我們要進入下一個主題,那下一個主題呢,講的是vector的更general的型態。

也就是說,我們在這一門課裡面,在線性代數裡面,我們不斷地講到vector這個東西,

然後不斷地對vector做各式各樣的操作,在vector上呢,定義了種種的terminology。

那你可能會覺得說這一系列的想法只能apply在你所認知的那一個vector上面,

但是實際上很多東西都是vector,舉例來說,一個function它也是一個vector。

那等一下會講說為什麼一個function它也是一個vector。

所以今天在這一門課裡面學到的種種概念,都可以直接apply在那些更廣義的vector上面。

舉例來說,這一門課學到了比如說linear combination, span basis, orthogonal這些東西,

通通可以直接apply在更廣義的那些vector上面,比如說apply在function上面。

那這個部分呢,是記錄在課本的第六章。

這邊再提醒一下就是,課本的第六章跟第七章啊,它們的順序是錯亂的。

大家應該都有注意到這件事吧?

還是說很驚訝,還是說你們手上都沒有課本?

我講過了是嗎?

好,那大家記得這件事,所以這個是課本的第六章,但它是實際上的第七章。

好,那我們接下來看看有什麼樣的東西是廣義的vector。

舉例來說,一個矩陣其實它是一個vector。

我們怎麼說一個矩陣是一個vector呢?

舉例來說,我現在隨便拿一個矩陣A等於1234出來,

我可以把這個矩陣裡面的每一個element拉直排成一排,它其實就變成一個vector。

所以我可以說,我把一個矩陣當作是一個vector來看待它。

或者是說,一個linear transform我們也可以把它當作vector來看待它。

為什麼一個linear transform可以當vector來看待它呢?

因為我們說每一個linear transform背後都對應到一個metric。

那既然一個metric可以當vector來看待,一個linear transform也可以當vector來看待。

那其實一個polynomial也可以當作一個vector來看待。

怎麼把一個polynomial當作一個vector來看待呢?

你說你有一個polynomial,P of X,它是A0加A1的X一直加到AnXn方。

那我完全可以把這一個polynomial就把它寫成vectorA0到An,我只把係數取出來。

我只把這個polynomial的係數A0、A1到An取出來,把它當作一個vector來看待。

那你光看這個vector,你就可以還原原來的polynomial。

這些vector跟這個polynomial的關係是一對一的。

所以今天你可以把一個polynomial當作一個vector來看待。

或者是有更多例子,其實廣義的任何function它都可以是一個vector。

比如說1的t次方,它可以是一個vector。

那可能問說1的t次方怎麼把它看作一個vector來看待呢?

它是一個vector,這個vector裡面的element的數目是無窮多的。

大家可以想像嗎?這個是1的t次方就長這樣子嘛。

然後現在呢,我們在1的t次方這個function上面取sample。

但是要取得非常非常的密,假設取得非常非常的密。

我沒有辦法真的把它畫得很密,但你可以想像我把它取得非常非常的密。

有無窮多的sample。

那每一個sample的結果就是vector裡面的其中一維。

這樣大家了解嗎?這個是vector的第n維的數值,這個是vector的第n加1維的數值。

接下來還有vector第n加2維,n加3維,一直到無窮無盡。

所以一個general的function,所以隨便拿一個function出來,我其實都可以說它是一個vector。

只是這個vector它的dimension是無窮大的,它裡面有無窮多的element。

這樣大家可以接受嗎?所以一個general的function其實也是一個vector,你也可以用我們對vector所知道的種種東西,拿它來做操作。

或者是g of t等於t平方減1,它也是一個vector,每一個function都是一個vector。

那我們知道我們可以把兩個vector直接做相加,我們可以把v跟g加起來。

把v所對應的vector跟g所對應的vector加起來會等於什麼呢?其實就是把f跟g直接加起來。

那f是e的t次方,g是t平方減1,所以加起來就是e的t次方加上g平方減1。

所以廣義的來說,什麼是一個vector呢?如果你有一堆object,這些object,這些東西,它們集合起來形成一個叫做vector space的東西,那這些東西就是vector。

就有一堆東西的集合,那這個集合它滿足vector space的條件,它就是一個vector。那什麼叫做滿足vector space的條件呢?

vector space的條件就是這樣,首先在這個vector space上面你要定義兩個operator,這兩個operator,一個叫做加,一個叫做addition,一個叫做scalar的multiplication。

