上u1的transpose,

它是一個matrix,

我們把它寫成p1,

那u2乘上u2的transpose,

我們把它寫成p2,

一直到un乘上un的transpose,

我們把它寫成pn。

所以今天matrix A啊,

我們可以把它寫成呢,

ln1乘上p1,

加上ln2乘上p2,

一直加到lnn乘上pn。

那前面的ln,

其實是你的eigenvalue。

好,那這個p啊,

有什麼樣特殊的地方呢?

你會發現說p它是一個,

特別簡單的matrix,

這個特別簡單的matrix,

它的rank一定是1,

它的rank一定是1。

那為什麼呢?

因為你可以很直覺的想說,

今天u1啊,

呃,我們就,

比如說你就胡亂舉個例子,

胡亂舉個例子,

假設你的u1呢,

是123,

那u1乘上u1的transpose,

是什麼東西呢?

u1乘上u1的transpose,

會變成一個3乘以3的matrix,

它是這個123,

然後乘上2,

2,2,4,6,

然後3,6,9,

這個樣子。

好,那這一個matrix啊,

它的rank一定是1,

假設這個東西叫做p1,

那p1的rank一定是1,

它的rank一定是1。

最神奇的地方就是,

假設一個matrix呢,

它是對稱的,

它是對稱的,

那這個對稱的matrix,

它就可以拆解成,

n個rank是1的matrix的weighted sum,

它可以拆解成,

n個rank是1的matrix的weighted sum,

那些weight是icon value。

好,那我們今天呢,

上一次講到spectral decomposition,

那總之spectral decomposition,

想要告訴我們的是說,

對於任何一個對稱的矩陣A啊,

你可以把它拆解成,

一大堆matrix p1,

p2到pn的weighted sum,

然後這個weight呢,

是λ1,λ2到λn。

那這個p呢,

它有一個特性就是,

它也是symmetric的,

它也是對稱的,

那這也是很合理,

一個對稱的矩陣可以拆解成很多小的,

不是小的,

很多其他的,

很多對稱矩陣的和。

所以A等於p1到pn的summation。

好,那這個p有什麼樣的特性呢?

p的特性是,

它的rank是1,

因為p是某一個vector ui,

跟它的transpose相乘的結果。

那如果你把ui乘上ui的transpose,

形成一個matrix,

這個matrix的rank會是1。

那這個p還有一些性質,

如果我們把pi乘上pi,

pi乘上它自己,

會發生什麼事呢?

pi乘上它自己,

就是把ui乘以ui的transpose,

再乘上ui乘以ui的transpose。

把ui的transpose乘上u,

會得到什麼東西呢?

把ui的transpose乘上u,

就會不見了,

就得到1。

把ui的transpose乘上u,

就得到1。

為什麼?

因為u1到un是一個orthonormal的basis,

所以u1和不同的column間是orthonormal的,

然後每一個u的長度都是1。

所以ui乘上ui,

會等於ui的長度ui的null的平方,

那這個只是1。

所以pi乘上pi,

是ui乘上ui的transpose。

那ui乘上ui的transpose是什麼呢?

ui乘上ui的transpose,

其實就是pi。

所以pi乘上pi,

會等於pi它自己。

然後呢,

這個pi乘上pj,

會等於什麼東西呢?

pi乘上pj,

就是ui乘上ui的transpose,

再乘上uj乘上uj的transpose。

ui的transpose跟uj的transpose相乘等於什麼呢?

ui的transpose跟uj的transpose相乘等於0,

因為ui跟uj它們是orthogonal。

那所以呢,

pi乘上pj就是0,

就是zero matrix。

然後呢,

如果我們把pi乘上ui的話,

那就變成ui乘上ui的transpose乘上ui,

那會等,

誒,

這個沒有寫出來,

這個就會等於呢?

等於什麼呢?

等於ui自己。

然後如果我們把pi乘上uj的話呢,

會等於什麼呢?

把pi乘上uj等於ui乘ui的transpose乘上uj,

那就等於zero的vector,

就等於zero vector,

就這樣。

好,那接下來呢,就只是舉一個例子。

哦,這邊有一個對稱的矩陣,

我們把它做這個spectrum的decomposition。

那你就要先找一下它的eigenvalue,

它的eigenvalue是5跟負。

它是一個對稱的矩陣,

所以它的eigenvalue呢都是時數,

都是時數。

好,那這個eigenvalue呢,

這兩個eigenvalue呢,

它們對應的eigenspace,

分別可以找出一個basis。

然後你就再做一番的normalization以後,

你就可以找到一個matrix B,

或找到一個orthonormal的basis B呢,

它的裡面的兩個vector都是A的eigenvector。

然後接下來呢,

你就可以把A呢,

做spectral的decomposition,

你就會知道說,

A等於兩個symmetric的matrix的和,

一個是P1,

P1是u1跟u1的transpose,

P2是u2跟u2的transpose,

所以A等於λP1加上λP2,

那就是spectral decomposition。