那這兩個東西你可以任意定義,你就定義一個你自己喜歡的加跟乘,你定義一個自己喜歡的addition跟scalar multiplication。

那定義完以後,假設在這個set裡面有三個vector u,v跟w,隨便拿兩個scalar a跟b,那今天你把u跟v相加,它一定要是落在v裡面。

那什麼叫做相加,這個是你自己定義的,你定義某個東西叫做相加,然後u跟v相加,它一定要落在v裡面,這個是vector space的其中一個條件。

那今天這個某一個vector u乘上任何scalar,都仍然要在這個set裡面,那你就滿足了vector space的其中一部分的條件。

接下來有八個條件必須要滿足,才能說是一個vector space。哪些條件呢?這個u加v等於v加u,有可能u加v不等於v加u,也是有可能,因為dependent你定義什麼叫做加法,你定義的加法必須要u加v等於v加u。

然後u先加v再加w,等於v先加w再加v,然後要有一個東西叫做zero vector,有一個東西叫做zero vector,這個zero vector它跟任何人相加都一定會等於原來那個東西。

那這個zero vector它一定是唯一的,這個要證明它一定是唯一的這件事情非常容易,因為我們假設有兩個zero vector好了,那兩個zero vector,一個叫做0,一個叫做0'.

假設你現在想要定義兩個zero vector,你會發現說你要定義兩個zero vector是不可能的,為什麼?你要定義兩個不一樣的zero vector是不可能的,為什麼?

因為zero vector的定義就是它跟任何人相加都不會改變對方,所以0加上0',假設0它是一個zero vector,那0加上0',因為它不能夠改變0',所以它就等於0'.

那0'假設也是一個zero vector,0'去加0,你也不能改變0,所以0'也是0,所以它也等於0,所以我們就知道說0'等於0。

今天你不可能定義兩個zero vector,zero vector是唯一的,假設你按照zero vector定義,就加上任何人都會不改變任何人的話,那它一定是唯一的。

另外一個條件是有一個東西叫做-u,然後-u加u會等於zero vector,還有很多條件就是1乘上u等於u,然後a乘上b再乘上u會等於b先乘上u再乘上a,a乘上u加b等於au加av,a加b乘上u等於au加bu。

滿足這些條件,它就是一個vector space,那你就可以把vector space裡面的成員叫做vector,就這樣。

你可能會覺得說,哇靠,這個太複雜了,你記不起來,對,這個你大概記不起來。

但是我覺得一個東西到底是不是vector,你可以很直覺地就想出來,你憑著直覺就會知道說它是一個vector。

如果你可以把它想成看作是一個vector的樣子,像我們剛才說把metric拉直就變成一個vector,把function取sample就變成一個無窮長的vector,polynomial係數拿出來是一個vector,你只要直覺覺得它是一個vector,其實它就是一個vector,就這樣子。

假設有人問你說,我現在有某個東西,比如說我的一堆polynomial,你覺得它們是不是vector,那如果你要用正義的投影片講的定義來驗證的話,你有點困難,尤其是考試的時候你不太可能記得這些定義,但是你可以憑著直覺就知道說它應該是一個vector,你的直覺通常就是對的。

所以其實我們到目前為止在課堂裡面,我們講的vector space其實都是Rn這個vector space,你可以輕易地了解說Rn這個vector space符合下面我們對於vector space的定義。

同一個東西它其實是可以屬於不同的vector space,舉例來說,我現在有一維空間上的三個點,那一維空間是一個vector space,一維空間上的三個點,比如說1、2、3,就是這個vector space裡面的三個object。

但是我們也可以說這三個object其實是另外一個更大的vector space裡面的成員,有另外一個vector space它叫做R2,那這三個東西它在另外一個vector space裡面看起來就不太一樣,就是1、0、2、0跟3、0。

或者說我們舉另外一個例子,假設我這邊有一堆function,有三個function,那這三個function,這些function我們其實可以用兩個不同的vector space來看待它,如果我們用vector space來看待它的話,這些function,你把它們看起來在這些不同的vector space裡面,它們的表示的方式是不太一樣的。

舉例來說,假設我們現在說我們有function f跟g跟h,我們可以說f跟g跟h它們都是polynomial,它們都是polynomial,而這些polynomial它的degree小於等於2,而它的degree小於等於2。

我們說所有degree小於等於2的polynomial所形成的集合是一個vector space,那這個vector space裡面有三個成員,就是f跟g跟h,那我們可以把f跟g跟h分別用一個vector來表示,就是1、0、0、1、1、0跟1、1、1。

但是f跟g跟h也可以說它們是另外一個vector space裡面的成員,另外一個vector space是什麼呢?假設我們有一個vector space就是由所有的function所構成的,由所有的function所構成的,那我們可以說f跟g跟h是這個所有的function所構成的vector space的成員。

當我們說f跟g跟h它們是所有的function所構成的vector space的成員的時候,那你要表示f跟g跟h,你要用向量來表示它的時候,那它們是無窮長的向量,所以同一個東西,同一個function,在不同的vector space裡面,它們的表示的方式是不太一樣的。

那要看說你的vector space是什麼樣的vector space,如果是degree小於等於2的polynomial所形成的vector space,在表示f跟g跟h的時候,它們是長度有限,其實就是3,長度是3,維度是3的向量。

但是如果是所有function所形成的vector space的時候,f跟g跟h,你要把它們劃成一個向量,那它們是無窮長的向量。好,那再來呢,我們就根據我們學到的,之前學到的有關vector的定義,把它還有種種的操作,還有種種的terminology,通通都套用到廣義的vector上面。

那這個接下來講的東西其實是有點無聊的,它其實就跟前面第一章到第七章講的東西就是一樣的,就同樣的東西再講一次,那只是現在操作的對象不是vector,而是其他的東西,比如說function。

但是你永遠可以把那些function就在你的心裡想成是一個vector,當它們在你的心裡是一個vector的時候,那接下來要講的東西,通通都是已經講過的事情,所以是有點無聊的,我們就只是當作是複習第一章到第七章。

好,那我們之前有講過subspace,那什麼是subspace呢?秒複習一下,就是subspace裡面有zero vector,u跟w都在這個subspace裡面,那u加w也在subspace裡面,那如果u在這個subspace裡面,那u乘以c也在這個subspace裡面,就這樣。

好,那我們來想像看接下來的東西是不是subspace,所有的function,它通過某一個點t0的值都是0的那些function,是不是subspace呢?

這句話是什麼意思,就是說我們現在有一堆function,然後有一個數值叫做t0,這些所有的function在t0的地方它們都是0,也就是它們都會經過這個點,經過這個點的function有無窮多個,經過這個點的function有無窮多個,它們有可能長得很複雜,長得像這樣。

那反正就是要在t0那個地方,就是要通過t0,就是要小心的通過t0,然後這樣,有各式各樣的function,各式各樣的function它們都會通過t0這樣。

那它們全部集合起來,這些function全部集合起來,是不是一個subspace呢?那現在function其實也是一個vector,它是無窮長的vector,它們是不是一個subspace呢?

講開,你覺得它適合同學舉手一下,手放下,你覺得它不適合同學舉手一下,沒有,沒錯,它是一個subspace,你就確認一下它滿足subspace的種種定義。

那subspace的第一個定義是它要不要包含,它要包含zero vector,那到底對function而言,所謂的zero vector是什麼東西呢?

那一按這個zero vector的定義,zero vector的定義就是這個東西加上其他人都不會改變其他人。

那對function而言,所謂的zero vector其實就是如果某一個function不管input是什麼,output都是0,比如就直接寫好了,f of x等於0,f of x等於0,它就是zero vector,f of x等於0,它就是zero vector。

f of x等於0有沒有落在這個set裡面呢?它是有落在這個set裡面的,f of x等於0在t0的地方它也是等於0的,所以今天所有通過t0等於0的位置的這個,所有在t0的地方等於0的這個function,它合起來是一個subspace。

好,那這邊有另外一個例子,所有的matrix它的trace,所有trace都是0的那些matrix合起來,它是一個subspace嘛,所謂trace都是0的意思就是,什麼是trace,trace就是對角線,對角線的值都是0的這些function,全部集合,不是function,對角線都是0的,同樣大小的matrix。

就假設我們今天考慮的是,都考慮,只考慮n by n的matrix好了,只考慮n by n的matrix,所有n by n的matrix,如果它的trace都是0的話,所有trace都是0的,n by n的matrix所形成的集合,它是一個subspace嗎?

你覺得它是一個subspace的同學舉手一下,手放下,你覺得它不是的同學舉手一下,為什麼,你可能覺得說上一個是,下一個應該不是,但是其實是的。

可以想想看 它有違反任何

它有滿足Susface的三個條件嗎

Susface的第一個條件是要

包含zero vector

那對matrix來說

zero vector是什麼呢

對matrix來說 zero vector就是zero matrix

zero matrix就是zero vector

所以對角線是0的這些vector

所形成的集合是包含zero vector的

zero vector它的對角線都是0

好 再來我們把兩個對角線是0的

matrix加起來

它的對角線還是0

我們把對角線是0的matrix

乘上某一個scalar

它的對角線還是0

所以它是一個Susface

所以它也是一個Susface

一個Susface

好 那這邊是所有matrix

它滿足這樣一個形式

就是A跟B A加B0

所有二乘以二的matrix

滿足這個形式的二乘以二的matrix

所形成的集合

A跟B可以在任何值

它是一個Susface嗎

你覺得它是的同學舉手一下

你覺得它是

你覺得它不是的同學舉手一下

好 其實它是一個Susface

為什麼它是一個Susface

你就Susface的三個條件來檢查一下

A跟B都在0

就是zero matrix

所以zero matrix是這個Susface的其中一個成員

然後你把兩個這種matrix加起來

它仍然有這種特性

你把這個matrix乘上某個scalar

它仍然有這種特性

所以它是一個Susface

它是一個Susface

那你覺得所有的continuous的function

所成的集合

它是一個Susface嗎

所有的continuous的function

所有的continuous function

所形成的集合

它是一個Susface嗎

你覺得它不是

為什麼呢

所有的continuous function是包含0的

還有人覺得它不是的嗎

它其實是

這大家有什麼問題嗎

你想想看

0的function是一個continuous的function

兩個continuous function相加

還是continuous function

一個continuous function

乘上任何scalar

它都是continuous function

所以它是

所有degrees n的polynomial

它是一個Susface嗎

degrees n的polynomial是

這個應該不需要講

大家應該知道意思吧

就是它的最高次是xn方的polynomial

這些polynomial可以寫成

寫成這個a0加a1x加a2x

一直加到an的xn方

這些所有的polynomial

所成的集合

它是一個Susface嗎

大家覺得是嗎

覺得是的同學舉手一下

其實an不可以是0的

因為an如果等於0的話

它就不是一個degrees n的polynomial

所以an其實是等於0的

好像說在an不等於0的前提下

它是一個Susface嗎

你覺得它是一個Susface的同學舉手一下

很多人都覺得它不是Susface

沒錯因為你想想看

假設今天有一個

假設有一個人

假設有一個element是

xn方三倍的xn方好了

而另外一個是負三倍的xn方

它們兩個相加以後

就變成0了

它0不是一個degrees n的polynomial

所以這個東西不是一個Susface

因為它裡面的兩個成員相加

有可能就掉到那個Susface外面

所以它不是一個Susface

那如果今天是所有的polynomial

它的degree小於等於n呢

那它degree小於等於n

那它是一個Susface嗎

對所以它是一個Susface

因為今天這個degree等於n的polynomial

雖然相加以後可能degree會變成0

那沒有關係反正我現在定義的

這個vector set

我現在要考慮的這個Susface

是所有degree小於等於n的polynomial

所以它是一個Susface

就這樣

好那在等一下的討論裡面呢

用p來代表所有的polynomial所形成的集合

用pn來代表所有degree小於等於n

這邊我們不是說pn代表degree等於n

pn代表所有degree小於等於n的polynomial

所形成的集合

好那我們這一節就先上到這邊

然後我們休息十分鐘

我們繼續來上課吧

我們接下來要講的是linear combination跟span

那這個linear combination跟span

跟我們之前講的vector的linear combination跟span

沒有任何不同只是做的對象不同了

舉例來說我現在有一堆matrix

我有三個matrix

如果我們要把這三個matrix

做linear combination

怎麼做呢

就是把第一個matrix乘上某一個scalar a

第二個matrix乘上某一個scalar b

第三個matrix乘上某一個scalar c

加起來就是linear combination

就結束了就這樣

那加起來是什麼呢

加起來in general而言

你可以寫成abc-a

好那你可以把一個vector set做span

那現在如果我們要把上面這個vector set

做span的話

我們會得到什麼樣的結果呢

我們會得到的結果是

因為今天你所謂span的意思就是把

一個vector set裡面的成員做linear combination

那你現在把這三個vector

這三個matrix做linear combination

它得出來的結果一定是abc-a

只是abc這三個數值會換

那abc-a這個matrix它是什麼樣的特色呢

它的特色就是它的對角線上的值

也就是它的trace是等於零的

它的對角線上的值是等於零的

好那所以這個span s以後的結果呢

你得到的結果得到的那個vector set

span s的vector set

就是所有可以寫成abc-a的matrix

所成的集合就這樣

好那這個跟你知道的東西都沒有什麼不同

好那polynomial

假設我們現在有一堆polynomial

那我們也可以把這些polynomial

做linear combination

好我有一個polynomial的set

我有一個polynomial的set

1x,x²,x³

好那我們就可以做linear combination

就可以得到另外一個新的polynomial

比如說2加3x-x²

我們就比如說你就只要做

兩倍乘上1,三倍乘上x

然後負一倍乘上x²

然後加上零倍乘上x³

加上零倍乘上x³

你就可以得到我們上面講的這個

2加3x-x²

所以2加3x-x²

是這個vector set s裡面的成員的linear combination

好那我們現在如果把

上面的s這個vector set做span的話

我們得到的span的結果是什麼呢

得到的span的結果其實就是P3

P3是什麼

P3是degree小於等於三的

所有polynomial的和

所有polynomial所形成的集合

所以你把1x,x²,x³這個vector set

做span你得到的

就是所有degree小於等於三的

polynomial的集合就是P3

好那如果我們現在有一個

無窮大的vector set

這個無窮大的vector set裡面就是

1x,x²,x³一直到n等於無窮大

那把這個vector set做span

你就可以得到所有的polynomial

所形成的集合

好那這個就是span跟linear combination

好那再來講linear的transformation

好那我們說一個function

或者一個transformation

或一個operation T它是linear的

如果它滿足下面兩個條件

那這個我們在一開學的時候

就已經講過了

所以我們說

如果T of u加v等於T of u加T of v

如果T of cu等於c倍T of u

這兩個條件成立的話

那這個T我們就說它是一個linear的function

那有一些function它不見得是作用在vector上

舉例來說transpose

其實這件事我們之前有講過

就transpose這個function

它是作用在matrix上面

但是這個作用在matrix上面的function transpose

它是不是一個linear的operation呢

transpose它是一個function

它就是吃一個matrix

然後output另外一個matrix

它吃一個matrix A

你把matrix A丟到transpose這個operator裡面

丟進去

然後它吐出來的就是A的transpose

它吐出來的就是A的transpose

那這個function它是不是linear的呢

這個function它是不是linear的呢

那

我

顯

啊

你覺得適合同學舉手一下

有一些

你覺得它不適合同學舉手一下

你覺得它不是

為什麼呢

你也是猜的這樣

你覺得表面上看起來是

然後感覺就應該不是

但其實它是這樣子

所以它是一個linear的operation

那這個function它的input是一個

n by n的matrix

它output是一個n by n的matrix

input是一個n by n的matrix

output是一個n by n的matrix

它input output都是matrix

但它是linear的

為什麼它是linear的

因為它滿足

你就自己算算看

它滿足上面跟下面這兩個

它滿足這兩點

所以它是一個linear的operator

好那這個其實我們之前有講過

就是其實這個微分跟積分

也都是linear的

雖然你覺得微分跟積分

好像是一個很複雜的東西

但是神奇的就是

它們其實都是linear的

微分跟積分這個東西啊

可以看作是function的function

微分這個東西

它是一個function的function

怎麼說

我們把微分看作是一個function

它輸入是什麼

它輸入是某一個function

它的輸出是什麼

它的輸出是另外一個function

所以說微分是一個function

但是它這個function是一個function的function

它是function當作input

吐出另外一個function

舉例來說

它輸入x平方

它吐出兩倍的x

那你可以輕易的

用剛才linear的特性

證明說微分這件事情

其實是linear

那積分呢

積分也是linear的

積分也是一個function的function

這個function

它是一個function當作input

output就是一個數值

所以假設我們現在積分是從某一個

我們積分是有一個區間的

從A積到B

那積分的結果就是一個數值

所以積分這件事情

也是輸入一個function

輸出一個數值

而這個function的function

你也可以輕易的證明說

它也是linear

所以有一些看起來很複雜的東西

但其實它們都是linear的function

而linear function它的背後

就對應了一個matrix

我們其實可以找出

微分跟積分

它們背後對應的那個matrix

到底長什麼樣子

好那我們也可以定義

null space跟range

那這個其實跟

我們之前定義的null space跟range

沒有什麼不同

那什麼叫做null space

所有代到某一個function進去以後

出來會是0的那些vector

所形成的集合

就是null space

那舉例來說

matrix transpose

它的null space是什麼呢

就是哪些matrix

代到transpose這個matrix以後

輸出的結果

是0的vector呢

是0的東西呢

你想想看

對matrix來說

假設我們把matrix當作vector來看

0的vector是什麼

就是0 matrix對不對

0的matrix就是0 vector

這樣講可能讓你感覺很困惑

就不知道在說些什麼

但是matrix也是vector

matrix也是vector

那matrix的0 vector

就是0 matrix

那這個其實很直覺

就所有值都是0

就是0 matrix

它就是0 vector

那什麼樣的matrix

做transpose以後

會變成0 matrix呢

那只有0 matrix

做transpose以後

才會變成0 matrix

0 matrix all

做transpose以後

才會變成0 matrix

所以今天對transpose這件事情來說

對transpose這件事來說

它的null space是什麼

它的null space就是0 matrix

那什麼是range

那range這個東西

也跟我們之前定義的一樣

就是T的所有的output

所形成的集合

就是range

你把所有可能的輸入

統統帶到T裡面

把所有的輸出

統統集合起來

就是range

就是range

好那matrix的transpose的range

是什麼呢

假設input是一個

n by n的matrix

然後output是一個

n by n的matrix

那matrix的transpose

這個operator

它的輸出

其實就是所有n by n的matrix

假設輸入是n by n的matrix

輸出是n by n的matrix

那transpose這件事情

它的輸出就是所有n by n的matrix

它的range就是所有n

這個n跟m我念起來

其實都是差不多的

那輸入是n by n的matrix

輸出是n by n的matrix

那它的range就是所有n by n的matrix

所形成的集合

就是它的range

好所以這個都跟我們之前講的

沒有什麼不同

你只是要想成說

我們現在是作用在其他的object上

不見得是作用在你所想像的

比較狹義的vector上

它可以作用在所有的

廣義的vector上面

好所以同樣的

我們也可以定義什麼叫

也有one to one

也有until

那這個就不需要再重講

反正就跟我們之前講的

那個定義都是一樣的

就直接來問大家說

這邊有一些function

你覺得它是one to one的

還是until的

好那舉例來說

這個transpose這個matrix

不是transpose這個matrix

是transpose這個function

這個operator

它是one to one的嗎

它是until的嗎

就transpose是一個function

它是a當作input

output是a的transpose

它是one to one的嗎

它是一對一的嗎

所以有可能有兩個不同的matrix

做完transpose以後

變得一模一樣嗎

不可能

所以它是一對一的

那它是until的嗎

它是until的

因為在n by n的matrix

所形成的集合理念

每一個n by n的matrix

都有辦法用某一個

n by n的matrix

做transpose以後得到

所以transpose這個function

它是until的

好再來我們今天有另外一個function

這個function是做微分

那這個function的輸入

它的domain是所有

這個degree小於等於三的

polynomial的集合

它的codomain是所有degree小於

等於三的polynomial的集合

那這個微分

它是until的嗎

它是one

它是one to one的嗎

好我們就給大家想一下

這個微分這一個operator

它是one to one的嗎

有可能有兩個不同的function

做微分以後

居然變得是一樣的嗎

你覺得它是one to one的同學

舉手一下

好你請大家不是one to one的同學

舉手一下

手放下

好那它不是one to one的

為什麼

因為你可以 我就不問你為什麼了

它可以輕易的找到反例樣子

為什麼

因為比如說3x做微分

會變成3

那3x加2

3x加2好了

它微分也變成3

所以今天有很多不同的function

做完微分以後

會變成同樣的function

所以它不是one to one的

有不同的東西

可以對到同樣的東西

好那再來就是

好這邊就不問大家

它是不是until的呢

它是不是until的

所以until的意思是說

今天這一個function的range

要涵蓋整個code domain

也就是說今天這個function的output

把所有的input丟進去以後

它所有的output要涵蓋整個p3

但是它不是until的

為什麼它不是until的呢

因為你想想看哦

今天這個微分出來的結果啊

它的degree一定會小於等於2

也就是說所有的f5

它其實都是屬於p2的

它是屬於

哦

不知道為什麼把它寫這麼大

像個7字一樣

我只是想要寫p2而已

反正都是屬於p2的

所有的output都是屬於p2的

因為如果你是一個

三次的polynomial

做完微分就變兩次

兩次微分就變一次

所以今天這個function的output

最高次也就是兩次而已

所以它沒有辦法

佔滿整個code domain

整個code domain是

大小於等於三次的polynomial

所形成的集合

但我們今天沒有辦法output

三次的degree等於3的polynomial

所以今天d它不是output

接下來講另外一個東西

叫做isomorphism

isomorphism中文翻成同構

顧名思義就是說

這兩個東西有同樣的架構

那這個東西不是只用在

linear algebra上

在其他的領域也都有這個字眼

舉例來說

在生物學上也有同構這個東西

生物學上同構指的是什麼呢

生物學上同構指的是說

不同種類的生物

因為趨同演化的關係

所以它們產生同樣這個結構的器官

比如說翅膀這樣子的結構

就在四種不同類型的生物上面出現過

舉例來說

一手龍它有翅膀

然後鳥類有翅膀

蝴蝶也有翅膀

蝙蝠也有翅膀

它們都有翅膀

它們是不同的生物

但是因為趨同演化的關係

它們有了類似的

你想問什麼是趨同演化

大家有問題嗎

沒有沒有

不是你問的

趨同演化的意思就是說

兩個生物其實

它們可能生長在不同的地方

它們也沒有什麼血緣關係

但是因為相同的環境

所以它們最後演化出了類似的器官

或者是類似的行為

這個叫做趨同演化

所以不同的生物有可能有同樣的類型的器官

同樣作用的器官

這個叫做同構

那在圖上面

在graph上面

也有同構這件事

所謂graph上面同構的意思是說

不同的graph表面上看起來不一樣

但它們實際上是一樣

舉例來說

這一個graph跟這個graph看起來不太一樣

這兩個左右兩邊的graph看起來不太一樣

但是你仔細想想

它們其實是一模一樣的東西

因為我只要把這個東西挪進來

把這個東西挪進來

它們就變左邊的這個圖就變成右邊這個

所以它是一樣的東西

所以我們說它們是isomorphism

它們是同構

然後在化學上也有同構這個東西

所謂化學上同構的意思就是說

今天兩種化合物

它們的分子是不一樣的

但是它們的結晶的結構是一樣的

舉例來說

左邊這個東西是檸檬礦

這紅色的東西是檸檬礦

右邊這個東西是方解石

然後它們的化學式是不一樣的

但是它們的結構都是一樣

都是看起來像是立方體這個樣子

所以它們是同構

那在線性代數上面的同構指的是什麼呢

在線性代數上面的同構是說

假設我們有兩個vector space

這樣的vector space

一個叫做V

另外一個叫做W

然後現在你如果有一個linear的transformation T

它的input domain是V

它的code domain是W

然後這個linear transformation我們說

它是isomorphism

如果它是1 to 1

而且它是on2的

那一個linear的operator

它同時是1 to 1

同時又是on2是什麼呢

意味著它是invertible的

對不對

同時是1 to 1

又是on2合起來

就是invertible

也就是說

今天在input domain跟code domain上

input domain的東西跟code domain的東西

它們是一一對應的

是一一對應的

你在input domain有一個東西

你在code domain就會有一個一模一樣的東西

好 那如果今天兩個vector space

它們中間存在著一個isomorphism

就存在著一個linear transformation的function

它可以它是1 to 1也是on2的

也就是說它是invertible的

它可以從V轉到W

那意味著說V跟W它們是同

它們是isomorphic

這個叫做isomorphic

就它們是一樣大的

它們的結構是一樣的

所以它們兩邊有一一對應的關係

有一對一對應的關係

就好像是說

電機系的每一個學生

你同時有一個學號

也有一個身分證的字號

所以你的學號跟你的身分證的字號

它們就是isomorphic

你找到一個學號就可以對到身分證的字號

你找到一個身分證的字號就可以對到學號

所以它是isomorphic

好 所以這邊有一個例子

就是假設我們有一個matrix U

那這個matrix U它做的事情就是transpose

transpose這一個operator

它的input domain是M by N的matrix

它的code domain是N by M的matrix

那我們發現說這個transpose這個matrix

這個operator

它是1 to 1也是on 2的

這個是我們之前說明過的

它既是1 to 1也是on 2

這意味著說M by N的matrix

跟N by M的matrix中間

存在著一個isomorphism

至少存在著一個isomorphism

這個isomorphism就是transpose

可以把這兩個vector space對在一起

所以M by N的matrix跟N by M的matrix

這兩個vector space

它們是isomorphic

所以就想成說它們是

這個很直觀

它們是等價的

對不對

N by N的matrix跟M by M的matrix

所形成的這兩個集合

雖然表面上看起來不一樣

但它們其實是同構的

它們是等價

它們是一樣的東西

它們有一樣的結構

兩邊的element是可以一一對應的

或者是這邊舉另外一個例子

其實P2跟R3也是isomorphic的

就P2是什麼

P2就是degree小於等於2的

那些polynomial所形成的集合

R3這個就不用解釋了

那其實P2跟R3

它們是isomorphic的

它們是一樣的

它們是有同樣的結構的

它們是有一一對應的

那我們這邊就直接舉一個例子來說明

舉例來說

我們可以找到一個linear transformation

這linear transformation是

你輸入的polynomial是

A加BX加2分之C的X比方

輸出就是ABC

你輸入A加BX加2分之C的X比方

輸出ABC

那這一個T這個operator

它是one to one的

它是untuned的

所以P2跟R3它們是isomorphic的

它們是同構 它們是一模一樣

好 那接下來呢

我們就來講

接下來我們要來講一下basis

要講一下basis

好 那basis是什麼呢

那這個basis的定義大家都知道吧

就是有一個subspace V

它的basis是什麼呢

就是在找一個vector set

這個vector set呢

它是linear independent的

然後它做span以後

可以變成subspace V

那這個vector set呢

就是一個basis

好 所以今天不是只有一般的vector有basis

general的vector也可以有basis

舉例來說呢

我們現在有一個vector set

它是X平方減3X加2

跟3X平方減5X跟2X減3

那這個vector set

它是P2的一個subspace

那接下來我們想要知道說

這個vector set

它是不是一個basis

那在驗證是不是basis之前

也許我們應該要先驗證說

它是不是independent

因為要是basis的一個

其實滿足basis的條件

就是裡面的成員必須要是independent

然後在這邊呢

independent定義跟我們之前

一開始講的independent定義

是沒有什麼不同的

我們怎麼知道說

這三個東西

它們是不是independent的呢

那就按照independent定義

看你能不能夠找到一組

非0的coefficient

把這三個東西

做linear combination以後得為0

如果你找得到的話

那它們就不是independent

它們就是dependent

那現在這個例子裡面

我們可以把3倍的第一個element

乘上-1倍的第二個element

再加上2倍的第三個element

把它們通通合起來

等於0 vector

它們三個合起來等於0 vector

那它們就不是independent

它們就是dependent

那這邊有另外一個例子

就假設我現在有三個matrix

三個2乘以2的matrix

這三個2乘以2的matrix

它們是dependent的

還是independent的呢

那你要想這個問題

你就要看說

我們能不能夠找到三個coefficient

比如說c1, c2, c3

c1, c2, c3不等於0

然後做linear combination以後

它們c1, c2, c3不等於0

但是做linear combination以後

可以變成0的vector

在這個case裡面

你就仔細想想

你就會發現說

除非c1, c2, c3都等於0

不然你沒有辦法把它

變成0的matrix

你沒有辦法把它變成0的vector

所以今天這三個element

它們是independent就這樣

如果你要證明的話就太簡單

你就把a倍的第一個element

b倍的第二個element

加c倍的第三個element

寫出來變成abc-a

你要abc-a等於0vector

唯一的可能就是abc都等於0

那如果唯一的可能是abc都等於0

代表說它們是independent就這樣

那這個independent跟dependent的定義

跟我們之前學的

其實是沒有半毛錢的不同的

這邊就是更多的例子了

舉例來說

現在有1xx²到x的無窮大次方

我們有一個無窮大的vector set

這個無窮大的vector set

是independent的還是dependent的呢

我們有一個無窮大的vector set

裡面是1xx²到xn方

它是dependent的還是independent的呢

那你就按照dependent independent的定義來想

因為想想看

你要讓這些東西做linear combination以後

等於0

唯一的可能是它們乘上的係數都是0

所以它們是independent

1xx²到xn方

它們是independent

它們不見得是ossogonal

其實我們現在還沒有講到什麼叫做ossogonal

但它們是independent

那等於之後才會講說

到底在更廣義的vector上

所謂的ossogonal是什麼意思

或者是這邊舉了另外一個例子

我們現在有三個function

1的t次方

1的2t次方

1的3t次方

它們是dependent的還是independent的呢

那你就直覺來想一下

1的t次

我畫一個坐標

1的t次方大概長這個樣子吧

我畫得很糟

算了

1的2t次方大概長這個樣子吧

也畫得很糟

我本來想把它往上斜的

但我不知道為什麼

這個就是很難控制

1的3次方長這個樣子吧

1的3次方長這個樣子

所以這三個東西做linear combination

把這三個function做vector上

有辦法搞出zero的function嗎

沒發現說怎麼搞都搞不出來

除非那個weight上的weight都是0

除非weight上的weight都是0

不然這三個function

1的t次方

1的2t次方

1的3t次方

你怎麼把它們加在一起

都不會變成0

所以我們就知道說

它是independent的

1的t次方

1的2t次方

1的3t次方

雖然這三個function

如果你要用vector來表示它

它們的vector是無窮長的

但它們終究是independent

那如果要證明這件事的話

其實也不難

你就說

這個有n種證法啦

你就說

舉例來說

我們說

我們現在希望

a倍的1的t次方

加b倍的1的2t次方

加上c倍的1的3t次方

等於0

那如果我們現在t代0的話

意味著說

你要這個等於0

保證推得abc必須要等於0

那abc等於0

並不代表a等於b等於c等於0啦

但是你可以再有別的constraint

比如說你t可以代別的數值

那你t代別的數值可能不好算

所以我們可以說

好 我們把4的左右兩邊

都做個微分

做個微分以後

變成a的1t次方

加上2倍b的1的2t次方

加3倍c的1的3t次方

等於0

然後再把t代0

所以就變成

a加2b加3c等於0

好 再微分一次

a的1的t次方

加上4倍b的1的2t次方

加9倍c的1的3t次方

打t代0

也等於0

所以a加4b加9c等於0

所以我們知道說

a加b加c等於0

a加2b加3c等於0

a加4b加9c也必須要等於0

解完以後你就知道說

a等於b等於c等於0

所以這三個function

它們是independent

好 那再來

有了independent的概念以後

你就可以講basic這個東西

basic是一個independent的vector

好 那現在我們有一個subspace

這個subspace是所有

二乘二的matrix

所形成的集合

那這個subspace

它的basis是什麼呢

它的basis顯然就是

但它有很多個basis

它有無窮多個basis

但是它的其中一個basis

顯然就是

某一個element是1

其他都是0

也就是說

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

這四個matrix

它們合起來

會變成二乘二的matrix的basis

而這個basis的dimension是4

所以二乘二的matrix

所形成的subspace

它的dimension是4

因為它的basis裡面

有四個element

所以它的dimension是4

好 那現在呢

假設我們要組出一個subspace

這個subspace是所有的

polynomial所形成的集合

那我們的basis裡面

需要有什麼樣的成員呢

我們basis裡面需要有1

有x

有x平方

到x的無窮大四方

把這些東西

做linear combination

做span以後展開

可以變成所有的polynomial

那我們剛才講過說

這個vector set S

它是independent

它是independent

它span出來

又可以變成所有的polynomial

所以這個vector set

它是P的basis

它是一個basis

那它的dimension是多少呢

它的dimension就是無窮大

因為它裡面有無窮多個成員

這個basis裡面有無窮多個成員

所以它dimension當然就是無窮大